Ở trên, ta đã chứng minh định lí 2.3.5. Nếu các biên và không có dạng hình cầu thì theo định lí 2.3.5, f liên tục dọc mọi đư ng trên . Theo sự liên thông của và định lí Osgood- Brown, thác triển thành ánh xạ chỉnh hình ̅ ̅. Ánh xạ này là song chỉnh hình, nghịch ảnh của nó có được từ kết quả của sự liên tục . Trong trư ng hợp và có dạng cầu ta có định lí sau từ [12].
Định lý 2.4.1: Cho là giải tích thực giả lồi chặt có các biên liên
thông đơn, là lân cận liên thông của một điểm và là một
ánh xạ chỉnh hình không liên tục sao cho ( ) . Khi đó thác triển
thành một ánh xạ song chỉnh hình .
Định lí 2.4.2: Cho là giải tích thực giả lồi chặt có các biên liên thông và là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó là song chỉnh hình địa phương.
Chứng minh:
Theo Alexander [9], tồn tại lân cận của điểm sao cho thác triển như một ánh xạ tới lớp trên ̅. Theo [7] có thể thác triển chỉnh hình vào ̅ và nếu các biên { không có dạng cầu thì định lí 2.4.2 là hệ quả của định lí 2.3.5.
Giả sử các biên { là có dạng cầu. Ta cần chứng minh thác triển chỉnh hình trên ̅. thác triển liên tục trê ̅ vì có dạng cầu trong lân
cận của điểm ( ) tồn taị một ánh xạ song chỉnh hình
biến đổi thành một mảnh của hình cầu *| | +.
Theo định đề 2.1.4, ánh xạ và liên tục dọc mọi hướng trên biên
và đồng th i song chỉnh hình địa phương.
Giả sử một đư ng bất kì , - ( ) và liên tục trên tới điểm ( ) và trên tới điểm ( )
KẾT UẬN
Thông qua luận văn này, tôi đã tìm hiểu một số vấn đề về thác triển chỉnh hình giữa các siêu mặt thực cụ thể luận văn đã đạt được kết quả sau:
Hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu.
Phần trọng tâm của luận văn trình bày các kết quả về sự thác triển ánh xạ chỉnh hình của các siêu mặt giải tích thực.
Bài toán nghiên cứu về thác triển chỉnh hình giữa các siêu mặt giải tích thực luôn là bài toán mở đối với những ngư i nghiên cứu. Một số vấn đề mà trong luận văn chưa trình bày và có thể tiếp tục nghiên cứu.
Do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp, hơn nữa do th i gian và khả năng có hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng việt
[1]. Trần Anh Bảo (1976), Lý thuyết hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục. [2]. Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức
hyperbolic, Nxb Đại Học Sư Phạm.
[3]. Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2000), Hàm biến phức, Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[4]. Nguyễn Văn Khuê – Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nxb Giáo Dục. [5]. B. V. Sabat, Nguyễn Thủy Thanh và Hà Huy Khoái dịch (1979), Nhập môn
giải tích phức, tập 2, Nxb Đại Học và Trung Học Chuyên Nghiệp.
Tài liệu tiếng anh
[6]. Charles Fefferman, The bergman kernel and biholomorphic mappings of
pseudoconvex domains, Invent. Math. 26 (1974), 1 – 65.
[7]. D. Burns, Jr. and S. Shnider, Spherical hypersurfaces in complex manifolds, Invent. Math. 33 (1976), 223 – 246.
[8]. Élie Cartan, Sur la géométrie pseudo-conforme des hypersurfaces de
l’éspace de deux variables complexes. I, II, Ann. Math. Pura Appl. (4) 11
(1932/33), 17 – 90; Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (2) 1 (1932), 333 – 354. [9]. Herbert Alexander, Holomorphic mappings from the ball and polydisc,
Math. Ann. 209 (1974), 249 – 256.
[10]. Henri Poincaré, Les fonctions analytiques de deux variables et la
representation conforme, Rend. Circ. Mat. Palermo 23 (1907), 185 – 220.
[11]. S. S. Chern and J. K. Moser, Real hypersurfaces in complex manifolds, Acta Math. 133 (1974), 219 – 271.
[12]. S. I. Pinčuk, On the analytic continuation of holomorphic mappings, Mat. Sb. 98 (140) (1975), 416 – 435; English transl. in Math. USSR Sb. 27 (1975). [13]. S. I. Pinčuk, On proper holomorphic mappings of strictly pseudoconvex
domains, Sibirsk. Mat. Ž. 15 (1974), 644 – 649; English transl. in