Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ nhƣ sự thay đổi mô tả đối tƣợng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ nhƣ sự thay đổi hệ tọa độ.
Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (1.42) dƣới hình thức hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6). Cho ih, jhvà kh là các vectơ chỉ hƣớng đồng nhất của hệ toạ độtham chiếuih= (1 0 0 1); jh= (0 1 0 1); kh= (0 0 1 1)
(1.46)
Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất
i’h= ihH = (1 0 0 1) H = (n 1), (1.47a) j’h= jhH= (0 1 0 1) H = (o 1), (1.47b) k’h= khH=(0 0 1 1) H = (a 1).(1.47c) Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 1.6) biến đổi theo (1.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động đƣợc xác định tƣơng tự
Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H đƣợc gọi là khung toạ độ. Nhƣ vậy, phép biến đổi (1.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ toạ độ địa phƣơng hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống (hệ toạ độ cố định).
Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dƣới hình thức hệ tọa độ chuyển động
Viết lại biểu thức (1.42) ta có P’h= Ph H hay Ph = P’h H-1, trong đó Ph = (r 1) = (x y z 1)
P’h = (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1),
r(x, y, z) : vectơ toạ độ tƣơng đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc,
r’(x’, y’, z’) : vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ toạ độ hệ thống). 1 0 0 0 0 ; 0 0 1 1 x y z x x x x y z y y y x y z z z z x y z n n n n o a o o o n o a H H a a a n o a t t t nt ot at ( x y z); ( x y z); ( x y z); ( x y z) n n n n o o o o a a a a t t t t 1.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG
Biểu diễn đƣờng cong và mặt cong dƣới dạng phƣơng trình tham số thực chất là biểu diễn dƣới dạng phƣơng trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo
phƣơng thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phƣơng thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng đƣờng cong 2D và 3D, nhằm đạt đƣợc phƣơng trình biểu diễn đơn giản, thích hợp cho lập trình.
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 2.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
2.1.1. Giới thiệu chung về phƣơng trình đạo hàm riêng
Trong thuật ngữ đơn giản, ngƣời ta có thể mô tả một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE-Partial differential equations) nhƣ một công cụ toán học có thể đƣợc sử dụng để mô tả một hiện tƣợng vật lý nhất định. Mô tả này đƣợc đƣa ra trong các hình thức của một mối quan hệ toán học giữa mức độ khác nhau của sự thay đổi của các hiện tƣợng trong câu hỏi về các biến khác nhau, ví dụ nhƣ với tọa độ vật lý và thời gian. Do đó, nhiều vấn đề vật lý trong thế giới thực có thể đƣợc mô tả toán học của một số hình thức của một PDE, ví dụ nhƣ hiện tƣợng vật lý nhƣ truyền nhiệt, truyền gợn trong một cái ao, một số vấn đề về kinh tế và tài chính.
Về mặt toán học, phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDE-Partial differential equations) là phƣơng trình mà trong đó các hàm chƣa biết phụ thuộc vào một tập các đạo hàm riêng của chúng đối với hai hay nhiều biến độc lập. Ví dụ đối với hàm u(x,y) phụ thuộc hai biến độc lập x, y. Dạng tổng quát phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đối với v(x, y) đƣợc cho bởi
Auxx + Buxy +Cuyy + Dux + Euy + Fu = G(x, y), (2.1) trong đó A, B, C, D, E, F là các hàm có thể phụ thuộc u(x,y), uxx, uxy, uyy, ux, uy là kí hiệu của đạo hàm.
Sở dĩ phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có đƣợc tầm quan trọng của một công cụ toán học nhƣ thế bởi nó mô hình hóa đƣợc hầu hết các hiện tƣợng vật lý. Ví dụ phƣơng trình nhiệt trong không gian một hay hai chiều mô tả nhiệt đƣợc phân bố nhƣ thế nào trong một đoạn dài hoặc một khu vực
tƣơng ứng. Các ví dụ khác của các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng mô tả hiện tƣợng vật lý là phƣơng trình sóng và phƣơng trình Laplace, v.v... Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng cũng đƣợc mở rộng sang các lĩnh vực nhƣ tài chính mà tiêu biểu là các phƣơng trình biểu diễn mô hình Black- Scholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian.
Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng có thể đƣợc phân loại theo các đặc tính khác nhau nhƣ
-Bậc đƣợc xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phƣơng trình.
-Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y). Nếu G(x,y) =0 thì phƣơng trình đƣợc gọi là đồng nhất, ngƣợc lại là không đồng nhất.
-Tính tuyến tính: Một phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đƣợc gọi là tuyến tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm u(x,y) và đạo hàm riêng của chúng, ngƣợc lại là phƣơng trình phi tuyến tính.
Ngoài ra các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng đƣợc phân loại theo hệ số. Theo cách này chúng đƣợc chia thành ba loại phƣơng trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic. Ví dụ phƣơng trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây:
+ Parabolic: Phƣơng trìnhvi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2
-4AC=0. + Hyperpolic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn nếu B2
- 4AC >0. + Elliptic: Phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng rơi phải thỏa mãn nếu B2
- 4AC <0. Sự phân loại này còn đƣợc mở rộng cho các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng bậc cao hơn tuy nhiên tiêu chí phân loại khác nhau phụ thuộc vào bậc của phƣơng trình. Ngoài ra việc phân loại này rất có ích trong việc mô tả
trình vi phân đạo hàm riêng nói chung là không dễ dàng. Tuy nhiên một số phƣơng pháp đã đƣợc phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng. Những phƣơng pháp này biến đổi từ việc phân tích các lƣợc đồ cho tới các kỹ thuật số hoàn chỉnh. Ngày nay các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng đã đƣợc biết đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đề rất hiệu quả.
2.1.2 Phƣơng trình Eliptic và phƣơng pháp giải
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày sơ lƣợc một số phƣơng pháp cơ bản giải phƣơng trình elliptic tiêu biểu nhƣ phƣơng trình Laplace 2 chiều.
2.1.2.1.Phƣơng pháp tách biến Fourier
Xét bài toán 2 2 2 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0, 0 , 1 | ( ), | ( ), | ( ), | ( ) x x y y u u u x y x y u y u y u x u x (2.2)
Đặt u u x y1( , ) u x y2( , ), trong đó u u1, 2 là nghiệm các bài toán sau 1 0 1 1 2 0 1 0, 0 , 1 | ( ), | ( ), | 0, | 0 x x y y u x y u y u y u u (2.3) 2 0 1 0 1 1 2 0, 0 , 1 | 0, | 0, | ( ), | ( ) x x y y u x y u u u x u x (2.4)
Nghiệm của bài toán (2.4) tìm trong dạng tách biến sau 2
1
( , ) ( ncosh( ) nsinh( ))sin( )
n
trong đó các hệ số An, Bn tìm từ khai triển của 1( )x và 2( )x theo hệ sin(n x) .
Tƣơng tự, nghiệm của bài toán (2.3) tìm trong dạng tách biến 1
1
( , ) ( ncosh( ) nsinh( ))sin( ),
n
u x y C n x D n x n y
trong đó các hệ số Cn, Dn tìm từ khai triển của 1(y) và 2(y)theo sin(n y) .
2.1.2.2.Phƣơng pháp sai phân
Nói chung ngƣời ta chỉ có thể tìm đƣợc nghiệm giải tích của các phƣơng trình vi phân trong một số rất ít các trƣờng hợp, khi mà các hệ số của phƣơng trình là hằng số và các miền xét bài toán có dạng hình học rất đơn giản nhƣ hình tròn, hình chữ nhật loại một dải. Vì thế, để tìm nghiệm của các bài toán cho phƣơng trình đạo hàm riêng ngƣời ta phải sử dụng các phƣơng pháp số để tìm lời giải gần đúng.
Có nhiều phƣơng pháp số giải phƣơng trình đạo hàm riêng đã đƣợc phát triển nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp phần tử hữu hạn, phƣơng pháp phần tử biên.Trong số các phƣơng pháp này thì phƣơng pháp sai phân là phƣơng pháp đƣợc đề xuất và ứng dụng sớm nhất.
Ý tƣởng của phƣơng pháp này là thay các đạo hàm bởi các tỷ sai phân và dẫn bài toán về hệ các phƣơng trình đại số tuyến tính.
