Định nghĩa 2.2.1. Giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô D là tập con
của X và K là tập con của Z. Ta nói rằng ánh xạ F : D ×K →2Y là (1) lsc và usc tách biến nếu với mỗi y ∈ K, ánh xạ F(., y) : D →2Y là lsc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F(x, .) : K → 2Y là usc.
(2) usc và lsc tách biến nếu với mỗi y ∈ K, ánh xạ F(., y) : D →2Y là usc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F(x, .) : K →2Y là lsc.
(3) lsc tách biến nếu với mỗi y ∈ K, ánh xạ F(., y) : D →2Y là lsc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F(x, .) : K →2Y là lsc.
(4) usc tách biến nếu với mỗi y ∈ K, ánh xạ F(., y) : D → 2Y là usc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F(x, .) : K → 2Y là usc.
Nhận xét. Mọi ánh xạ F : D ×K → 2Y lsc (usc) đều là lsc (usc) tách
biến. Ngược lại không đúng. Ví dụ dưới đây minh họa cho điều đó.
Ví dụ 2.2.2. Xét ánh hàm F : R×R →R bởi công thức
F(x, y) =
xy
x2+y2, nếu x2 +y2 6= 0,
0, trong trường hợp còn lại.
Khi đó F là lsc tách biến nhưng không là lsc và F là usc tách biến nhưng không là usc.
Định lí 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iv) F : D ×K →2X×Z là ánh xạ lsc và usc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), F(x, y) không rỗng, lồi và đóng thỏa mãn điều kiện
F(x, y)∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Khi đó bài toán tựa cân bằng (QEP) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt
B := {(x, y) ∈ D ×K : (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T : D ×K →2D×K bởi
T(x, y) = P(x, y)×Q(x, y), (x, y) ∈ D ×K.
Do P, Q là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng nên T là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng. Áp dụng định lí điểm bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, T có điểm bất động trong D ×K. Vậy B là tập con không rỗng và đóng của D×K. Do D×K compact nên B là tập không rỗng và compact. Giả sử bài toán tựa cân bằng (QEP) không có nghiệm. Khi đó với mỗi (x, y) ∈ B, ta có
θX×Z 6∈ F(x, y).
Từ F(x, y) không rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại p∈ (X ×Z)∗ sao cho
sup w∈F(x,y) p(w) < 0. Ta định nghĩa các hàmc1p(., y) : D →R∪{−∞}, c2p(x, .) : K →R∪{+∞} bởi c1p(x0, y) = inf u∈F(x0,y)p(u), c2p(x, y0) = sup w∈F(x,y0) p(w).
Theo Mệnh đề 1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4 ta suy ra c1p(., y), c2p(x, .) là các hàm usc trên các tập D, K, tương ứng. Do đó các tập
Up(x) = {x0 ∈ D : c1p(x0, y) < 0},
Up(y) ={y0 ∈ K : c2p(x, y0) < 0}
là mở. Hơn nữa, dễ thấy (x, y) ∈ Up := Up(x)×Up(y). Từ đó suy ra Up
là lân cận mở của (x, y). Điều này chứng tỏ với mỗi (x, y) ∈ B, tồn tại
p∈ (X ×Z)∗ sao cho (x, y) ∈ Up. Vậy {Up}p∈(X×Z)∗ là phủ mở của B. Từ
B là compact, tồn tại hữu hạn phần tử p1, ..., ps ∈ (X ×Z)∗ sao cho
B ⊆
s
[
j=1
Upj.
Từ B là đóng trong D × K nên Up0 = D × K \ B là mở trong D × K. Do đó {Up0, Up1, ..., Ups} là phủ mở của tập compact D×K. Theo Định lí 1.4.1, tồn tại các hàm liên tục ψi : D ×K →R,(i = 0,1, ..., s) sao cho
(1) 0 ≤ψi(x, y) ≤ 1, với mọi (x, y) ∈ D ×K và i = 0,1, ..., s; (2) s P i=1 ψi(x, y) = 1, với mọi (x, y) ∈ D ×K;
(3) Với mỗi i ∈ {0,1, ..., s}, tồn tại j(i) ∈ {0, ..., s} thỏa mãn
suppψi ⊆ Upj(i), ở đây suppψi := {(x, y) ∈ D×K : ψi(x, y) > 0}.
Mặt khác, ta định nghĩa hàm φ : D ×K ×D ×K →R bởi φ((x, y),(t, z)) = s X i=0 ψi(x, y).pj(i)(t−x, z−y), (x, y, t, z) ∈ D×K×D×K.
