2 ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian m¶tric nân
2.2.2Tr÷íng hñp khæng gian m¶tric nân ¦y õ
ành ngh¾a 2.1. Cho(X, d)l khæng gian m¶tric nân. Ph¦n tû(x, y) ∈
X × X gåi l iºm b§t ëng c°p cõa ¡nh x¤ F : X × X → X n¸u
ành lþ 2.10. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 kd(x, u) +ld(y, v)
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k, l l c¡c h¬ng sè khæng ¥m vîi k+ 1 <
1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t. Chùng minh. Chån x0, y0 ∈ X tòy þ v °t
x1 = F(x0, y0), y1 = F(y0, x0), . . . , xn+1 = F(xn, yn), yn+1 = F(yn, xn).
Khi â tø gi£ thi¸t ta câ
d(xn, xn+1) =d(F(xn−1, yn−1), F(xn, yn) 6 kd(xn−1, xn) +ld(yn−1, yn). T÷ìng tü ta câ d(yn, yn+1) = d(F(yn−1, xn−1), F(yn, xn) 6 kd(yn−1, yn) +ld(xn−1, xn). °t dn = d(xn, xn+1) +d(yn, yn+1), ta câ dn = d(xn, xn+1) +d(yn, yn+1) 6 kd(xn−1, xn) +ld(yn−1, yn) + kd(yn−1, yn) +ld(xn−1, xn) 6 (k +l)(d(xn−1, xn) +d(yn−1, yn)) = (k +l)dn−1. °t δ = k+l, tø b§t ¯ng thùc tr¶n ta câ 0 6 dn 6 δdn−1 6 · · · 6 δnd0.
N¸u d0 = 0 th¼ (x0, y0) l iºm b§t ëng c°p cõa F. Ta x²t tr÷íng hñp
d0 > 0. Vîi méi n> m ta câ
d(xn, xm) 6 d(xn, xn−1) +d(xn−1n, xn−2) +· · ·+d(xm+1n, xm) v d(yn, ym) 6 d(yn, yn−1) +d(yn−1n, yn−2) + · · ·+ d(ym+1n, ym). Do â d(xn, xm) + d(yn, ym) 6 dn−1 +dn−2 +· · ·+dm 6 (δn−1 +δn−2 +· · ·+δm)d0 6 δ m 1−δd0.
i·u n y k²o theo {xn},{yn} l c¡c d¢y Cauchy trong X, do â tçn t¤i
x∗, y∗ ∈ X sao cho
limxn = x∗, limyn = y∗.
Vîi c ∈ E, 0 c, vîi måi m ∈ N∗, tçn t¤i N ∈ N sao cho
d(xn, x∗) c/2m v d(yn, y∗) c/2m
vîi måi n > N. Nh÷ vªy
d(F(x∗, y∗), x∗) 6 d(F(x∗, y∗), xN+1) +d(xN+1, x∗) = d(F(x∗, y∗), F(xN, yN)) +d(xn+1, x∗) 6 kd(xN, x∗) +ld(yN, y∗) +d(xN+1, x∗) (k+l) c 2m + c 2m 6 c m. Nh÷ vªyd(F(x∗, y∗), x∗) 6 c
m vîi måim > 1.Nh÷ vªyd(F(x∗, y∗), x∗) = 0v do â âF(x∗, y∗) =x∗. Chùng minh t÷ìng tü ta câF(y∗, x∗) =y∗,
Cuèi còng ta chùng minh t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng. Gi£ sû tçn t¤i (x0, y0) l mët iºm b§t ëng kh¡c cõa F, khi â
d(x0, x∗) =d(F(x0, y0), F(x∗, y∗)) 6 kd(x0, x∗) +ld(y0, y∗),
v
d(y0, y∗) =d(F(y0, x0), F(y∗, x∗)) 6 kd(y0, y∗) +ld(x0, x∗).
Do â
d(x0, x∗) + d(y0, y∗) 6 (k+ l)(d(x0, x∗) + d(y0, y∗)).
Tø i·u ki»n k + l < 1 ta suy ra d(x0, x∗) + d(y0, y∗) = 0. K²o theo
(x0, y0) = (x∗, y∗) do â (x∗, y∗) l iºm b§t ëng duy nh§t. p döng ành lþ 2.10 ta thu ÷ñc h» qu£
H» qu£ 2.3. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 k
2(d(x, u) +d(y, v))
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k l h¬ng sè khæng ¥m v k < 1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t.
V½ dö 2.1. Chån E = R2, k½ hi»u
P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} ⊂ R2 v X = [0,1]. Ta ành ngh¾a d :X ×X −→ E vîi
d(x, y) = (|x−y|,|x−y|).
Khi â (X, d) l mët khæng gian m¶tric nân ¦y õ. X²t c¡c ¡nh x¤
F, F1 : X ×X −→ X x¡c ành bði F(x, y) = x+ y 6 , F1(x, y) = x+ y 2 .
Khi â F thäa m¢n i·u ki»n co trong H» qu£ 2.3 vîi k = 1/3, tùc l
d(F(x, y), F(u, v)) 6 1
6(d(x, u) +d(y, v)).
