9. Cấu trúc của luận văn
2.2. Một số dạng toán về phân số theo định hƣớng phát triển năng lực học
2.2.1. Định nghĩa phân số
Bài toán 1
Để biểu diễn 3
4 hình tròn, ngƣời ta chia hình tròn này thành 4 phần bằng nhau rồi tô màu 3 phần nhƣ hình vẽ.
Tƣơng tự cách làm trên, hãy biểu diễn: a. 2
3 của hình chữ nhật. b. 8
16của hình vuông.
Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là biểu diễn số phần của một hình. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Phân tích ví dụ: Dựa vào cách biểu diễn của ví dụ ta thấy đƣợc hình tròn đƣợc chia làm 4 phần (là giá trị mẫu số của phân số) và tô màu ba phần chính là giá trị tử số.
- Từ đó ta có thể tổng quát đƣợc cách biểu diễn số phần của một hình:
+ Hình vẽ đƣợc chia thành bao nhiêu phần bằng nhau thì đó chính là giá trị của mẫu số.
+ Số phần đƣợc tô màu của hình chính là giá trị của tử số. Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
a. Ta biểu diễn 2
3 của hình chữ nhật nhƣ sau: Chia hình chữ nhật thành 3 phần bằng nhau rồi tô màu hai phần. Phần tô màu đó chính là biểu diễn của 2
3 hình chữ nhật. b. Ta biểu diễn 8
16của hình vuông nhƣ sau: Chia hình vuông thành 16 phần bằng nhau rồi tô màu 8 phần. Phần tô màu đó chính là biểu diễn của 8
16 hình vuông.
Bài toán 2
Phần tô màu trong các phần a, b, c biểu diễn các phân số nào?
Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là tìm phân số biểu diễn phần tô màu của hình. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Nhận thấy rằng đây là bài toán ngƣợc với bài toán toán 1. - Do đó, ta tìm đƣợc phân số bằng cách:
+ Giá trị mẫu số của phân số chính là số tổng số phần bằng nhau mà hình chia đƣợc. + Giá trị tử số của phân số chính là tổng số phần đƣợc tô màu trong hình. Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
Phần a là một hình chữ nhật đƣợc chia thành 12 phần bằng nhau, phần tô đậm chiếm 9 trong 12 phần đó. Do đó phần tô màu biểu diễn phân số 9
12.
Phần b là một hình vuông đƣợc chia thành 4 phần bằng nhau, phần tô đậm chiếm 1 trong 4 phần đó. Do đó phần tô màu biểu diễn phân số 1
4.
Phần c đƣợc chia thành 12 phần bằng nhau và đƣợc tô đậm 1 phần. Do đó phần tô màu biểu diễn phân số 1
Bài toán 3
Cho biểu thức 3 1
A n
n .
a. Để A là phân số thì n phải có điều kiện gì. b. Tìm phân số A biết n 0;n 10,n 3.
Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề Vấn đề của bài toán đặt là:
- Vấn đề 1: Tìm điều kiện của n để một biểu thức là phân số. - Vấn đề 2: Tính giá trị của phân số khi biết giá trị của n. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
-Vấn đề 1: Để giải quyết vấn đề này, ta cần nhớ lại điều kiện để a
b là một phân số, đó là: ,a b ,b 0. Từ điều kiện này, ta thấy đƣợc rằng 3 , vậy ta cần tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện n 1 ;n 1 0.
- Vấn đề 2: Để giải quyết vấn đề này, ta chỉ cần thay lần giá trị của n vào biểu thức A thì ta sẽ tính đƣợc giá trị của phân số đó. Lƣu ý xem giá trị của n đó đã thỏa mãn điều kiện để A là phân số hay chƣa.
Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
a. Vì 3 ,n nên n 1 .
Vậy để A là phân số thì ta cần thêm điều kiện n 1 0hay n 1.
b. Ta thấy n 0;n 10,n 3đều thỏa mãn điều kiện để A là phân số nên
Với n 0thì 3 3 3 0 1 1 A . Với n 10thì 3 3 10 1 11 A . Với n 3thì 3 3 3 1 2 A .
Bài toán 4
Một cửa hàng có 97 quả bƣởi. Ngày thứ nhất, cửa hàng bán đƣợc 20 quả. Ngày thứ hai, cửa hàng bán đƣợc 30 quả, ngày thứ ba cửa hàng bán đƣợc 40 quả. Hãy tìm phân số biểu diễn số quả bƣởi mỗi ngày cửa hàng bán đƣợc?
Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là tìm phân số biểu diễn số quả bƣởi mỗi ngày cửa hàng bán đƣợc.
Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Để giải quyết đƣợc bài toán này ta làm nhƣ sau:
+ Tổng số quả bƣởi của cửa hàng có là giá trị của mẫu số.
+ Số quả bƣởi mà cửa hàng bán đƣợc trong mỗi ngày là giá trị của tử số.
Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
Phân số biểu diễn số quả bƣởi cửa hàng bán đƣợc ngày thứ nhất là: 20 97 . Phân số biểu diễn số quả bƣởi cửa hàng bán đƣợc ngày thứ hai là: 30
97 Phân số biểu diễn số quả bƣởi cửa hàng bán đƣợc ngày thứ ba là: 40
97 .
Bài toán 5
Cho tập hợp M 4;3;2 . Viết tập hợp P các phân số có tử và mẫu thuộc M, trong đó tử số khác mẫu số.
Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là lập phân số từ các số cho trƣớc. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Để giải quyết bài toán này, ta có thể làm theo cách thử chọn số nhƣ sau: + Chọn một số bất kì thuộc tập hợp (ví dụ tử số 2 ), vì tử số khác mẫu số nên số cách chọn mẫu số cho phân số là 2 cách, nên ta thu đƣợc 2 phân số.
+ Làm tƣơng tự với các số còn lại, ta sẽ lập đƣợc đầy đủ các phân số. - Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
Do phân số cần viết có tử số khác mẫu số nên:
+ Lấy tử số của phân số là 2 thì ta đƣợc các phân số: 2 2; 3 4. + Lấy tử số của phân số là 3 thì ta đƣợc các phân số: 3 3;
2 4 . + Lấy tử số của phân số là 4 thì ta đƣợc các phân số: 4 4;
2 3 . Vậy từ các số ở tập M thì ta thu đƣợc tập 2 2 3 3 4 4; ; ; ; ;
3 4 2 4 2 3
P .
2.2.2. Hai phân số bằng nhau
Bài toán 1
Chỉ ra các cặp phân số bằng nhau trong các cặp phân số a) 1 4và 3 12 b) 3 5 và 9 15 c) 4 3và 12 9 d) 2 5 và 2 5 Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là nhận biết các phân số bằng nhau. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Để giải quyết bài toán này, ta cần vận dụng định nghĩa của hai phân số bằng nhau: Nếu a n b mthì hai phân số a
b và m
n đƣợc gọi là bằng nhau.
- Vậy để xét xem các cặp phân số trên có bằng nhau hay không ta chỉ việc đi xét tích: a n và b m.
+ Nếu a n b mthì hai phân số đó là bằng nhau, còn nếu a n b mthì hai phân số đó là không bằng nhau.
- Trong trƣờng hợp đặc biệt, nếu hai phân số mà có một phân số âm và một phân số dƣơng thì ta không cần xét tích mà có thể kết luận đƣợc ngay đó là hai phân số không bằng nhau.
Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
a. Vì 1.12 3.4 nên 1 3 4 12. b. Vì 3 15 9.5 nên 3 9 5 15. c. Vì 12 0 4 9 3nên 4 3và 12 9 không bằng nhau. d. Vì 2 0 2 5 5nên 2 5 và 2 5 không bằng nhau. Bài toán 2 Tìm x, y nguyên biết a) 21 4 28 x b) 3 4 x y c) 2 7 x y Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề của bài toán đặt ra là tìm các giá trị chƣa biết thỏa mãn điều kiện. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Các phần trên có dạng là 2 phân số bằng nhau nên ta ta áp dụng định nghĩa của hai phân số bằng nhau để giải quyết bài toán: Vì e m
f n nên e n f m.
Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
b. 4 3 3 4 x y x y. Đặt x 3k thì y 4k (k là số nguyên tùy ý). c. 2 7 2 7 x x y y . Đặt x 2k thì y 7k(k , k tùy ý, k 0vì y 0). Bài toán 3 Từ đẳng thức 1.10 2.5 ta lập đƣợc các cặp phân số bằng nhau: 1 5 2 10 1 2 5 10 ; ; ; 2 10 1 5 5 10 1 2 .
Từ đẳng thức 2 .14 4 .7 hãy lập ra các cặp phân số bằng nhau. Giải
Phân tích bài toán:
Bƣớc 1: Tìm hiểu vấn đề
Vấn đề bài toán đặt ra là lập các phân số bằng nhau từ đẳng thức đã cho. Bƣớc 2: Giải quyết vấn đề
- Phân tích ví dụ đầu bài: Ta thấy rằng, khi ta nhân chéo mỗi cặp phân số bằng nhau ta đều đƣợc đẳng thức thoả mãn 1.10 2.5. Do đó, trong mỗi phân số của cặp phân số bằng nhau thì phải có một thừa số ở vế trái của đẳng thức và một thừa số ở vế phải của đẳng thức.
- Từ đó, ta rút ra cách làm cho đẳng thức 2 .14 4 .7
+ Lấy một thừa số ở vế trái làm tử số và một thừa số ở vế phải làm mẫu số của phân số thứ nhất.
+ Đặt hai thừa số còn lại trong đẳng thức vào phân số thứ hai sao cho tạo ra đƣợc đẳng thức đầu bài cho.
Bƣớc 3: Nghiên cứu và kiểm tra lời giải
Từ phân tích trên, ta có thể giải quyết bài toán nhƣ sau:
Từ đẳng thức 2 .14 4 .7 ta lập đƣợc các cặp phân số bằng nhau nhƣ sau:
2 7 4 14 2 4 7 14
; ; ;