Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức .
Ví dụ. Hãy xét ma trận
Phương trình đặc trưng được cho bởi
Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi
Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức.
Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực. Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng. Ta hãy xem nó
Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính.
A X = (1+2i) X
Có thể viết lại như sau
Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8. Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn một phương trình
(1-i)x - y = 0 Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c. Do đó, ta có
trong đó c là một số tùy ý.
Nhận xét. Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng .
Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên. Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một giá trị riêng. Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector , có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng . Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi
trong đó c là một số tùy ý.
Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên.
Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông. Giả sử là một giá trị riêng phức của A. Để tìm các vectơ riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:
1. Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng.
2. Giải hệ phương trình. Các phần tử của X sẽ là những số phức .
3. Viết lại vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ chưa biết với các phần tử là số phức.
4. Nếu A có phần tử là số thực thì số phức liên hợp cũng là một giá trị riêng. Các vectơ riêng tương ứng được cho bởi các phương trình tương ứng, được tìm thấy trong 3, ta lấy liên hợp của các phần tử của vectơ rồi tổ hợp tuyền tính lại. Nói chung, một ma trận vuông với các phần tử là những số thực vẫn có thể có giá trị riêng phức. Điều này là bình thường. Ta có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại lớp các ma trận chỉ có giá trị riêng thực. Điều này chỉ đúng với ma trận đối xứng. Chứng minh rất kỹ thuật và được trình bày trong một trang khác. Nhưng đối với ma trận vuông cấp 2, chứng minh là khá dễ . Chúng ta sẽ trình bày dưới đây.
Xét ma trận vuông đối xứng
Phương trình đặc trưng của nó được cho bởi
Đây là một phương trình bậc hai. Nghiệm của nó (là những giá trị riêng của A) phụ thuộc vào các dấu hiệu của biệt thức ∆
Nhận xét. Lưu ý rằng ma trận A sẽ có một giá trị riêng, tức là phương trình đặc trưng có