Giả sử X, Z, Y, Y1, Y2 là các không gian vectơ tôpô Hausdorff thực. Giả sử D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con không rỗng. Cho các ánh xạ đa trị
P, P0 : D×K →2D, Q, T : D×K → 2K, N :K×D×D → 2K, F :K×
K×K×D → 2Y, F1 : K×K×K×D → 2Y1 vàF2 : K×K×D×D → 2Y2.
Xét các bài toán sau:
1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát, được kí hiệu là (GQEP), tìm
(¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho x¯ ∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
0∈ F(¯y,y, v,¯ x¯) với mọi v ∈ Q(¯x,y¯).
Bài toán (GQEP) được nghiên cứu trong [4], [6].
2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp, kí hiệu là (M GQEP), tìm
(¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho ¯ x ∈ P(¯x,y¯),y¯∈ T(¯x,y¯); 0∈ F1(¯y,y, v,¯ x¯) với mọi v ∈ T(¯x,y¯) và 0 ∈ F2(¯y, v,x, t¯ ), với mọi t ∈ P0(¯x,y¯) và v ∈ N(¯y,x, t¯ ).
Bài toán (M GQEP) được nghiên cứu trong [7].
Định lí dưới đây cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát (GQEP).
Định lí 2.3.1. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D và K là các tập con không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K →2D là ánh xạ liên tục tách biến với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q : D ×K → 2K là ánh xạ usc tách biến với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iv) Ánh xạ đa trị F : K ×K ×D ×D → 2Y thỏa mãn
(iv)0 Với mỗi (x, y) ∈ D ×K, tập
A0 := {z ∈ P(x, y) : 0 ∈ F(y, x, z, t) với mọi t ∈ P(x, y)}
là không rỗng và lồi;
(iv)1 Với mỗi y ∈ K, tập
A1 := {(x, z, t) ∈ K ×D ×D : 0 ∈ F(y, x, z, t)}
là đóng trong K ×D ×D;
(iv)2 Với mỗi x ∈ D, tập
A2 := {(y, z, t) ∈ K ×D ×D : 0 ∈ F(y, x, z, t)}
là đóng trong K ×D ×D;
Khi đó bài toán tựa cân bằng tổng quát (GQEP) có nghiệm.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H : D ×K → 2D bởi
với (x, y) ∈ D ×K. Từ giả thiết (v), ta suy ra H có giá trị không rỗng và lồi. Với mỗi y ∈ K, dãy xα → x và wα ∈ Q(xα, y), wα → w. Ta chỉ ra w ∈ H(x, y). Thật vậy, ta có w ∈ P(x, y) và 0 ∈ F(y, xα, wα, t)
với mọi t ∈ P(xα, y). Với mỗi t ∈ P(x, y), do P(., y) là lsc nên tồn tại
tα ∈ P(xα, y) sao cho tα → t. Do vậy 0 ∈ F(y, xα, wα, tα,) với mọi α. Vì tập A đóng nên kéo theo 0 ∈ F(y, w, v, x) với mọi t ∈ P(x, y). Vậy
w ∈ Q(x, y). Điều này chứng tỏ ánh xạ H(., y) là đóng. Từ đó suy ra
H(., y) là usc trên D. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng được H(x, .) là usc trên K. Vậy H là usc tách biến trên D ×K. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : D×K → 2D×K bởi
G(x, y) = H(x, y)×Q(x, y), (x, y) ∈ D ×K.
Khi đó tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.2.9 được thỏa mãn. Áp dụng Hệ quả 2.2.9, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯). Điều này kéo theo x¯∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
0∈ F(¯y,y, v,¯ x¯) với mọi v ∈ Q(¯x,y¯).
Vậy định lí được chứng minh
Định nghĩa 2.3.2. Cho ánh xạ đa trị F : K ×K × D ×D → 2Y và
N : K × D × D → 2K. Ta nói rằng F là N- KKM nếu với mỗi tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ D và x ∈ conv{x1, x2, ..., xn}, tồn tại chỉ số
j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
0∈ F(y, v, x, xj) với mọi y ∈ K, v ∈ N(y, x, xj).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp (M GQEP).