Ví dụ 1. Xét bài toán biên cho phƣơng trình một biến cấp hai đơn giản '' 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 1 (0) , (1) u x q x u x f x x u u (2.5)
Phủ đoạn [0, 1] bởi lƣới điểm xi ih h, 1/ ,n i 0,n và xấp xỉ
'' 1 1 2 2 ( ) i i i i u u u u x h ,
ở đâyui u x( )i . Khi đó bài toán (2.5) đƣợc thay bởi hệ phƣơng trình đại số tuyến tính tìm v''i u x( )i
1 1 2 0 0 1 1 2 , 1,..., 1 , i i i i i i v v v q v f i n h v v
Hệ này đƣợc gọi là lƣợc đồ sai phân cho bài toán (1). Ví dụ 2. Xét bài toán cho phƣơng trình Poisson
2 2 2 2 ( , ) trong mien ( , ) tren bien u u u f x y x y u g x y trong đó x y, , 0 x y, 1 .
Phủ miền hình vuông [0,1]x[0,1] bởi lƣới điểm
1 2
{( ,x yi i), xi ih y, j ih , i 1, n 1; j 1, m 1},
và xấp xỉ các đạo hàm bởi các tỷ sai phân. Khi đó ta thu đƣợc hệ phƣơng trình đại số tuyến tính tại vij là xấp xỉ củau x y( ,i j).
1, ij ij 1 , 1 i,j 1 2 2 1 2 0 0 2 2 ( , ) (0, ), (1, ), , 1, n 1; 1, m 1 ( , 0), ( ,1) i j i j y i j j j Nj j i i iM i v v v v v v f x y h h v g y v g y i j v g x v g x
Giải hệ này ta sẽ thu đƣợc nghiệm gần đúng u(x,y) với các nút lƣới( ,x yi j).
2.1.2.3. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn
PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Chính vì lẽ đó nên phƣơng pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán vật lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm đƣợc xác định trên những miền phức tạp là những vùng nhỏ có các đặc trƣng hình học, vật lý khác nhau, chị các điều kiện biên khác nhau. Phƣơng pháp đƣợc phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ nhƣ một phƣơng pháp biến phân hay phƣơng pháp dƣ có trọng số trên mỗi phần tử.
Trong PP PTHH, miền V đƣợc chia thành một số hữu hạn các miền con đƣợc gọi là các phần tử. Các phần tử này đƣợc kết nối với nhau tại các điểm trên biên đƣợc gọi nút. Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lƣợng cần tìm (chẳng hạn đó là các biến dạng, dịch chuyển, ứng suất, ...) đƣợc lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – đƣợc gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function). Các hàm xấp xỉ này đƣợc tính thông qua các giá trị của nó (đôi khi qua các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử và các giá trị này đƣợc gọi là các bậc tự do của phần tử mà ta xem nhƣ là các ẩn cần tìm của bài toán.
Giả sử V là miền xác định của một đại lƣợng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thƣớc và bậc tự do hữu hạn. Đại lƣợng xấp xỉ của đại lƣợng trên sẽ đƣợc tính trong tập hợp các miền ve.
Phƣơng pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve đƣợc gọi là phƣơng pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
-Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó.
-Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve đƣợc xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau.
2.2. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT NHỜ PHƢƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP 4.
Các phƣơng pháp sinh mặt cong dựa trên lời giải của phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng (PDEs) lần đầu tiên đƣợc đề xuất bởi phƣơng pháp Bloor và Wilson. Trong công trình của mình, Bloor và Wilson đã sử dụng phƣơng trình đạo hàm riêng cụ thể là phƣơng trình eliptic cấp 4. Hầu hết các công trình của Bloor sử dụng các lời giải của PDEs, nói chung là khó khăn hơn so với các giải pháp khác [11], [12].
Vì các thông số trong PDEs có tác dụng mạnh trên hình dạng của bề mặt đƣợc tạo ra bởi các giải pháp của PDEs, Zhang đã đề xuất một phƣơng pháp tổng quát hơn đối với phƣơng trình PDE cấp bốn, nó có ba vector tham số hình dạng để trộn các bề mặt đƣợc sinh ra, chứa đựng tất cả các dạng của PDE cấp 4 đƣợc sử dụng, do đó có khả năng tạo ra các bề mặt của nhiều loại hơn [14].
