2 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị lồi
2.2.4. Bài toán cân bằng kinh tế dưới dạng bất đẳng
biến phân
Mục này trình bày một bài toán thực tế trong lĩnh vực kinh tế được mô hình hóa dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan đã trình bày trong các mục trước. Các kiến thức trình bày trong mục này được tham khảo từ tài liệu [7].
Một số mô hình kinh tế được xây dựng để khảo sát các điều kiện cân bằng nguồn cung và cầu của một loại hàng hóa nào đó, các mô hình này thực chất chính là mô hình của bài toán cân bằng. Khái niệm cân bằng kinh tế có thể biểu thị dưới dạng mối quan hệ bổ sung giữa giá cả và nguồn cầu bị vượt quá của mỗi loại hàng hóa. Do đó, hầu hết các mô hình cân bằng kinh tế hiện nay đều có thể viết dưới dạng bài toán bù hoặc bất đẳng thức biến phân. Để minh họa cho khẳng định này, chúng tôi mô tả một trong những mô hình kinh tế tổng quát nhất do Walras đưa ra.
Trước tiên ta xét bài toán cân bằng thị trường được mô tả dưới dạng bài toán hệ phương trình. Một cơ sở sản xuất phân phối n mặt hàng ký hiệu lần lượt bởi i, i = 1,2, . . . , n cho m đại lý tiêu thụ mỗi đại lý được ký hiệu bởi j, j = 1,2, . . . , m. Ký hiệu p là vec tơ n-chiều biểu thị giá của mỗi mặt hàng gồm các thành phần p = (p1, p2, . . . , pn). Giả sử lượng cầu đối với mặt hàng thứ i của tất cả các đại lý là di. Nói chung
di phụ thuộc vào giá của tất cả các mặt hàng, tức là di =di(p). Khi đó ta có di(p) = m X j=1 dij(p),
trong đó dj(p) là chỉ nhu cầu đối với mặt hàng thứ i của đại lý thứ j. Tương tự ta có lượng cung của mặt hàng thứ i cho tất cả các đại lý, ký hiệu là si, nói chung, phụ thuộc vào giá của tất cả các mặt hàng, tức là si(p) = m X j=1 sij(p),
trong đó sij(p) là lượng cung của mặt hàng thứ i cho đại lý thứ j với vec tơ giá p.
Ta có thể tổng hợp lượng cầu đối với tất cả các mặt hàng thành một vec tơ cột n-chiều dvới các thành phần như sau: {d1, d2, . . . , dn} và lượng cung đối với n mặt hàng thành một vec tơ cột n-chiều s với các thành phần như sau: {s1, s2, . . . , sn}.
Điều kiện cân bằng của thị trường yêu cầu lượng cung của mỗi mặt hàng phải bằng lượng cầu của mặt hàng đó với vec tơ giá p∗, tương đương với hệ phương trình sau:
s(p∗) =d(p∗).
Hiển nhiên hệ phương trình trên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát của hệ phương trình nếu ta xác định vec tơ x≡ p và F(x) ≡
s(p)−d(p). Tuy nhiên cần chú ý rằng lớp bài toán hệ phương trình chưa đủ tổng quát để bảo đảm cho bài toán đang xét chẳng hạn nếu p∗ ≤ 0
vẫn thỏa mãn.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày bài toán bù phi tuyến cho bài toán cân bằng thị trường ở trên. Xét trường hợp các hàm cầu được cho trước các hàm cung. Khi đó, thay vì điều kiện cân bằng thị trường được xét trong trường hợp hệ phương trình, ta xét điều kiện cân bằng sau: Với mỗi mặt hàng thứ i, i = 1,2, . . . , n, s(p∗)−d(p∗) = 0 nếu p∗i >0 ≥ 0 nếu p∗i = 0.
Điều kiện cân bằng này có nghĩa là nếu giá của mỗi mặt hàng là dương trong trạng thái cân bằng thì lượng cung của mặt hàng đó phải bằng lượng cầu của mặt hàng. Mặt khác, nếu giá của mặt hàng ở trạng thái cân bằng là bằng 0 thì khi đó lượng cung của mặt hàng đó vượt quá lượng cầu đối với mặt hàng, tức là s(p∗) − d(p∗) > 0, hay thị trường ngừng hoạt động. Hơn nữa, hệ phương trình và hệ bất phương trình này bảo đảm rằng giá của các mặt hàng không lấy giá trị âm như trong trường hợp điều kiện cân bằng thị trường trong trường hợp hệ phương trình đã xét ở trên. Khi đó, mô hình toán dạng bài toán bù phi tuyến cho bài toán xét ở trên được biểu diễn như sau.
Xác định p∗ ∈Rn
+ thỏa mãn
s(p∗)−d(p∗) ≥ 0 và hs(p∗)−d(p∗), p∗i = 0.
Hơn nữa, ta biết rằng bài toán bù phi tuyến là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân. Do đó, ta có thể viết lại bài toán bù phi tuyến dưới dạng bất đẳng thức biến phân như sau:
Tìm điểm p∗ ∈ Rn
+ thỏa mãn
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số vấn đề sau:
1. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày tổng quát về bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều trong không gian Rn cùng với sự tồn tại và duy nhất nghiệm và các tính chất của tập nghiệm của bài toán với các giả thiết về tính chất đơn điệu hoặc liên tục đặt lên toán tử F cũng như các tính chất lồi đóng hoặc compact của tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân.
2. Chương 2 dành cho việc trình bày mối quan hệ của bài toán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán trong giải tích như bài toán hệ phương trình, bài toán bù, bài toán tối ưu, và bài toán điểm bất động. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi còn trình bày một bài toán cân bằng kinh tế được mô hình hóa dưới dạng bất đẳng thức biến phân.
Nội dung của luận văn giúp cho tác giả có những hiểu biết nhất định về bất đẳng thức biến phân và vai trò của bất đẳng thức biến phân trong việc nghiên cứu các bài toán quan trọng của giải tích phi tuyến cũng như những bài toán thực tế. Đóng góp của tác giả là tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức để hoàn thành bản luận văn này.
Tài liệu tham khảo
[1] Baiocchi C., Capelo A. (1984), Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems, J. Wiley and Sons, New York.
[2] Dafermos S. (1980), Traffic equilibrium and variational inequalities,
Transportation Science, 14, 42-54.
[3] Kinderlehrer K., Stampacchia G. (1980), An Introduction to Varia- tional Inequalities and Their Applications, Acad. Press, New York.
[4] Konnov I.V. (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer Verlag, Berlin, Germany.
[5] Konnov I.V. (2007), Equilibrium Models and Variational Inequali- ties, Mathematics in Science and Engineering, Volume 210, Elsevier.
[6] Lions J.L., and Stampacchia G. (1967), Variational inequalities,
Comm. Pure Appl. Math., 20, 493–519.
[7] Nagurney A. (1993), Network Economics: A Variational Inequality Approach Advances in Computational Economics, Kluwer Academic Publishers, Springer Netherlands.
[8] Ortega J.M., Rheinboldt W.C. (1970), Iterative solutions of nonlin- ear equations in several variables, Acad. Press, New York, 141–143.
[9] Polyak B.T. (1983), Introduction to Optimization, Nauka, Moscow, English translation in Optimization Software, New York.
[10] Smith M. (1979), Existence, uniqueness, and stability of traffic equi- libria, Transportation Research, 13B, 295–304.
[11] Stampacchia G. (1964), Formes bilineares coercitives sur les ensem- bles convexes, C. R. Acad. Sci. Paris, 258, 4413–4416.