Định lí 2.3.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ usc tách biến với giá trị không rỗng và lồi;
(iii) P0 : D ×K → 2D là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng và
convP0(x, y) ⊆ P(x, y) với mọi (x, y) ∈ D ×K;
(iv) T : D×K →2K là ánh xạ usc và lsc tách biến với giá trị không rỗng; (v) Ánh xạ đa trị F1 : K ×K ×K ×D → 2Y1 sao cho
(v)1 Tập A := {(y, w, v, x) ∈ K ×K ×K ×D|0 ∈ F1(y, w, v, x)}
là đóng;
(v)2 Với mỗi (y, x) ∈ K ×D, tập
B := {w ∈ T(x, y) : 0∈ F1(y, w, v, x) với mọi v ∈ T(x, y)}
là không rỗng và lồi;
(vi) Ánh xạ đa trị F2 : K ×K ×D ×D →2Y2 sao cho
(vi)1 Với mỗi (t, y) ∈ D ×K, tập
A1 := {x ∈ ×D : tồn tại v ∈ N(y, x, t) sao cho 0 6∈ F2(y, v, x, t)}
là mở trong D;
(vi)2 Với mỗi (t, x) ∈ D ×D, tập
A2 := {y ∈ K : tồn tại v ∈ N(y, x, t) sao cho 0 6∈ F2(y, v, x, t)}
là mở trong K;
(vii) Ánh xạ F2 là N- KKM.
Khi đó bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp (M GQEP) có nghiệm.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị Q : D ×K →2K bởi
với(x, y) ∈ D×K. Từ giả thiết (v), ta suy raQcó giá trị không rỗng và lồi. Với mỗi y ∈ K, dãy xα → x và wα ∈ Q(xα, y), wα → w. Ta chứng minh
w ∈ Q(x, y). Thật vậy, ta có 0 ∈ F1(y, wα, u, xα) với mọi u ∈ T(xα, y) và
α. Với mỗi v ∈ T(x, y), do T(., y) là lsc nên tồn tại vα ∈ T(xα, y) sao cho
vα → v. Do vậy 0 ∈ F1(y, wα, vα, xα) với mọi α. Vì tập A đóng nên kéo
theo 0 ∈ F1(y, w, v, x) với mọi v ∈ T(x, y). Vậy w ∈ Q(x, y). Điều này
chứng tỏ ánh xạ Q(., y) là đóng. Từ đó suy raQ(., y) là usc trênD. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng được Q(x, .) là usc trên K. Vậy Q là usc tách biến. Đặt
B := {(x, y) ∈ D ×K : (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
Bởi Hệ quả 2.2.9, B 6= ∅. Tiếp theo xét ánh xạ đa trị M : D ×K → 2D
xác định bởi
M(x, y) := {t ∈ D : tồn tại v ∈ N(y, x, t) sao cho 0 6∈ F2(y, v, x, t)}.
Nếu tồn tại (¯x,y¯) ∈ B sao cho M(¯x,y¯)∩P0(¯x,y¯) =∅ thì (¯x,y¯) là nghiệm của bài toán(M GQEP). Bây giờ ta giả sử M(x, y)∩P0(x, y) 6= ∅ với mọi
(x, y) ∈ B. Với mỗi y ∈ K, tập M(., y)−1(t) = A1 là mở trong D và với mỗi x ∈ D, tập M(x, .)−1(t) =A1 là mở trong K. Vậy M là lsc tách biến trên D × K. Vì P0 có ảnh ngược mở và M là lsc tách biến nên ánh xạ
conv(M ∩P0) là lsc tách biến với giá trị không rỗng và lồi. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị H :D ×K → 2D×K bởi
H(x, y) =
conv(M(x, y)∩P0(x, y)) × {y}, nếu x ∈ P(x, y),
convP0(x, y)× {y}, nếu x 6∈ P(x, y).