Do đặc điểm của lọ, bình, phƣơng pháp PDE thuận lợi hơn các phƣơng pháp để sinh mặt, mô hình hóa bề mặt khác cho thiết kế bình tƣơng tác. Tuy nhiên, ba vấn đề phải đƣợc giải quyết trƣớc khi phƣơng pháp này có thể đƣợc áp dụng hiệu quả. Đó là: (2.6) xác định các dạng của PDEs, bao gồm các thông số điều chỉnh; (2.7) các điều kiện biên; và (2.8) lời giải của PDEs.
Việc nghiên cứu cơ sở của một chiếc lọ, bình là những đƣờng cong khép kín 3D. Đối với hầu hết lọ, bình những đƣờng cong khép kín có thể đƣợc mô tả bằng một hàm tuần hoàn trong các điều kiện biên PDE. Mục tiêu của nghiên cứu này là để tạo ra bề mặt của lọ hoặc các đối tƣợng tƣơng tự bằng cách sử dụng lời giải của PDEs.
phƣơng trình dạng tổng quát: 4 4 4 4 2 2 4 ( , ) 0 b c d X u v u u v v (2.6) b, c, d, X là các véc tơ
trong đó X X u v( , ) biểu diễn bề mặt tạo ra, b b b bx, y, z T;
, , T
x y z
c c c c ; d d d dx, y, z T đƣợc biết đến nhƣ các tham số hình dạng, u
và v là các tham số bề mặt.
Các điều kiện biên có thể cho bởi các phƣơng trình sau đây:
0 1 ( , ) ( ), X u v g v 1 2 ( , ) ( ), X u v g v 0 3 ( , ) ( ), u X u v g v (2.7) 1 4 ( , ) ( ), u X u v g v
Vì điều kiện biên dƣới dạng các hàm của một bề mặt bình thƣờng có thể đƣợc biểu diễn bằng các đƣờng cong 3D kín, hàm tuần hoàn là một sự lựa chọn tự nhiên. Vì vậy, nghiệm của phƣơng trình (2.6) dƣới các điều kiện biên (2.7) có thể đƣợc lấy nhƣ là hàm tuần hoàn của v. Dạng tổng quát của nghiệm của phƣơng trình (2.6) là 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) M m m m X u v B u B u f v (2.8) trong đó fm( )v biểu diễn hàm cơ bản từ các điều kiện biên (2.7) và
2 3
0( ) 00 01 02 03
với b0k(k 0,...,3) là ẩn số, M là số các hàm sơ cấp trong điều kiện biên. Tùy thuộc vào sự kết hợp của các thông số vector có giá trị trong biểu thức (1),
( )
m
B u có hai hình thức khác nhau đƣợc đƣa ra bởi khi 4b dx x cx2, 2 4b dy y cy,và 4b dz z c2z và 4b dx x cx2, 4b dy y cy2,và 4b dz z cz2. 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) t um tm u tmu tmu m m m m m B u B e B e B e B e (2.10) và khi 4b dx x c2x, 4b dy y c vay2 ` 4b dz z cz2 , 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) t um ( ) tm u , m m m u m m u B u B B e B B e (2.11)
bằng cách thay đổi các hàm vị trí, các đạo hàm bậc nhất của điều kiện biên và thay đổi các tham số hình dạng b, c, d ta có thể sinh đƣợc các dạng bình khác nhau.
2.2.1. Thiết kế bằng cách thay đổi các điều kiện biên: Bằng cách lựa
chọn khác nhau điều kiện biên, các hình dạng khác nhau có thể dễ dàng tạo ra.
Các điều kiện biên có thể đƣợc cho bởi
u = 0:
1cos 1 2cos 2 3sin 3
x R a v R a v R a v ,
x u
' ' '
1cos 1 2cos 2 3sin 3
R a v R a v R a v ,
1sin 1 2cos 2 3cos 3
y R a v R a v R a v ,
y u
' ' '
1sin 1 2cos 2 3cos 3
0 1sin 5 , z h h a v z u ' ' 0 1sin 5 ; h h a v u = 1: 4cos 4 , x R a v x u ' 4cos 4 ,