Do â theo H» qu£ 2.3, F câ duy nh§t mët iºm b§t ëng c°p, trong tr÷íng hñp n y l iºm (0,0). nh x¤ F1 thäa m¢n
d(F1(x, y), F1(u, v)) 6 1
2(d(x, u) +d(y, v)).
Nâi c¡ch kh¡c nâ thäa m¢n i·u ki»n
d(F1(x, y), F1(u, v)) 6 k
2(d(x, u) +d(y, v))
vîi k = 1. Ta d¹ nhªn th§y trong tr÷íng hñp n y ta th§y F1 câ hai iºm b§t ëng c°p l (0,0) v (1,1), tùc l iºm b§t ëng c°p trong tr÷íng hñp n y khæng l duy nh§t. Nh÷ vªy i·u ki»n k+ l < 1 trong ành lþ 2.10 v k < 1 trong H» qu£ 2.3 l quan trång èi vîi t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng c°p.
ành lþ 2.11. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 kd(F(x, y), x) + ld(F(u, v), u)
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k, l l c¡c h¬ng sè khæng ¥m, k+l < 1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t.
Chùng minh. Chån x0, y0 ∈ X tòy þ v °t
x1 = F(x0, y0), y1 = F(y0, x0), . . . , xn+1 = F(xn, yn), yn+1 = F(yn, xn).
Khi â tø gi£ thi¸t ta câ
d(xn, xn+1) =δd(xn, xn−1)
d(yn, yn+1) = δd(yn, yn−1),
trong â δ = k/(1−l) < 1. Lªp luªn gièng nh÷ trong ành lþ 2.10 ta suy ra {xn},{yn} l c¡c d¢y Cauchy trong (X, d), do â tçn t¤i x∗, y∗ ∈ X
sao cho
limxn = x∗, limyn = y∗.
Vîi c ∈ E, 0 c, vîi m ∈ N∗ v chån mët sè tü nhi¶n N sao cho
d(xn, x∗) = ((1−l)/4m)c vîi måi n > N. Khi â ta câ
d(F(x∗, y∗), x∗) 6 d(xN+1, F(x∗, y∗)) +d(xN+1, x∗) = d(F(xN, yN), F(x∗, y∗)) +d(xN+1, x∗)
6 kd(F(xN, yN), xN) +ld(F(x∗, y∗), x∗) +d(xN+1, x∗),
i·u n y k²o theo
d(F(x∗, y∗), x∗) 6 k 1−ld(xN+1, xN) + 1 1−ld(xN+1, x ∗) c m. Do m chån tòy þ n¶n d(F(x∗, y∗), x∗) = 0 v do â â F(x∗, y∗) = x∗. Chùng minh t÷ìng tü ta câ F(y∗, x∗) = y∗, do â (x∗, y∗) l iºm b§t ëng c°p cõa F.
Ta chùng minh t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng. Gi£ sû tçn t¤i
(x0, y0) l mët iºm b§t ëng kh¡c cõa F, khi â
d(x0, x∗) = d(F(x0, y0), F(x∗, y∗))
6 kd(F(x0, y0), x0) +ld(F(x∗, y∗), x∗) = 0,
do â x0 = x∗. T÷ìng tü ta câ y0 = y∗, suy ra (x∗, y∗) l iºm b§t ëng duy nh§t.
ành lþ 2.12. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 kd(F(x, y), u) + ld(F(u, v), x)
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k, l l c¡c h¬ng sè khæng ¥m, k+l < 1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t.
Chùng minh. Ta công chùng minh t÷ìng tü nh÷ ành lþ 2.11. Chån
2.11, tùc l
x1 = F(x0, y0), y1 = F(y0, x0), . . . , xn+1 = F(xn, yn), yn+1 = F(yn, xn).
Khi â tø gi£ thi¸t ta câ
d(xn, xn+1) = d(F(xn−1, yn−1), F(xn, yn))
6 kd(F(xn−1, yn−1), xn) +ld(F(xn, yn), xn−1)
(d(F(xn, yn), xn) +d(xn, xn−1)),
i·u â k²o theo
d(xn, xn+1) 6 l
1−ld(xn, xn−1).
T÷ìng tü ta câ
d(yn, yn+1) 6 l
1−ld(yn, xy−1).
i·u n y suy ra {xn},{yn} l c¡c d¢y Cauchy trong (X, d), do â tçn t¤i x∗, y∗ ∈ X sao cho
limxn = x∗, limyn = y∗.
Vîi c ∈ E, 0 c, vîi m ∈ N∗ v chån mët sè tü nhi¶n N sao cho
d(xn, x∗) = ((1−l)/4m)c vîi måi n > N. Khi â ta câ
d(F(x∗, y∗), x∗) 6 d(xN+1, F(x∗, y∗)) +d(xN+1, x∗) = d(F(xN, yN), F(x∗, y∗)) +d(xN+1, x∗)
6 kd(F(xN, yN), x∗) +ld(F(x∗, y∗), xN) +d(xN+1, x∗),
i·u n y k²o theo
d(F(x∗, y∗), x∗) 6 1 +k 1−ld(xN+1, x ∗) + 1 1−ld(xN, x ∗) c m. Do m chån tòy þ n¶n d(F(x∗, y∗), x∗) = 0 v do â â F(x∗, y∗) = x∗. Chùng minh t÷ìng tü ta câ F(y∗, x∗) = y∗, do â (x∗, y∗) l iºm b§t ëng c°p cõa F.