Khi đó H là lsc tách biến trên D × K. Áp dụng Hệ quả 2.2.11, tồn tại
(¯x,y¯) ∈ D × K sao cho (¯x,y¯) ∈ H(¯x,y¯). Nếu x¯ ∈ P(¯x,y¯), thì x¯ ∈
conv(M(¯x,y¯) ∩ P0(¯x,y¯)). Từ đó suy ra x¯ ∈ conv(M(¯x,y¯)). Do đó tồn
tại x1, x2, ..., xn ∈ M(¯x,y¯) sao cho x¯ =
n P i=1 αixi với αi ≥ 0, i = 1,2, ..., n và n P i=1
v ∈ N(¯y,x, x¯ i) sao cho
06∈ F2(¯y, v,x, x¯ i).
Vì F2 là N- KKM nên tồn tại chỉ số j ∈ {1,2, ..., n} sao cho
0∈ F2(¯y, v,x, x¯ j) với mọi v ∈ N(¯y,x, x¯ j).
Điều này mâu thuẫn. Vậy định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D và K là các tập con không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D×K →2D là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng và lồi; (iii) Q: D×K → 2K là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng và lồi; (iv) Hàm φ : K ×K ×D ×D →R sao cho
(iv)1 Với mỗi(x, t, y) ∈ D×D×K, các hàm φ(y, ., ., t) vàφ(., ., x, t)
là usc;
(iv)2 Với mỗi tập hữu hạn {x1, x2, ..., xk} ⊆ D vàx ∈ conv{x1, x2, ..., xk}, tồn tại chỉ số j ∈ {1,2, ..., k} sao cho φ(y, v, x, xj) ≥ 0 với mọi
y, v ∈ K.
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho 1) x¯ ∈ P(¯x,y¯);
2) y¯∈ Q(¯x,y¯);
3) φ(¯y, v,x, t¯ ) ≥ 0,với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯).
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ đa trị N : K ×D ×D → 2K và
F : K ×K ×D ×D → 2R bởi
N(y, x, t) =Q(x, y),
Khi đó tập
A1 = {x ∈ D :tồn tại v ∈ N(y, x, t) sao cho 0 6∈ F(y, v, x, t)}
= {x ∈ D :tồn tại v ∈ Q(x, y) sao cho φ(y, v, x, t) < 0}
là mở trong D. Thật vậy, giả sử {xα} ⊆ D\A1, xα →x. Lấy v ∈ Q(x, y)
tùy ý. Bởi Q(., y) là lsc nên tồn tại vα ∈ Q(xα, y) sao cho vα → v. Từ
xα ∈ D\A1 nên φ(y, vα, xα, t) ≥ 0 với mọi α. Do φ(y, ., ., t) là usc nên
φ(y, v, x, t) ≥ 0. Điều này chứng tỏ x ∈ D\A1. Vậy A1 mở. Chứng minh
một cách hoàn toàn tương tự, ta được tập
A2 = {y ∈ K : tồn tại v ∈ N(y, x, t) sao cho 0 6∈ F(y, v, x, t)}
= {y ∈ K : tồn tại v ∈ Q(x, y) sao cho φ(y, v, x, t) < 0}
là mở trong K. Áp dụng Định lí 2.3.3 với P0 = P, N và F2 = F, tồn tại
(¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho 1) x¯ ∈ P(¯x,y¯);
2) y¯∈ Q(¯x,y¯);
3) φ(¯y, v,x, t¯ ) ≥ 0,với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯).
