2 Bài toán định vị với hàm mục tiêu lồi
2.3 Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán định vị với hàm mục tiêu
tiêu mimax
Ở phần này, sẽ trình bày một thuật toán toán sau đây có thể được xem như là một sự cải biên của thuật toán dưới đạo hàm được xét trong tài liệu [8] cho bài toán định vị với hàm mục tiêu minmax.
Như đã đề cập ở phần giới thiệu, để giải bài toán, chúng ta cần tìm một điểm x trong một tập lồiDcho trước sao cho khoảng cách lớn nhất từ xđến các điểm trong một tập hữu hạn đã biếtC là ngắn nhất.
Định nghĩa 2.3.1. Khoảng cách cực đại từ một điểm x tới một tập C được nghĩa
bởi
d(x,C):=maxy∈Ckx−yk2.
Khi đó bài toán tối ưu phải giải là:
min
x∈Dd(x,C).
Bổ đề 2.3.2. GọiVC là tập các đỉnh của convC. Khi đó ta có
(i) VC ⊆C (ii) d(x,C) =max n kx−yk2 y∈VC o .
Chứng minh. Ta thấy(i)được suy ra từ định nghĩa tậpVC. Từ(ii), ta có d(x,C) =max
y∈C kx−yk2= max
y∈conv(C)kx−yk2=max
y∈VCkx−yk2,
trong đó đẳng thức sau là giá trị lớn nhất của một hàm lồi trên tập lồi đạt được tại điểm cực biên của nó.
Bổ đề 2.3.3. Đặtv1, . . . ,vm là các phần tử củaVC . Khi đó ta có: (i)d(x,C)lồi mạnh với hệ số 2;
(ii) ∂d(.,C)(x) = conv(∪j∈j(x)∂dj(.,C)(x)), trong đó ∂dj(. ,C)(x) là dưới vi phân của hàm lồidj(. ,C) tại x và
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.5.2(i) suy ra d(x,C) =max j∈J x−vj 2 =max j∈J dj(x,C).
Theo Bổ đề 1.5.2(i), với mỗi j ∈J hàm dj(x,C) =x−vj
2
lồi mạnh với hệ số bằng 2. Do đó khẳng định (i)nhận được từ(ii)của Bổ đề 1.5.2, trong khi khẳng định(ii)tuân theod(x,C).
Từ khía cạnh tính toán, việc tính giá trị hàm mục tiêu d(x,C) tại mỗi điểm của C sẽ rất tốn kém nếu số điểm trongC quá nhiều. May thay, nhờ có Bổ đề 2.3.2(i), để cực tiểu hàm d(x,C), ta chỉ cần phải xét trong đỉnh của bao lồiC.
Ta sẽ chứng minh Bổ đề sau để chứng minh sự hội tụ của thuật toán.
Bổ đề 2.3.4. Giả sử{ξk} là một dãy số dương thỏa mãn điều kiện
ξk+1≤ξk+βk ∀k∈N, trong đóβk≥0 và ∞ ∑ k=0 βk <+∞, thì dãy{ξk} hội tụ.