1.4.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên bởi các nhà toán học Kinderlehrer và Stampacchia [12] vào năm 1980. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân có những bước phát triển mạnh mẽ và trở thành một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Sau đây chúng tôi phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân dưới dạng cổ điển.
• Phát biểu bài toán
Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng của H và
F : C −→H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị, viết tắt là V I(F, C), được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.15) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.15) được gọi là tập nghiệm của bài toán V I(F, C).
• Mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán khác
Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán khác trong giải tích, như là: bài toán quy hoạch lồi, bài toán
bù phi tuyến và bài toán điểm bất động. +) Bài toán quy hoạch lồi
Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
H và f : C −→ H là một hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
f(x∗) = min{f(x)|x ∈ C}. (1.16)
Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán quy hoạch lồi.
Mệnh đề 1.3 ( Xem [12]) ChoC là một tập con lồi khác rỗng của không gian Hilbert H và f : C −→H là một hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.16) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (1.15), vớiF(x) = f0(x).
+) Bài toán bù phi tuyến
Trước khi phát biểu bài toán bù phi tuyến chúng tôi cần nhắc lại một vài khái niệm sau:
Một tập con C ⊂ H được gọi là nón nếu, với mọix ∈ C và hằng sốλ > 0
ta có λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là một nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau:
(i) λC ⊆C;
(ii) C + C ⊆ C.
Cho C là một nón lồi trong không gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bù phi tuyến của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho:
hF(x∗), x∗i = 0, (1.17) trong đó F(x∗) ∈ C∗, với C∗ là nón đối ngẫu của C, được định nghĩa là:
C∗ := {x ∈ H : hx, yi ≥ 0, ∀y ∈ C}.
Rõ ràng bài toán bù phi tuyến là bài toán: Tìm x∗ ∈ C và F(x∗) ∈ C∗ sao cho:
C 3 x∗ ⊥ F(x∗) ∈ C∗ (1.18) Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.4 ( Xem [12]) NếuC là một nón lồi đóng trong không gian Hilbert
H thì, bài toán bù (1.17) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15).
+) Bài toán điểm bất động
Đề tiện cho việc trình bày, chúng tôi xin nhắc lại khái niệm bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị.
Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
H và T : C −→ C là một ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho
x∗ = T(x∗). (1.19) Ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.5 ( Xem [12]) Nếu ánh xạF xác định bởi
thì bài toán điểm bất động (1.19) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15).
• Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) phụ thuộc vào hàm F và miền ràng buộc C. Định lí sau cho ta biết điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán V I(F, C) trong không gian Hilbert.
Định lí 1.7 (Xem [12]) Cho C là một tập con lồi, compact của không gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C.
Giả sử rằng, C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert
H. Kí hiệu P
R = {u : kuk ≤ R} là hình cầu đóng tâm O ∈ H, bán kínhR. Khi đó,CR = CT P
R là một tập lồi compact. Theo định lí (1.7), ta có:
xR ∈ CR : hF(xR), x −xRi ≥ 0 ∀x ∈ CR.
Định lý tiếp theo sau đây là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán V I(F, C).
Định lí 1.8 (Xem [12]) ChoC là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian HilbertH vàF :C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trênC. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
x∗ ∈ C : hF(x∗), x −x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C
là tồn tại R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
thỏa mãn điều kiện kxRk < R.
Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H, F : C −→ H là một ánh xạ liên tục trên C và thỏa mãn điều kiện:
∃x ∈ C : lim
kxk→∞
hF(x)−F(y), x−yi
kx−yk = +∞ ∀x ∈ C.
Khi đó, tồn tạix∗ ∈ C sao cho
hF(x∗), x−x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C.
Thông thường nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Ta giả sử rằng x0 và x00 là hai nghiệm khác nhau của bài toán V I(F, C). Khi đó ta có:
x0 ∈ C : hF(x0), x −x0i ≥ 0 ∀x ∈ C,
và
x00 ∈ C : hF(x00), x −x00i ≥ 0 ∀x ∈ C.
Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x00 và trong bất đẳng thức thứ hai ta chọn x = x0, sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta được:
hF(x0)−F(x00), x0 −x00i ≤ 0.
Do đó, điều kiện để bài toán V I(F, C) có nghiệm duy nhất là:
hF(x0)−F(x00), x0−x00i > 0 ∀x0, x00 ∈ C và x0 6= x00. (1.20) Vậy điều kiện (1.20) kéo theo tính duy nhất cho nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Điều kiện đó được gọi là điều kiện đơn điệu chặt.