Bài toán 3.7.10. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tiếp xúc
với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F theo thứ tự đó. Khi đó OI là đường
thẳng Ơ-le của tam giác DEF (O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC).
Lời giải.
Hình 3.27:
Gọi Ia, Ib, Ic theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, B, C
của tam giác ABC.
Dễ dàng chứng minh được
IbIc//EF, IaIc//F D, IaIb//DE.
Do đó, có phép vị tự f mà f(Ia) = D, f(Ib) =E, f(Ic) =F.
Suy ra f biến đường thẳng Ơ-le của tam giác IaIbIc thành đường thẳng Ơ-le của tam giác DEF.
NhưngOI là đường thẳng Ơ-le của tam giácIaIbIc vàI nằm trên đường thẳng Ơ-le của tam giác DEF.
Vậy, OI là đường thẳng Ơ-le của tam giác DEF.
Bài toán 3.7.11. Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H.
Các đường thẳng qua A, B, C theo thứ tự vuông góc với GA, GB, GC tạo
thành tam giác A1B1C1. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác A1B1C1
Hình 3.28:
Lời giải.
Các đường thẳng đi qua A, B, C theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng AG, BG, CG tạo thành tam giác A1B1C1.
Gọi G1 là trọng tâm tam giác A1B1C1, gọi Ha, Hb, Hc theo thứ tự là trực tâm các tam giác BCA1, CAB1, ABC1.
Do GA ⊥ AC1, GB ⊥ BC1 nên tứ giác AC1BG nội tiếp đường tròn đường kính C1G và do đó Hc = ĐCo(G) (với Co là trung điểm AB).
Khi đó C1Hc và C1Gđối xứng với nhau qua phân giác của giác của góc
∠AC1B.
Từ đó, để ý rằngGlà điểm Lemoine của tam giácA0B0C0nênC1, Hc, G1
thẳng hàng.
Tương tự, A1, G1, Ha thẳng hàng và B1, G1, Hb thẳng hàng.
Do ĐG : A 7−→ Ha, B 7−→ Hb, C 7−→ Hc nên ĐG : H 7−→ G1, điều phải chứng minh.
Bài toán 3.7.12. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một đường tròn C. Gọi ωa, ωb, ωc là đường tròn tiếp xúc trong với (C) tại A0, B0, C0
và theo thứ tự tiếp xúc với các cặp tia AB và AC, BC và BA, CA và
CB. Chứng minh rằng các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy.
Lời giải.
Hình 3.29: giác. Khi đó: (O) V A 0;RaR −−−−−−→ (Oa) V A; r Ra −−−−−→ (I) Suy ra V S; Rr= V A;Rr a o V A0;Ra R : (O) 7−→(I).
Do đó, đường thẳng AA0 đi qua S là tâm vị tự ngoài của (O) và (I). Hoàn toàn tương tự, cũng được BB0, CC0 cũng đi qua S.
Kết luận
Luận văn trình bày vắn tắt về một số tính chất, định lý... có thể vận dụng trong quá trình chứng minh bài toán đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng.
Tuyển chọn và giới thiệu nhiều bài toán từ cơ bản đến nâng cao và khó về áp dụng các định lý hình học nổi tiếng có liên quan đến tính đồng quy của các đường thẳng và thẳng hàng của các điểm. Nhiều bài toán trong luận văn này được lấy ra từ các đề thi học sinh giỏi hay vô địch của các nước, khu vực và quốc tế để giải chúng cần phải biết vận dụng sáng tạo các định lý tương ứng.
Trên cơ sở nghiên cứu một số bài tập chứng minh hình học liên quan đến chủ đề đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng em thấy
Việc giải các bài toán liên quan đến điểm đồng quy ta thường phải dự đoán điểm đồng quy của các đường thẳng, sau đó vận dụng các tính chất của các hình trong bài toán cụ thể để chứng minh dự đoán đó.
Về phương hướng chứng minh thường dựa vào một số tính chất quen thuộc như: tính đồng quy của các đường trong tam giác, đa giác nội tiếp, định lý Ceva, phép vị tự, ...
Nội dung đã làm được của tác giả là tìm và dịch tài liệu, tổng hợp lý thuyết, đưa ví dụ và bài tập, vẽ hình minh họa. Phần chứng minh và bài giải trong các tài liệu tham khảo thường chỉ làm tắt các bước. Tác giả đã trình bày chi tiết và cẩn thận các chứng minh và các lời giải này.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Vi Quốc Dũng (1995), Những bài toán chọn lọc về các phương pháp
chứng minh hình học phẳng, NXB Đại học Sư phạm Việt Bắc.
[2] Nguyễn Văn Nho (2011), Những định lí chọn lọc trong hình học phẳng
qua các kì thi Olympic, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Nguyễn Đăng Phất (2005), Tứ giác điều hòa và một số bài toán
Olympic Quốc gia và Quốc tế liên quan, Kỷ yếu Hội nghị khoa học
các chuyên đề toán học trong hệ THPT chuyên.
Tiếng Anh
[4] Kim Y.Li (2005), Famus geometry theorems, Mathematical Excalibur, Volume 10, Number 3, 1-4.
[5] Heather Macbeth (2009), Collinearity and Concur-
rence, New Zealand Mathematical Olympiad Committee,
www.mathsolympiad.org.nz/wp... collinearity-and-concurrence.pdf.
[6] V. Prasolov (2001), Problems in plane and solid geomery, www.pdfdrive.com Problems in plane and solid geometry, v1: plane geometry.
[7] Po-Shen Loh (2008), Collinearity and Concurrence,
www.math.cmu.edu/
[8] Wong Yan Loi (2009), An Introdution to Geometry, www.math.nus.edu.sg