2 Bàitoán tối ưu với hàm r-lồi
2.3.1 Biến đổi được về dạng r-lồi
Định nghĩa 2.12. ([7], Definition 2, p. 556) Một hàm Lipschitz địa phương f : Rn →Rđược gọi làbiến đổi được về dạngr-lồihay khảr-lồi (r-convex transformability)(đối vớiϕ) nếu tồn tại mộtC1 đồng phôi củaϕ : Rn →Rn
có hàm ngượcϕ−1 thuộc lớp C1 sao chof ◦ϕ−1 làr-lồi. Nếu f là khả vi thì chỉ cần đòi hỏiϕlà khả vi.
Nếu f làr-lồi thì hiển nhiênf là khảr-lồi vớiϕ ≡I.
Chúng ta sẽ bắt đầu kiểm tra với điều kiện đủ cho hàmr-lồi và cung cấp hai tiêu chí đơn giản mà nó cho phép kiểm tra xem f khả vi cấp 2 thì f là hàm r-lồi đối với một hàmϕ nhất định. Các tiêu chí làm theo bằng cách áp dụng các điều kiện để tiêu chuẩn lồi theo đạo hàm cấp hai (the second order convexity) cho hàm x →er(f◦ϕ−1)(x).
Mệnh đề 2.2. ([7], Proposition 2.2, p. 556)Cho một hàmf :R →Rvà một hàm khả vi cấp haiϕ : R→ Rvà chox ∈ R. Nếuϕ0(x) 6= 0và
rf0(ϕ−1(x))f0(ϕ−1(x)) −ϕ00(x)+rf00(ϕ−1(x)) ≥ 0 (2.68)
thì f là biến đổi được về dạngr-lồi đối với ϕtạix.
Mệnh đề 2.3. ([7], Proposition 2.3, p. 556) Cho hàm f : Rn → R và một hàm khả vi cấp hai ϕ : Rn → Rn và đặt x ∈ Rn. Giả sử các đạo hàm
∂ϕ−1(x) ∂xi ,
∂2ϕ−1(x)
∂xi∂xj tồn tại với mọi i, j = 1, ..., n và kí hiệu ma trận A là
ma trận cấp n×nvới các phần tử aij = rf0(ϕ−1(x)) rf0(ϕ−1(x))∂ϕ −1(x) ∂xi ∂ϕ−1(x) ∂xj − ∂ 2ϕ−1(x) ∂xi∂xj +rf00(ϕ−1(x))∂ϕ −1(x) ∂xi ∂ϕ−1(x) ∂xj , (2.69)
i, j = 1, ..., n.
Nếu A là ma trận nửa xác định dương, thì f là biến đổi được về dạng r-lồi đối vớiϕtạix.
Ví dụ 2.2. Một hàm f : R2 → Rxác định bởi f(x1, x2) =ln
(x1 + x31)2 + (x2 +x32)2 + 1
là biến đổi được về dạng r-lồi với mọir ∈ R.
Để chứng minh điều này ta cần tìm một hàm khả vi ϕ và kiểm tra các tính chất g = f ◦ϕ−1 là hàmr-lồi.
Ở đây, ϕ((x1, x2)) = (x1 +x13, x2 + x32)và g được cho bởi công thức g(y1, y2) = lny12 +y22 + 1.
Do đó bằng định nghĩa của r-lồi và g là r-lồi với mọi r 6= 0. Ta thấy rằng hàm f không phải làr-lồi với mọir. Thật vậy, hàm
h(x1, x2) = erf(x1,x2)
= (x1 + x31)2 + (x2 +x32)2 + 1r
không lồi, ví dụr = 1
10 khi áp dụng các điều kiện kiểm tra lồi tính theo đạo hàm cấp hai.
Cần nhấn mạnh ở đây là lớp các hàm biến đổi được về dạng r-lồi, lớp hàm này rộng hơn lớp hàm r-lồi. Do đó kết quả có được không chỉ áp dụng cho các bài toán với hàmr-lồi mà còn áp dụng cho các bài toán với các hàm biến đổi được về dạng r-lồi.