Khi đó φ liên tục trên D×K×D×K. Hơn nữa, với mỗi (x, y) ∈ D×K, hàm φ((x, y), .) là affine và φ(y, y, x, x) = 0. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị
N : D ×K →2D×K bởi
N(x, y) ={(v, w) ∈ P(x, y)×Q(x, y) : φ((x, y),(v, w)) ≤ φ((x, y),(t, z))
với mọi (t, z) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
N là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, lồi và đóng. Điều này kéo theoN
là ánh xạ đóng. Từ đó suy ra N là ánh xạ đa trị usc với giá trị không rỗng, lồi và compact. Áp dụng định lí điểm bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ N(¯x,y¯). Từ đó suy ra (¯x,y¯) ∈ B
và φ(¯x,y, t, v¯ ) ≥ 0, với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯). Điều này kéo theo
s X i=0 ψi(¯x,y¯).pj(i)(t−x, v¯ −y¯) ≥0 với mọi (t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯). Đặt p∗ := s P i=0 ψi(¯x,y¯).pj(i). Khi đó p∗(t−x, v¯ −y¯) ≥ 0, với mọi(t, v) ∈ P(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯).
Điều này kéo theo
p∗(u) ≥ 0, với mọi u ∈ TP(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯)(¯x,y¯).
Bởi giả thiết (v), ta suy ra
p∗(u) ≥ 0 với mọi u ∈ F(¯x,y¯)∩ TP(¯x,y¯)×Q(¯x,y¯)(¯x,y¯). Do vậy sup u∈F(¯x,y¯) p∗(u) ≥ 0. (2.1) Đặt I(¯x,y¯) := {i ∈ {0,1, ..., s} : ψi(¯x,y¯) > 0}. Từ ψi(¯x,y¯) ≥ 0 với mọi i = 0,1, ..., s và s P i=1
ψi(¯x,y¯) = 1, ta được I(¯x,y¯) 6= ∅. Do đó, với mỗi
i ∈ I(¯x,y¯),(¯x,y¯) ∈ suppψi ⊆ Upj(i). Từ đó suy ra (¯x,y¯) ∈ B và cp1j(i)(¯x,y¯) ≤ c2pj(i)(¯x,y¯) < 0 với mọi i ∈ I(¯x,y¯). Mặt khác, ta lại có sup u∈F(¯x,y¯) p∗(u) = sup u∈F(¯x,y¯) { s X i=0 ψi(¯x,y¯).pj(i)(u)} = s X i=0 sup u∈F(¯x,y¯) {ψi(¯x,y¯).pj(i)(u)}
= X i∈I(¯x,y¯) ψi(¯x,y¯) sup u∈F(¯x,y¯) pj(i)(u) ≤ max i∈I(¯x,y¯)cp2j(i)(¯x,y¯) < 0.
Điều này mâu thuẫn với (2.1). Vậy định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.2.4. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q: D ×K → 2K là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng; (iv) G: D ×K →2D×K là ánh xạ lsc và usc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), G(x, y) không rỗng, lồi và đóng và
n
G(x, y)−(x, y)o∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho x¯∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
(¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : D ×K →2X×Z bởi
F(x, y) =G(x, y)−(x, y) với mọi (x, y) ∈ D ×K.
Khi đó F là lsc và usc tách biến. Hơn nữa, với (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), F(x, y) không rỗng, lồi, đóng và
F(x, y)∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Vậy tất cả các giả thiết của Định lí 2.2.3 được thỏa mãn. Áp dụng Định lí 2.2.3, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho x¯ ∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
Điều này kéo theo x¯ ∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
(¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).
Hệ quả được chứng minh.
Hệ quả 2.2.5. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) G : D ×K → 2D×K là ánh xạ lsc và usc tách biến với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯). Chứng minh. Chú ý rằng
G(x, y)−(x, y) ⊆ D ×K −(x, y) ⊆ TD×K(x, y) với mọi (x, y) ∈ D×K.
Áp dụng Hệ quả 2.2.4 với Q(x, y) = D, P(x, y) = K với mọi (x, y) ∈
D ×K và G, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).
Hệ quả 2.2.6. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q: D ×K → 2K là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng; (iv) G: D ×K →2D×K là ánh xạ lsc và usc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y), G(x, y) lồi đóng, (x, y) 6∈ G(x, y)
và
n
G(x, y)−(x, y)o∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho x¯∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯) và
Chứng minh. Giả sử G(x, y) 6= ∅ với mọi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y). Áp dụng Hệ quả 2.2.4, tồn tại(¯x,y¯) ∈ D×K sao cho x¯ ∈ P(¯x,y¯),y¯∈ Q(¯x,y¯)
và
(¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Hệ quả được chứng minh.
