3 Một số ứng dụng
3.5. Định lí Sylvester-Gallai
Định lí (xem [6]). Trong mọi tập n > 2 điểm trên mặt phẳng, mà tất cả các điểm không nằm trên một đường thẳng, luôn tồn tại một đường thẳng chứa đúng hai điểm.
Chứng minh.
Hình 3.7
Nếu ta nhúng mặt phẳng R2 vào R3 gần mặt cầu S2 (Hình 3.7). Khi
đó với mỗi điểm trên mặt phẳng R2 sẽ có một đường thẳng đi qua điểm
đó và tâm hình cầu nên có sự tương ứng 1 − 1 giữa một điểm trên mặt
phẳng với cặp điểm đối xuyên tâm trên mặt cầu. Một đường thẳng trên mặt phẳng tương ứng với một đường tròn lớn trên mặt cầu. Do đó ta có thể phát biểu lại định lí như sau.
cho chúng không cùng nằm trên một đường tròn lớn. Khi đó có một đường
tròn lớn chứa đúng một cặp điểm đối xuyên tâm.
Giờ ta hoán đổi, thay thế mỗi cặp điểm đối xuyên tâm bởi một đường
tròn lớn tương ứng trên mặt cầu. Nghĩa là, thay vì cặp điểm ±v ∈ S2 ta
xét đường tròn trực giao cho bởi Cv := x∈ S2 :hx, vi = 0 . (Nếu ta coi
v là cực Bắc của hình cầu thì Cv là đường xích đạo).
Hình 3.8
Vì vậy Định lí Sylvester - Gallai yêu cầu ta chứng minh
Cho tập hợp n > 2 các đường tròn lớn trên mặt cầu S2 sao cho chúng
không cùng đi qua một điểm. Khi đó luôn có một điểm là giao của đúng hai đường tròn lớn.
Sự sắp xếp các đường tròn lớn tạo ra một đơn đồ thị phẳng trên S2 có
đỉnh là giao của các đường tròn lớn và chia chúng thành các cạnh. Tất cả các đỉnh đều có bậc chẵn và nhỏ nhất là bằng 4 (theo cách dựng). Theo kết quả của Định lí 2 - Mục 3.3.3 thì luôn tồn tại một đỉnh có bậc bằng 4.
Do vậy, luôn có một điểm là giao của đúng hai đường tròn lớn.