Vậy hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D và K là các tập con không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D×K →2D là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng và lồi; (iii) Q: D×K → 2K là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng và lồi; (iv) Hàm φ : K ×K ×D ×D →R sao cho
(iv)1 Với mỗi(x, t, y) ∈ D×D×K, các hàm φ(y, ., ., t) vàφ(., ., x, t)
(iv)2 Với mỗi(x, y) ∈ D×K, tồn tạiz ∈ P(x, y) sao choφ(y, x, z, t) ≥
0 với mọi t∈ P(x, y);
(iv)3 Với mỗi y, v ∈ K, φ(y, v, x, x) = 0 với mọi x ∈ D và hàm
φ(y, v, x, .) là tựa lồi.
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho 1) x¯ ∈ P(¯x,y¯);
2) y¯∈ Q(¯x,y¯);
3) φ(¯y, v,x, t¯ ) ≥ 0,với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯).
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ đa trị N : K ×D ×D → 2K và
F : K ×K ×D ×D → 2R bởi
N(y, x, t) =Q(x, y),
F(y, v, x, t) = φ(y, v, x, t)−R+.
Với mỗi họ hữu hạn{x1, x2, ..., xn} ⊆ D và x ∈ conv{x1, x2, ..., xn}, do giả thiết(iv)2 và(iv)3nên tồn tại chỉ sốj ∈ {1,2, ..., n}sao choφ(y, v, x, xj) ≥
0 với mọi y, v ∈ K. Áp dụng Hệ quả 2.3.4, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D×K sao cho 1) x¯ ∈ P(¯x,y¯);
2) y¯∈ Q(¯x,y¯);
3) φ(¯y, v,x, t¯ ) ≥ 0,với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯).
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả chính sau:
1. Trình bày một số định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
(EP) cho ánh xạ nửa liên tục trên (Định lí 1.4.6) và ánh xạ nửa liên tục dưới (Định lí 1.4.8).
2. Trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng (QEP) đối với ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến (Định lí 2.2.3), ánh xạ nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tách biến (Định lí 2.2.7), ánh xạ nửa liên tục trên tách biến (Định lí 2.2.8) và ánh xạ nửa liên tục dưới tách biến (Định lí 2.2.10).
3. Trình bày một số ứng dụng vào bài toán tựa cân bằng tổng quát
(GQEP) (Định lí 2.3.1) và bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[2] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ.
Tiếng Anh
[3] E. Blum and W. Oettli (1993), "From Optimization and Variational Inequalities to Equilibrium Problems",The Mathematical Student,64, 1-23.
[4] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2010), "On the existence of solu- tions to generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems", Advances in Nonlinear Variational Inequalities,13, No. 1, 29-47.
[5] T. T. T. Duong and N. X. Tan, "On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems of type II and Related Problems", Acta Mathematic Vietnamica, 36, No. 2, 231 - 248.
[6] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2012), "On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems", J. Global Optim, 52, No. 4, 711-728.
[7] T. T. T. Duong (2013), "Mixed generalized quasi-equilibrium prob- lems", J. Global Optim, 56, 647- 667.
[8] A. Gurraggio and N. X. Tan (2002), "On General Vector Quasi- Optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Re- search, 55, 347-358.
[9] B. T. Hung, N. X. Tan (2011), "On the existence of solutions to gen- eralized quasi-equilibrium problems", Advances in Nonlinear Varia- tional Inequalities, 14, No. 1, 1-16.
[10] X. B. Li and S. J. Li (2010), ”Existence of solutions for generalized vector quasi-equilibrium problems", Optimization Letters, 4, 17 -28.
[11] L. J. Lin and S. Park (1998), "On some generalized quasi-equilibrium problems", J. Math. Anal. Appl, 224, 167-181.
[12] L. J. Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclu- sion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49.
[13] N. X. Tan (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point the- orems of separately l.s.c and u.s.c mappings. Numer. Funct. Anal. Optim. 39, 233–255.
[14] Tian G. Q, and Zhou J. X (1993), "Quasi- variational inequalities without the concavity assumption", J. Math. Anal. Appl 172, 289- 299.
[15] W. Rudin (2000), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-hill.