Khi giới thiệu về các giá trị riêng và các vectơ riêng , ta sẽ đặt câu hỏi khi nào thì ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước một ma trận vuông A, có tồn tại một ma trận chéo D sao cho ? (tức là có tồn tại một ma trận P khả nghịch sao cho A = P-1DP).
Nói chung, một số ma trận không tương tự như ma trận đường chéo. Ví dụ, ta xét ma trận
Giả sử tồn tại một ma trận chéo D sao cho A = P-1DP. Ta có
tức là đồng dạng với . Vì vậy, chúng có cùng một phương trình đặc trưng. Do đó A và D có cùng một giá trị riêng. Vì các giá trị riêng của D là các số trên đường chéo, và giá trị riêng duy nhất của A là 2, nên ta phải có
Như vậy ta có, A = P-1DP = 2 I2, . Điều này là vô lý. Do đó, A không đồng dạng với ma trận chéo.
Định nghĩa. Một ma trận chéo hóa được nếu nó là đồng dạng với một ma trận chéo.
có ba giá trị riêng khác nhau. Và ta cũng đã chưng minh A là chéo hóa được. Trong thực tế, có một kết quả chung dọc theo những dòng.
Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n . Giả sử rằng A có n giá trị riêng phân biệt.
Khi đó A là chéo hóa được. Hơn nữa, nếu P là ma trận với các cột C1, C2, ..., và Cn là n vectơ riêng của A, khi đó ma trận P-1AP là ma trận chéo. Nói cách khác, ma trận A là
chéo hóa được.
Bài toán: Điều gì sẽ xảy ra với các ma trận vuông cấp n có ít hơn ít hơn n giá trị riêng? Chúng ta có câu trả lời một phần cho bài toán này.
Định lý. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Để biết được liệu A có chéo hóa được
không, chúng ta làm các bước sau: 1. Ghi lại các đa thức đặc trưng
2. Phân tích thành nhân tử p(λ ) . Trong bước này, ta có
trong đó, mỗi λ , i = 1, …, k , có thể là số thực hoặc số phức. Với mỗi i, lũy thừa ni được gọi là số bội (đại số) của giá trị riêng λ.
3. Với mỗi giá trị riêng, tìm các vectơ riêng tương ứng. Chẳng hạn, với các giá trị riêng λ, các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính
Sau đó giải hệ trên, ta sẽ tìm được vectơ X chưa biết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ, tức là
trong đó, α , j = 1, …, m là các hằng số tùy ý .Số nguyên mi được gọi là số bội
hình học của λ.
4. Nếu với mỗi giá trị riêng số bội đại số bằng số bội hình học, khi đó ta có
điều này suy ra nếu ta đặt các vectơ riêng C, tìm được trong 3., cho tất cả các giá trị riêng, ta sẽ có đúng n vectơ. Đặt P là ma trận vuông cấp n mà các cột là các vectơ riêng C. Khi đó P là khả nghịch và
là một ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là các giá trị riêng của A. Vị trí của các vectơ C ở trong P đồng nhất với vị trí của các giá trị riêng tương ứng trên đường chéo của D. Điều này suy ra A đồng dạng với D. Vì vậy, A chéo hóa được.
Nhận xét. Nếu số bội đại số ni các giá trị riêng λ là bằng 1, khi đó rõ ràng là chúng ta có mi = 1. Nói cách khác, ni = mi.
5. Nếu có giá trị riêng nào mà số bội đại số không bằng số bội hình học, khi đó A không chéo hóa được.
Ví dụ. Ta xét ma trận
Để biết được liệu A có chéo hóa được không, chúng ta thực hiện theo các bước như trên. 1. Đa thức đặc trưng của A là
Như vậy, -1 là một giá trị riêng với số bội là 2 và -2 là một giá trị riêng với số bội là 1.
2. Để biết được liệu A có chéo hóa được không, ta chỉ quan tâm đến giá trị riêng -1. Thật vậy, các vectơ riêng tương ứng vơi giá trị riêng -1, được cho bởi hệ
Hệ này giảm xuống còn một phương trình -y + z = 0. Đặt và y = β, khi
đó ta có
Vì số bội hình học của -1 là 2 bằng số bội đại số của nó. Vì vậy, ma trận A là chéo hóa được. Để tìm ra P ma trận, chúng ta cần phải tìm vectơ riêng ứng vơi giá trị riêng -2. Hệ phương trình tương ứng là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
giảm xuống thành hệ
. Đặt , khi đó ta có
khi đó
Nhưng nếu ta đặt
khi đó
Chúng ta thấy rằng nếu A và B là đồng dạng, khi đó An có thể biểu diễn dễ dàng qua Bn. Thật vậy, nếu ta có A = P-1BP, khi đó ta sẽ có An = P-1BnP. Đặc biệt, nếu D là một ma trận chéo thì Dn dễ dàng tính được. Đây là một trong những ứng dụng của sự chéo hóa ma trận. Trong thực tế, các bước giải trên có thể được sử dụng để tìm căn bậc hai và căn bậc ba của một ma trận. Thật vậy, xét ma trận ở trên
Đặt
Do đó A = P D P-1 Đặt
Khi đó ta có
B3 = A