3 Một số ứng dụng
3.6. Định lí về cácđường thẳng đơn sắc
Định lí (xem [7]). Cho một tập các điểm "trắng" và "đen" trên mặt phẳng, mà tất cả các điểm không nằm trên một đường thẳng. Khi ấy luôn tồn tại một đường thẳng "đơn sắc" (monochromatic line) chứa tối thiểu hai điểm cùng màu và không chứa điểm khác màu.
Hình 3.9
Định nghĩa.
- Mặt phẳng xạ ảnh thực
Xét mặt phẳng R2 và thêm vào mỗi lớp các đường thẳng song song một
điểm mới được gọi là mộtđiểm ở vô cực. Hai đường thẳng được gọi là song
song nếu giao điểm của chúng là một điểm ở vô cực. Mỗi điểm ở vô cực nằm trên một đường thẳng của mỗi lớp song song. Hơn nữa, tất cả các
điểm ở vô cực nằm trên một đường thẳng, được gọi là đường thẳng ở vô
cực và không có điểm thuộc R2 nằm trên đường thẳng này.
Mặt phẳng xạ ảnh thực được kí hiệu là RP2.
Mặt phẳng xạ ảnh thực có các tính chất sau
i) Qua hai điểm phân biệt có duy nhất một đường thẳng.
ii) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất.
- Mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu
Mặt phẳng xạ ảnh Euclid được "nhúng" trong R3 là mặt phẳng F =
(x1, x2, x3)∈ R3|x3 = 1 cùng với các điểm ở vô cực tại mọi hướng trong
F. Với mỗi điểm trong F, ta có thể vẽ một đường thẳng duy nhất đi qua
điểm đó và điểm gốc. Với mỗi điểm ở vô cực, ta có thể vẽ một đường
thẳng đi qua điểm gốc nằm trên mặt phẳng (x1, x2, x3) ∈ R3|x3 = 0 và
có hướng xác định bởi điểm ở vô cực đó. Trong trường hợp này ta có sự
tương ứng 1 − 1 giữa các điểm trong F và các đường thẳng trong R3 đi
qua điểm gốc, do đó tương ứng với cặp điểm đối xuyên tâm của mặt cầu
đơn vị trong R3 vì mỗi đường thẳng đi qua tâm đều xác định đúng một
xây dựng mô hình "đối ngẫu" của mặt phẳng xạ ảnh, ta gọi là mặt cầu xạ
ảnh đối ngẫu.
- Bán cầu xạ ảnh đối ngẫu
Xét mặt phẳng xạ ảnh hình cầu, với mỗi cặp điểm đối xuyên tâm có một đường thẳng duy nhất đi qua những điểm đó và điểm gốc. Đối với mỗi đường thẳng như vậy có một mặt phẳng duy nhất đi qua điểm gốc và vuông góc với đường thẳng đó. Mỗi mặt phẳng tương ứng với một đường tròn lớn trên mặt cầu đơn vị, xác định bởi giao của mặt phẳng và mặt
cầu. Do đó có sự tương ứng 1− 1 giữa các điểm trên mặt phẳng xạ ảnh
hình cầu và cácđường tròn lớn trên mặt cầu. Do mục đích thực tiễn, chỉ
cần xét một nửa mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu tạo ra một bán cầu xạ ảnh đối
ngẫu.
Tính chất
- Các điểm trên mặt phẳng xạ ảnh tương ứng với nửa đường tròn lớn trên mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu.
- Một đường thẳng nối hai hay nhiều điểm trên mặt phẳng xạ ảnh tương ứng với giao điểm của các nửa đường tròn lớn trên mặt cầu xạ ảnh đối ngẫu với các điểm đó.
Mệnh đề. Nếu S là một sự sắp xếp các đường thẳng trong mặt phẳng
xạ ảnh với V đỉnh, E cạnh và F miền thì V −E +F = 1.
Chứng minh Mệnh đề.
Trường hợp |S| = 2 ta có V = 1, E = 2, F = 2. Do đó V −E+F = 1.
Giả sử công thức đúng với trường hợp |S| = n. Gọi l là đường thẳng
không thuộc S và S0 = S∪ {l}. Vì vậy S0 =n+ 1. Gọi V0, E0, F0 lần lượt
là các đỉnh , cạnh và miền của S0. Bằng cách thêm l vào S bổ sung cho
đỉnh, cạnh và miền được tạo ra. Đối với mỗi cạnh tạo ra bởi l trong E0,
một miền của F được chia thành hai. Đối với mỗi đỉnh tạo ra bởi l trong
V −E +F không đổi. Vậy V −E +F = 1. Chứng minh Định lí.
Ta sử dụng đặc trưng Euler cho đa giác (hay tổng quát hơn là cho đồ thị) trên bán cầu xạ ảnh đối ngẫu. Trong trường hợp này công thức đặc
trưng Euler là V − E +F = 1 (theo Mệnh đề) với V là số đỉnh, E là số
cạnh và F là số miền.