T½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng ÷ñc chùng minh t÷ìng tü nh÷ ành lþ 2.11 vîi i·u ki»n cõa gi£ thi¸t ành lþ 2.12.
Tø ành lþ 2.11 v ành lþ 2.12 ta câ
H» qu£ 2.4. Cho (X, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 k
2(d(F(x, y), x) +d(F(u, v), u))
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k l mët h¬ng sè khæng ¥m thäa m¢n
k < 1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t.
H» qu£ 2.5. Cho (X, d) l khæng gian metric nân ¦y õ. Gi£ sû ¡nh x¤ F : X ×X →X thäa m¢n i·u ki»n co
d(F(x, y), F(u, v)) 6 k
2(d(F(x, y), u) +d(F(u, v), x))
vîi måi x, y, u, v ∈ X, trong â k l mët h¬ng sè khæng ¥m thäa m¢n
k < 1. Khi â F câ iºm b§t ëng c°p duy nh§t.
Chó þ. N¸u ¡nh x¤ F : X ×X → X thäa m¢n i·u ki»n co (trong ành lþ 2.11)
d(F(x, y), F(u, v)) 6 kd(F(x, y), x) + ld(F(u, v), u)
vîi måi x, y, u, v ∈ X th¼ F công thäa m¢n i·u ki»n co sau ¥y
d(F(x, y), F(u, v)) = d(F(u, v), F(x, y))
6 kd(F(u, v), u) + ld(F(x, y), x).
Do â F thäa m¢n i·u ki»n
d(F(x, y), F(u, v)) 6 k +l 2 d(F(x, y), x) +d(F(u, v), u) .
T÷ìng tü, n¸u ¡nh x¤ F : X ×X → X thäa m¢n i·u ki»n co (trong ành lþ 2.12)
d(F(x, y), F(u, v)) 6 kd(F(x, y), u) + ld(F(u, v), x)
vîi måi x, y, u, v ∈ X th¼ F công thäa m¢n i·u ki»n co sau
d(F(x, y), F(u, v)) 6 k +l 2 d(F(x, y), u) +d(F(u, v), x) .
K¸t luªn
Vîi möc ½ch nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t v· khæng gian metric nân v mët sè ành lþ v· iºm b§t ëng tr¶n lîp khæng gian n y, trong luªn v«n n y chóng tæi tr¼nh b y nhúng v§n · sau ¥y:
1. Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ v· khæng gian metric nân: nân, nân chu©n tc, nân ch½nh quy, khæng gian metric nân, sü hëi tö trong khæng gian metric nân v nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric nân. C¡c ki¸n thùc n y ÷ñc xem l ki¸n thùc chu©n bà, c¦n thi¸t cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n.
2. Ph¡t biºu v chùng minh l¤i mët sè ành lþ v· iºm b§t ëng, iºm b§t ëng c°p cõa c¡c ¡nh x¤ trong tr÷íng hñp khæng gian metric nân. Cö thº, c¡c ành lþ 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 l c¡c k¸t qu£ v· iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ giúa c¡c khæng gian metric nân ¦y õ, c¡c ành lþ 2.10, 2.11, 2.12 l c¡c k¸t qu£ v· iºm b§t ëng c°p cho ¡nh x¤ giúa c¡c khæng gian metric nân.
Trong thíi gian tîi chóng tæi s³ ti¸p töc ph¡t triºn v§n · n y èi vîi lîp khæng gian metric suy rëng kh¡c.
T i li»u tham kh£o
[1] M. Asadi and H. Soleimani (2012), " Examples in Cone Metric Spaces: A Survey", Middle - East Journal of Scientific Resarch 11 (12): 1636-1640,2012.
[2] T. G. Bhaskar and V. Lakshmikantham (2006), "Fixed point the- orem in partially ordered metric spaces and applications", Nonlin- ear Analysis: Theory. Methods and Applications, vol. 70, no.12, pp.4341 -4349.
[3] L-G. Huang and X. Zang (2007), "Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping", Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 332, no.2, pp.1468 -1476, 2007. [4] X. Huang , C. Zhu and X. Wen (2010), " Fixed point theorems
for expanding mappingsand cone metric space", AMS 2010 Subject Classification: 47H10, 54H25.
[5] Sh. Rezapour and R. Hamlbarani (2008), "Some notes on the paper Cone metric spaces and fixed point theorems of cone contractive mappings", J. Math. Anal. Appl, 345, pp 719-724.
[6] F. Sabetghadam, H. P. Masiha v A. H. Sanatpour (2009), "Some Coupled Fixed Point Theorems in Cone Metric Spaces", Fixed Point Theory and Applications, https://doi.org/10.1155/2009/125426.