Định lí 2.2.7. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q: D ×K → 2K là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng; (iv) F : D ×K →2X×Z là ánh xạ usc và lsc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), F(x, y) không rỗng, lồi và đóng và
F(x, y)∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Khi đó bài toán tựa cân bằng (QEP) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt
B := {(x, y) ∈ D ×K : (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B là tập không rỗng và compact. Giả sử bài toán tựa cân bằng(QEP) không có nghiệm. Khi đó với mỗi(x, y) ∈ B, ta có
θX×Z 6∈ F(x, y).
Từ F(x, y) không rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại p∈ (X ×Z)∗ sao cho
sup
w∈F(x,y)
Ta định nghĩa các hàmc1p(., y) : D →R∪{+∞}, c2p(x, .) : K →R∪{−∞} bởi c1p(x0, y) = sup u∈F(x0,y) p(u), c2p(x, y0) = inf w∈F(x,y0)p(w). Theo Mệnh đề 1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4 ta suy ra c1p(., y), c2p(x, .) là các hàm usc trên các tập D, K, tương ứng. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự như Định lí 2.2.3 ta được điều phải chứng minh.
Định lí 2.2.8. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q: D ×K → 2K là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng; (iv) F : D ×K →2X×Z là ánh xạ usc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), F(x, y) không rỗng, lồi và đóng và
F(x, y)∩TP(x,y)×Q(x,y)(x, y) 6= ∅.
Khi đó bài toán tựa cân bằng (QEP) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt
B := {(x, y) ∈ D ×K : (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B là tập không rỗng và compact. Giả sử bài toán tựa cân bằng(QEP) không có nghiệm. Khi đó với mỗi(x, y) ∈ B, ta có
Từ F(x, y) không rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại p∈ (X ×Z)∗ sao cho
sup w∈F(x,y) p(w) < 0. Ta định nghĩa các hàmc1p(., y) : D →R∪{+∞}, c2p(x, .) : K →R∪{+∞} bởi c1p(x0, y) = sup u∈F(x0,y) p(u), c2p(x, y0) = sup w∈F(x,y0) p(w). Theo Mệnh đề 1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4 ta suy ra c1p(., y), c2p(x, .) là các hàm usc trên các tập D, K, tương ứng. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự như Định lí 2.2.3 ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.9. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) F : D ×K →2D×K là ánh xạ usc tách biến;
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ F(¯x,y¯).
Định lí 2.2.10. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D ×K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) Q: D ×K → 2K là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng; (iv) F : D ×K →2X×Z là ánh xạ lsc tách biến;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ P(x, y) ×Q(x, y), F(x, y) không rỗng, lồi và đóng và
Khi đó bài toán tựa cân bằng (QEP) có nghiệm.
Chứng minh. Đặt
B := {(x, y) ∈ D ×K : (x, y) ∈ P(x, y)×Q(x, y)}.
Theo chứng minh Định lí 2.2.3, B là tập không rỗng và compact. Giả sử bài toán tựa cân bằng(QEP) không có nghiệm. Khi đó với mỗi(x, y) ∈ B, ta có
θX×Z 6∈ F(x, y).
Từ F(x, y) không rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại p∈ (X ×Z)∗ sao cho
sup w∈F(x,y) p(w) < 0. Ta định nghĩa các hàmc1p(., y) : D →R∪{−∞}, c2p(x, .) : K →R∪{−∞} bởi c1p(x0, y) = inf u∈F(x0,y)p(u), c2p(x, y0) = inf w∈F(x,y0)p(w). Theo Mệnh đề 1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4 ta suy ra c1p(., y), c2p(x, .) là các hàm usc trên các tập D, K, tương ứng. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự như Định lí 2.2.3 ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.11. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) G : D ×K → 2D×K là ánh xạ lsc tách biến với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
Khi đó tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : D ×K →2X×Z bởi
Khi đó F là lsc tách biến với giá trị không rỗng, lồi và đóng. Hơn nữa, với
(x, y) ∈ D ×K, ta có
F(x, y) = G(x, y)−(x, y) ⊆ D ×K −(x, y) ⊆ TD×K(x, y).
Áp dụng Định lí 2.2.10, tồn tại (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho
θX×Z ∈ F(¯x,y¯).
Điều này kéo theo (¯x,y¯) ∈ D ×K sao cho (¯x,y¯) ∈ G(¯x,y¯).