2 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị lồi
2.2.3. Bài toán điểm bất động
Giả sử C là một tập lồi bất kì trong không gian Rn và T : C → C
là ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động, ký hiệu là FP(T, C) (fixed point problem), được phát biểu như sau: tìm x∗ ∈ C thỏa mãn
Tìm x∗ ∈ C thỏa mãn x∗ = T(x∗). (2.13) Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (2.13) tương đương với việc giải phương trình toán tử:
T(x∗)−x∗ = 0. (2.14) Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach vào năm 1992 như sau:
Định lý 2.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và với xấp xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn} được định nghĩa bởi xn+1 = T(xn), với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q.
Chứng minh.
Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T(xn) với n ≥ 0. Do T là ánh xạ co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng số k ∈ [0,1) sao cho d(T(x), T(y)) ≤ kd(x, y). Xét: d(xn, xn+1) = d(T(xn−1), T(xn)) ≤ kd(xn−1, xn) ≤ k2d(xn−2, xn−1) ≤ . . . ≤ knd(x0, x1). Lấy m > n ta có: d(xn, xm)≤ d(xn, xn+1) +d(xn+1, xn+2) +. . .+d(xm−1, xm) ≤ (kn+kn+1+. . .+km−1)d(x0, x1) ≤ kn(1 +k+. . .+km−n−1)d(x0, x1) ≤ kn 1 1−kd(x0, x1) → 0 khi n → ∞.
Vậy {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Do đó dãy
{xn} hội tụ tới phần tử q ∈ X. Với mỗi n ≥ 0 ta có
0 ≤ d(q, T(q)) ≤ d(q, xn) +d(xn, T(q)) =d(q, xn) +d(T(xn−1), T(q))
≤ d(q, xn) +kd(xn−1, q).
Vì dãy {xn} hội tụ về phần tử q ∈ X nên d(q, xn) +kd(xn−1, q) →0 khi
n → ∞. Từ đó 0 ≤ d(q, T(q)) ≤ 0 suy ra d(q, T(q)) = 0 hay T(q) = q. Vậy q là điểm bất động của ánh xạ T.
Tính duy nhất: Giả sử tồn tại p ∈X sao cho T(p) = p. Khi đó
d(q, p) = d(T(q), T(p)) ≤ kd(q, p).
Với k ∈ [0,1) thì từ đẳng thức trên suy ra d(q, p) = 0 do đó q = p. Vậy
q là duy nhất.
2
Bài toán điểm bất động được sử dụng để xây dựng, phân tích và tính toán nghiệm cho bài toán cân bằng kinh tế. Bài toán điểm bất động
(2.13) có thể viết dưới dạng bất đẳng thức biến phân VI(F, C) như nội dung của mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.8 [5] Nếu ánh xạ F xác định bởi
F(x) = x−T(x) (2.15)
thì mọi nghiệm của bài toán VI(F, C) là nghiệm của bài toán điểm bất động FP(T, C) và ngược lại.
Chứng minh. Nếu x∗ thỏa mãn (2.13) thì hiển nhiên F(x∗) = 0 và do đó x∗ ∈ SOL-VI(F, C). Ngược lại nếu x∗ ∈ SOL-VI(F, C) và x∗ thỏa mãn (2.15) thì khi đó T(x∗) ∈ C ⊂ Rn và đặt x= T(x∗) trong (1.1) thì ta có
0 ≤ hx∗ −T(x∗), T(x∗)−x∗i = −kx∗ −T(x∗)k2 ≤ 0.
Từ đây suy ra x∗ = T(x∗), tức là x∗ thỏa mãn (2.13).
2
Ngược lại, bất đẳng thức biến phân cũng có thể được biểu diễn dưới dạng bài toán điểm bất động dựa trên phép chiếu mêtric. Mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động (2.13) và bất đẳng thức biến phân VI(F, C)
được phát biểu trong định lý sau.
Định lý 2.3 [7] Giả sử C là một tập con khác rỗng lồi đóng của Rn. Khi đó x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) khi và chỉ khi với mỗi γ >0, x∗ là điểm bất động của ánh xạ
PC(I −γF) : C →C,
tức là
x∗ = PC(x∗−γF(x∗)). (2.16)
Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C), tức là ta có
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với −γ < 0 và cộng cả hai vế của bất đẳng thức thu được với hx∗, x−x∗i, ta có
hx∗, x−x∗i ≥ hx∗−γF(x∗), x−x∗i. (2.17) Từ Định lý 1.1, ta có x∗ thỏa mãn (2.16).
Ngược lại, giả sử x∗ thỏa mãn (2.16) với γ > 0. Khi đó,
hx∗, x−x∗i ≥ hx∗−γF(x∗), x−x∗i.
Suy ra x∗ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI(F, C).
2