Giả sử không tồn tại đỉnh đơn sắc. Gọi ri là số các đa giác −i cạnh, c
là số các góc tạo bởi hai màu khác nhau.
Do không có đa giác − 2 cạnh nên
F = X
i≥3
ri. (3.13)
Do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai miền nên
2E = X
i≥3
iri. (3.14)
Do đa giác − 3 cạnh có thể có nhiều nhất 2 góc đơn sắc nên
c≤ 2r3+X
i≥4
iri. (3.15)
Theo giả thiết mỗi đỉnh đều là đỉnh đơn sắc và mọi vòng cung khác màu giao nhau đều tạo ra ít nhất 4 góc. Do đó
c≥ 4V. (3.16)
Từ (3.13), (3.14), (3.15) và đặc trưng Euler ta được
V = 1−F +E = 1−X i≥3 ri + 1 2 X i≥3 iri = 1−X i≥3 i 2 −1 ri ⇒ 4V = 4 +X i≥3 4 i 2 −1 ri = 4 +X i≥3 (2i−1)ri = 4 + 2r3 + 4r4 + 6r5 + 8r6 +... > 0 + 2r3+ 4r4 + 6r5+ 8r6 +... ≥ c.
Phụ lục
Hình 3.10
Tiểu sử về Leonhard Euler
Leonhard Euler, sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707 tại Basel (Thụy Sĩ), qua đời ngày 18 tháng 9 năm 1783 tại St. Petersburg (Nga), ông là nhà toán học và nhà vật lí Thụy Sĩ. Ngay từ nhỏ Euler là một cậu bé có tài năng đặc biệt về ngôn ngữ và một trí nhớ phi thường. Song cuộc đời ông đã trải qua nhiều biến động và bất hạnh: hai mắt lần lượt hỏng, nhà cháy thiêu rụi mọi tài sản, người vợ thân yêu qua đời...
Nhưng tất cả những điều đó không hề ảnh hưởng tới sức sáng tạo, đến khả năng làm việc của ông. Càng về già, Euler càng làm việc không biết mệt mỏi. Chỉ tính riêng trong 17 năm cuối đời, Euler đã công bố tới 416 công trình. Tính ra trung bình mỗi năm ông công bố tới 25 công trình, nhiều gấp 3 lần số công trình mỗi năm trước đó ông đã công bố.
Sau khi ông qua đời, các công trình nghiên cứu của ông đã được tập hợp trong bộ sách “Leonhard Euler Opera Omnia”, gồm 85 quyển cỡ lớn với gần 40.000 trang, trong đó đề cập đến hầu hết các lĩnh vực của toán học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác.
Đối với Euler, làm toán cũng tự nhiên và cần thiết cho đời sống như là hít thở khí trời vậy. Ông đã bị ám ảnh bởi sự biến đổi kỳ diệu của những phép tính cho đến tận khi ông qua đời. Leonhard Euler nghiên cứu hầu hết các lĩnh vực của Toán học thời bấy giờ như: đại số, lý thuyết số, giải
tích, hình học. . . Các công trình về toán học chiếm tới 580/0 tổng các công
trình nghiên cứu của ông.
Một trong những thành công ban đầu của Euler đã là tìm ra lời giải cho bài toán Basel, yêu cầu tìm giá trị chính xác của tổng các bình phương nghịch đảo của các các số nguyên. Trước đó, các nhà toán học tốn rất nhiều công sức mà không tìm ra được kết quả bài toán. Đến năm 1735, khi Euler sử dụng kỹ thuật tính xấp xỉ mới tìm ra kết quả chính xác của bài toán là π62.
Euler cũng khám phá ra công thức V −E +F = 2 liên hệ giữa số đỉnh,
số cạnh, số mặt của một đa diện lồi và cũng được áp dụng cho đồ thị phẳng. Hằng số trong công thức này về sau được gọi là đặc trưng Euler.
Năm 1736, Euler tiếp tục giải được bài toán nổi tiếng 7 chiếc cầu
K¨onigsberg. Khi đó, thành phố K¨onigsberg gồm hai hòn đảo nối với nhau
và với đất liền bởi 7 cây cầu. Bài toán đặt ra là tìm một tuyến đường đi qua mỗi cây cầu chỉ đúng 1 lần. Bằng lý thuyết đồ thị, Euler đã chứng minh rằng điều đó không thể thực hiện. Lời giải của ông cho bài toán này được coi là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị và là đánh dấu sự phát triển của ngành tôpô học.
Không dừng lại ở thành công đó, Euler tiếp tục nghiên cứu và công bố nhiều công trình toán học quan trọng khác như: chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích, đường thẳng Euler, đường tròn Euler trong tam giác, đa diện lồi, nhập môn về tính vi tích, nguyên lý vi phân học, nguyên lý tích phân học, dẫn luận phân tích vô cùng nhỏ, . . . Ngoài ra, Euler còn phát minh ra một chuỗi các phương pháp tính xấp xỉ, được sử
dụng nhiều trong tính toán.
Ông cũng là người đưa ra nhiều kí hiệu toán học mà ngày nay chúng ta
vẫn đang sử dụng như: số "pi" để biểu diễn tỉ lệ giữa chu vi đường tròn
và đường kính của nó, sin, cos, tan, cot, ∆x(số gia), P
(tổng), f(x) (hàm
f của x), v.v...
Euler có nhiều đóng góp cho cơ học, vật lý. Ông đặc biệt nghiên cứu các định luật chuyển động của Issac Newton. Quá trình nghiên cứu này đã giúp ông giải thích các định luật vật lý học Newton dưới dạng toán giải tích, đồng thời giúp ông phát hiện ra nhiều lý thuyết vật lý khác. Ví dụ khi Euler chứng minh được qui luật vận động của các chất lỏng mà Issac Newton đã đưa ra, Leonhard Euler đã phát triển được lý thuyết về sự cân bằng thủy lực.
Tương tự như thế, thông qua việc phân tích sự vận động của thể rắn và áp dụng các định luật của Newton, Euler đã giải thích được một cách cặn kẽ về quá trình biến dạng của các vật thể rắn khi có sự tác động của các lực bên ngoài, từ đó góp phần hình thành lý thuyết đàn hồi. Năm 1936, các công trình nghiên cứu này của ông đã được tập hợp trong chuyên khảo "Lực học".
Ngoài vật lý, Euler cũng nghiên cứu về thiên văn học, lý thuyết đường đạn, bản đồ, xây dựng, lý thuyết âm nhạc, thần học và triết học,. . . Trong những năm tháng mù lòa, ông đã viết một chuyên khảo dài 775 trang về chuyển động của mặt trăng. Ông cũng nghiên cứu về quỹ đạo của sao Thiên Vương, nhờ đó các nhà thiên văn học tìm ra sao Hải Vương sau này. Với những đóng góp cho khoa học, Euler được phong làm Viện sĩ của 8 viện hàn lâm trên thế giới, trong đó có Anh, Pháp, Nga, Đức,. . . Ông cũng được coi là nhà toán học quan trọng nhất của thế kỷ XVIII.
Kết luận
Luận văn “Đặc trưng Euler và một số ứng dụng ” đã trình bày một số cách chứng minh đặc trưng Euler và một số ứng dụng. Các kết quả được trình bày trong luận văn bao gồm:
Trình bày một số kiến thức sơ lược về lý thuyết đồ thị dùng để bổ trợ cho một số cách chứng minh đặc trưng Euler.
Trình bày một số phương pháp chứng minh đặc trưng Euler.
Trình bày một số ứng dụng và bài toán liên quan của đặc trưng Euler. Cụ thể, từ kết quả tổng quát của đặc trưng Euler phát triển thêm một số ứng dụng trong lý thuyết đồ thị và sử dụng để chứng minh một số bài toán như khối đa diện Platon, trái bóng đá và một số định lí như: định lí Pick,
định lí Sylvester − Gallai, định lí đường đơn sắc.
Đặc trưng Euler còn một số cách chứng minh khác, tuy nhiên do khả năng còn hạn chế nên luận văn chưa nghiên cứu được đầy đủ các cách chứng minh.
Hy vọng luận văn giúp cho người đọc có cái nhìn bao quát về đặc trưng Euler và một số ứng dụng của nó trong toán sơ cấp.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Ian Stewart (2015), 17 phương trình thay đổi thế giới, NXB Trẻ (Dịch
từ: Ian Stewart (2013), 17 equations that changed the world).
[2] Kenneth H.Rosen (1998), Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học,
NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
[3] Nguyễn Văn Lợi, Ngô Thị Nhã, Lý thuyết đồ thị,
sigmaths.com/tai-lieu/ly-thuyet-do-thi–phan-1.html.
[4] Nguyễn Trung Tuân, (Tháng 3 - 2018), Định lí Pick,
https://nttuan.org/2017/03/18/topic-872/.
Tiếng Anh
[5] David Eppstein, "Twenty Proofs of Euler’s Formula: V −E +F = 2"
https://www.ics.uci.edu/ eppstein/junkyard/euler/.
[6] A. Martin, Z. Guter (2014), Proofs from the book, Springer-Verlag,
Berlin, New York.
[7] Jonathan Lorand (2012), "The Sylvester − Gallai Theorem, the
Monochrome Line Theorem and Generalizations", Report for a Semi-
nar on the Sylvester − Gallai Theorem.
[8] David S. Richeson (2012), Euler’s Gem: The Polyhedral Formula and
the Birth of Topology, Oxford.
[9] N. L. Biggs, E. K. Lloyd, R. J. Wilson (2009), Graph Theory 1736–