Cây quản lí đoạn

Cây quản lí đoạn [3], còn gọi là cây chứa khoảng [2], là một cấu trúc dữ liệu để lưu trữ một tập các khoảng trên trục số. Đây là một cấu trúc dữ liệu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong hình học tính toán, truy vấn cơ sở dữ liệu, cửa sổ truy vấn và xử lí tín hiệu [7], [9].

Mục này đơn giản hóa cấu trúc cây quản lý đoạn để giải quyết bài toán truy vấn, nó chỉ là một hạn chế của cây quản lí đoạn trong trường hợp cụ thể.

Có 3 loại khoảng trên trục số: khoảng đóng (đoạn), khoảng mở và khoảng nửa mở.

[ , ] { : } ( , ] { : } [ , ) { : } ( , ) { : } s f x R s x f s f x R s x f s f x R s x f s f x R s x f                

Cây quản lí đoạn trong phạm vi này chỉ làm việc với đoạn.

Với hai đoạn i1 [ 1, 1];s f i2 [ 2, 2]s f đúng một trong ba mệnh đề dưới đây thỏa mãn:

 i i gối nhau (overlap), tức là hai đoạn 1, 2 i i1, 2 có điểm chung,

 i nằm bên trái 1 i2: f1s2,

 i nằm bên phải 1 i2: f2 s1.

Cây quản lí đoạn bản chất là một cây nhị phân tìm kiếm, mỗi nút chứa một đoạn và khóa so sánh là đầu mút trái của mỗi đoạn. Nói cách khác, nếu duyệt cây theo thứ tự giữa ta sẽ liệt kê được tất cả các đoạn theo thứ tự tăng dần của đầu mút trái. Nói như vậy nghĩa là ta chỉ quan tâm tới cách biểu diễn cây quản lí đoạn bằng cấu trúc liên kết thay vì biểu diễn bằng mảng, xem hình 2.1.

Tại mỗi nút p, thông tin nút ngoài việc lưu trữ một đoạn trên trục số, ta

lưu trữ thêm một trường rightmost: giá trị lớn nhất của các đầu mút phải của các đoạn nằm trong nhánh cây gốc p. Hình 2.3 là ví dụ về cây quản lí thông

tin của 10 đoạn: [16, 21]; [8, 9]; [25, 30]; [5, 8]; [15, 23]; [17, 19]; [26, 26]; [0, 3]; [6, 10]; [19, 20].

Hình 2.3. Ví dụ về một cây quản lí đoạn

Một trong những ứng dụng của cây quản lí đoạn đó là nó rất thuận tiện, phù hợp khi thiết kế các cửa sổ truy vấn hay trong các bài toán truy vấn phạm vi [7]. Hình 2.4 dẫn chứng hai ví dụ về cửa sổ truy vấn: cửa sổ truy vấn thông tin trên bản đồ định vị trên màn hình thiết bị định vị trên xe ô tô (hình 2.4a) và cửa sổ truy vấn thông tin chi tiết các đối tượng trên một phần bảng mạch điện tử (hình 2.4b) gồm các đối tượng nằm trong, đối tượng nằm ngoài, đường biên,...

b)

Hình 2.4. Ví dụ về cửa sổ truy vấn

Cấu trúc cây quản lí đoạn và một số thao tác thường sử dụng trên cấu trúc dữ liệu này có thể được mô tả như sau: