Đặt * (∑ ) +.
Nếu ( ) không phải là một phẳng phức ( ) - chiều, ta sẽ gọi điểm
là điểmthông thường. Nếu không phải là điểm thông thư ng của
M thì nó được gọi là điểm ngoại lệ của M.
Bởi vì là một siêu mặt compact lồi mạnh trong phẳng
* (∑ ) +, và mọi phẳng phức ( )- chiều nằm trong đều song song với nhau, nên có chính xác hai điểm ngọai lệ.
Kí hiệu là tập các điểm thông thư ng .
Cho Г là một siêu mặt trong là một hình tròn, bao gồm các điểm có dạng e và h là một hàm thực trong lân cận của Г sao cho h| h|
và et (h ̅ ̅ )
o(h ) trong lân cận của . Một hàm thỏa mãn các điều kiện trên có thể dễ dàng xây dựng
Dạng Levi là xác định dương chặt trên mọi phẳng ( ) . Xét trên x
metric Lorentz sau:
∑
̅
̅ . (2.8) Trong một lân cận của mỗi điểm của Гx , metric này không phụ thuộc vào cách chọn và hoàn toàn xác định bởi cấu trúc địa phương của Г.
Cho là một ánh xạ song chỉnh hình xác định trong lân cận của Г và
= ( ). Ta định nghĩa cái nâng Гx bằng công thức (z ) (w ̃)
| | (
). (2.9)
Theo tính chất địa phương của mêtric (2.8), (2.9) vẫn đúng nếu là ánh xạ song chỉnh hình địa phương xác định trong lân cận của tập con mở bất kì
̃ , và ( ̃) .
Nếu dọc một đư ng cong , - x thì theo điều kiện (2.9), dọc .
Ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.2.1: Giả sử , - là một đường cong trơn từng khúc,
transversal với ( ) tại mọi điểm (tại mỗi điểm mà không trơn thì hướng
giới hạn của cũng được giả thiết là transversal với ( )). Khi đó, tồn tại cái
nâng trơn từng khúc ( ) , - của đường cong sao cho
dọc . Chứng minh:
Xác định trên , - một hàm trơn từng khúc ( ) sao cho :
(∑ ̇ ) ̇ ∑ ̅ ̇ ̅̇
Do tính transversal của với ( ) ta có:
∑ ̇
Vì vậy, phương trình này có thể giải được với trong mọi đoạn mà là trơn. Áp dụng điều kiện ban đầu vào cuối của mỗi đoạn này theo một cách thích hợp ta thu được một hàm ( ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để chứng minh kết quả chính của phần này trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2:Cho , - là ảnh của đường cong . Khi đó
Chứng minh:
Vì ̃ trong đó trên , ta có :
〈 ̃ ̇ 〉 〈 ( ) ̇ 〉 〈 ̇ 〉
Bổ đề 2.2.3:Ánh xạ liên tục đều trên họ các đường cong { }
Chứng minh:
Bởi vì mặt giả lồi mạnh và compact, với và
( ) () ta có:
∑ ̃
̅
̅ | | (2.10) trong đó không phụ thuộc vào . Ta chọn thật nhỏ sao cho bất đẳng thức này được thỏa mãn (có thể với một hằng số khác ), với mọi
và () nếu ( )
Với mỗi ta chia đoạn , - của tham số thành hai đoạn và
bằng cách sau: . ̇ ( )/ với và . ̇ ( )/ với . Ta sẽ thêm dấu phẩy vào kí hiệu của các đư ng cong khi ta xét chỉ các phần của chúng tương ứng với và , ví dụ như và ,….
Từ bổ đề 2.2.1, với mọi đư ng cong ta xây dựng:
( ) , - x
sao cho dọc . Khi đó:
̃ ̃ ∑ ̃ ̅ ̅ (2.11) trên ( ̃ ) , - x , trong đó ̃ . Vì các đạo hàm riêng ̃ ̅ bị chặn trên , ta có: |∑ ̃̅ ̅ | | | (2.12) với mọi ( ) . Mặt khác, vì ̃ triệt tiêu chỉ theo hướng tiếp xúc phức của nên với một số nào đó, trên mọi ( ) ta có:
̃ | |
Biến đổi (2.11) và (2.12) ta được:
| ̃ | | | (2.13) trên trong đó
Không khó để thấy rằng độ dài của đư ng cong ( ) bị chặn đều. Thật vậy, với mỗi , xét tập các điểm của mà tại đó ( ̇ ) . Hợp của các thành phần của tập này mà có giao với được kí hiệu . Hiển nhiên,
và theo bổ đề 2.1.3 ta có thể tim được một sao cho độ dài mỗi thành phần của h ng nh hơn . Chia thành các cung mà độ dài của chúng nằm giữa và . Theo bổ đề 2.1.5, độ dài của nghịch ảnh của mỗi cung không nhỏ hơn một số phụ thuộc vào . Vì các độ dài | | là bị chặn đều nên số các cung vào là gãy như thế cũng là bị chặn đều với . Vì vậy, các độ dài | | và do đó các độ dài | | cũng bị chặn đều.
Do đó, từ (2.13) ta có đánh giá đều sau:
̃
trong đó, vế trái là sự biến đổi hoàn toàn của hàm ̃ trên tập .
Nếu tập hợp * + là liên thông đơn, thì hàm số arg là giá trị đơn trên ( trên ). Với hàm ̃ ( ) ( ) arg ( ( )) ta có:
| ̃ ( ) ̃ ( )| | ( ) ( )| |arg ( ( )) arg ( ( ))| Từ sự xây dựng của họ { }, ta có độ lớn của | ( ) ( )| là bị chặn đều. Hơn nữa cuối các đư ng cong nằm trong tập compact * + nên |arg ( ( )) arg ( ( ))| là bị chặn đều. Do đó ta có đánh giá sau. Từ đó:
Giả sử định lí 2.2.3 là sai. Khi đó, tồn tại một số và một chuỗi các cung sao cho | | ⁄ và ảnh của các cung này có
độ dài bằng ( ). Giả sử rằng , - trong đó
( ) ( ) với , - , -
Theo bổ đề 2.1.5, ta có:
min
, - . ̇ ( )/ hi
Giảm nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng:
max
, - . ̇ ( )/ hi
Rõ ràng, trên ta có:
| ̃| | |
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng do đó, theo (2.10) và (2.11)
| ̃ | | | tr n Vì | | và ta có , - ̃ khi . Nhưng vì ̃ ∑ ̃ ̅ ̅ nên ̃
Vì vậy trên các tập các hàm ̃ đơn điệu tăng và ̃ hi Nhắc lại rằng ̃ là bị chặn đều nên ta có
| ̃ ( ) ̃ ( )| khi ; điều này mâu thuẫn với (2.14). Do đó bổ đề được chứng minh.
Dưới đây là kết quả chính về sự thác triển liên tục giải tích và là nội dung quan trọng trong luận văn.
Bổ đề 2.2.4: Cho là một miền lồi, và là các siêu mặt giả
tích thực giả lồi chặt (ASPC) không có dạng cầu, trong đó * ( )
+ là đóng tương đối trong và lồi chặt, compact. là ánh xạ chỉnh hình trên tập:
* (∑ ) +,
trong đó và ( ) .
Khi đó, ánh xạ thác triển liên tục trên .
Chứng minh:
Xét một điểm tùy ý . Để đơn giản chúng ta có thể giả sử , là ánh xạ chỉnh hình trong tập * ( ) + với ( )
(| |) trong lân cận của điểm gốc và * +. Điều này có thể thực hiện được bằng cách lựa chọn một hệ tọa độ thích hợp. Đối với các toạ độ địa phương trên Г, xét các trư ng vectơ:
Chúng ta xét các trư ng vectơ trên chỉ trong lân cận đủ nhỏ của điểm gốc mà ở đó chúng không tiếp xúc phức. Với ta kí hiệu và là các dây chuyền qua điểm theo hướng và tương ứng.
Chọn và một lân cận của điểm sao cho * + và với , các dây chuyền và thừa nhận
, - như là một tham số. Lấy vi phân của và theo tham số và theo định lý hàm ẩn, chúng ta có thể giả sử rằng qua mỗi điểm trong tập
* + có chính xác một dây chuyền ̃ ( ) dạng và một dây chuyền ̃̃ ( ) dạng . Kí hiệu là đư ng cong gẫy được tạo thành từ các đoạn của dây chuyền ̃ ( ) và ̃̃ ( ) xác định bởi điều kiện [ ]. Trên ta đưa ra một tham số , - sao cho ( ) ̃ ( ) ( )
và ( ) ̃̃ ( ). Không khó để chỉ ra rằng các kết quả của sự xây dựng
trên tức là tại các điểm trơn của .
〈 ̇ 〉
(trong đó là hàm số xác định bởi mêtric ). Hơn nữa, với một vài
và mọi và , -, ta có . ̇ ( )/ và | | . Trong một lân cận cuả điểm trên
Ta xét một hệ tọa độ ( ) ( ), mà đối với nó các dây chuyền có phương trình const. Mà theo bổ đề 2.2.3 các hạn chế
( )| như là các hàm của hội tụ đều khi trong lân cận của điểm gốc . Vì vậy trên xác định một ánh xạ liên tục ( ). Cho một
tùy ý, chọn một lận cận ̃ của điểm sao cho ̃ thì bất đẳng thức
| ( ) ( )| ⁄ là hoàn toàn đúng. Theo bổ đề 2.2.3 thì tồn tại
sao cho ̃ và , ), ta có
| ( ) ( )| ⁄
Từ đó suy ra | ( ) ( )| . Bổ đề được chứng minh.