2 Bàitoán tối ưu với hàm r-lồi
2.3.3 Bàitoán liên quan
Phần này trình bày điều kiện đủ tối ưu mới trong bài toán (PI) với giả thiết nhẹ hơn so với biến đổi được về dạng r-lồi. Chúng ta sẽ sử dụng một bài toánr-lồi liên quan đến (PC) để tìm các nghiệm cho bài toán đang xét. Choxlà một điểm KKT cho bài toán (PI) với λlà nhân tử Lagrange. Kí hiệu tập các chỉ số hoạt của tất cả các hàm ràng buộc tại x, nghĩa là
Đặt f0 là biến đổi được về dạng r-lồi tai điểm xđối với hàm ϕ : Rn → Rn
và choy := ϕ(x).
Xác định hàmgi : Rn → Rnhư sau
gi = fi◦ϕ−1,∀i = 0,1,2, ..., m. (2.81) Áp dụng các giả thiết sau đây về hàm hạn chế, khả thi cho y bất kỳ và mọi ζi ∈ ∂gi(y), i ∈ I :
ζiT(y −y) ≤ 0. (2.82)
Các điều kiện trên gi, i ∈ I, là những khái quát trực tiếp của các khái niệm về biến đổi được về dạngr-lồi tại một điểm. Điều này có thể được xem như một dạng của tựa lồi (quasi convexity), mặc dù nó tổng quát hơn.
Ví dụ 2.3. Xét hàm f(x) = x4 − x2 + 1 trên tập X = (−1,+∞). Lấy một điểm x = −1, suy ra f0(x) = −2 và hệ thức (2.82) được viết thành −2(x+ 1) ≤ 0.
Trong khi đối với tính tựa lồi củaf tạixđòi hỏi
f(x) ≤ f(x) ⇒ f0(x)(x−x) ≤ 0
với mọix ∈ X vàf(x) ≤ f(x)với mọi x ∈ [−1; 1]. Bây giờ chúng ta quan tâm đến nghiệm của bài toán (PC):
Tìm một y ∈ SC, nếu nó tồn tại, sao cho g0(y) = min
y∈SCg0(y) với
SC = {y ∈ Rn, g(y) ≤ 0}, g0 : Rn → R, g :Rn →Rm theo (2.82).
Mệnh đề 2.4. ([7], Proposition 4.1, p. 560)Chof0 là biến đổi được về dạng
r-lồi tại điểm x đối với ϕ thỏa mãn điều kiện (2.82). Điểm x ∈ SI là một điểm KKT của bài toán (PI) nếu y = ϕ(x) ∈ SC là một điểm KKT của bài toán (PC). Hơn nữa, các nhân tử Lagrange vẫn giữ nguyên.
Bây giờ chúng ta có thể xây dựng và chứng minh các điều kiện tối ưu đủ cho bài toán (PI) .
Mệnh đề 2.5. ([7], Proposition 4.2, p. 561)Choxlà một điểm KKT của bài toán (PI) và đặt f0 là biến đổi được về dạng r-lồi tại x đối với ϕ. Giả sử rằng(2.82) cố định. Khi đóxlà một nghiệm cho bài toán (PI).
Chứng minh
Lý luận như trong chứng minh của Định lí 2.15 ta nhận được 1 re rg0(ϕ(x)) ≥ 1 re rg0(ϕ(x))−erg0(ϕ(x))(ϕ(x)−ϕ(x))T m X i=1 λiζi ! (2.83) vớiζi ∈ ∂ygi(ϕ(x)) mọi i = 1,2, .., m.
Vì vậy từ giả thiết biến đổi được về dạng r-lồi, từ (2.82) và tính chất của ϕ suy ra 1 re rg0(ϕ(x)) ≥ 1 re rg0(ϕ(x)) . (2.84) Do đó g0(ϕ(x)) ≥ g0(ϕ(x)), (2.85) có nghĩa là f(x) ≥ (x). (2.86)
Từ kết quả trên ta suy ra rằng nghiệm của bài toán (PI) có thể đạt được từ nghiệm của bài toán (PC). Cách làm như sau. Bài toán (PI) là biến đổi từ một bài toán r-lồi (PC) mà thường là dễ dàng để giải quyết hơn. Các giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm tối ưu cho cả hai bài toán đều tương đương. Các điểm KKT cho (PI) có thể thu được bởi biến đổi ϕ.