Phương pháp bài toán phụ được đề xuất bởi G. Cohen [7] vào năm 1980 khi nghiên cứu các bài toán tối ưu. Năm 1988 [8] Cohen đưa ra kết quả vận dụng phương pháp bài toán phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân. Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp bài toán phụ tổng quát và kết quả vận dụng phương pháp bài toán phụ để xác định nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của
H và f là một phiếm hàm lồi trên H. Giả thiết Λ
Ta nói rằng phiếm hàmf thỏa mãn giả thiết Λnếu với mọi dãy{uk}k∈N ⊂
C sao cho kukk → +∞ thì f(uk) → +∞.
Hiển nhiên phiếm hàmf thỏa mãn giả thiết ΛnếuC là một tập bị chặn. Ta kí hiệu f0(u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm f tại u. Ta xét bài toán tối ưu sau:
Tìm u∗ ∈ C sao cho:
(M P) : min
u∈C f(u) (1.21) ở đây, f là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux.
Bổ đề sau đây cho ta kết quả tồn tại nghiệm của bài toán (M P).
Bổ đề 1.2 (Xem [7] ) Nếu phiếm hàm f thỏa mãn giả thiết Λ thì bài toán
(M P) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗. Hơn nữa, nghiệm u∗ là duy nhất nếu f0
đơn điệu mạnh.
ta xác định một phiếm hàm sau:
G: u 7→ϕ(u) + hf0(v)−ϕ0(v), ui. (1.22) Khi đó
(G)0(v) =f0(v).
Theo Bổ đề 1.2, nếu v là nghiệm của bài toán (1.21) thì v là nghiệm của bài toán sau
min
u∈C ϕ(u) +hf0(v)−ϕ0(v), ui (1.23) Từ đó dẫn đến thuật toán sau:
Cho {ϕn}n∈N là các phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux và {n}n∈N là một dãy số thực dương.
Thuật toán cơ bản
(i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý 0 và u0 ∈ C, giải bài toán phụ sau
min
u∈C ϕ(u) +h0f0(u0)−ϕ0(u0), ui. (1.24) Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.24).
(ii) Tại bước k = n, biết un và n, giải bài toán phụ:
(AP) : min
u∈C ϕ(u) +hnf0(un)−ϕ0(un), ui. (1.25) Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.25).
(iii)Dừng, nếukun+1−unknhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại, thay
n← n+ 1 và trở về bước (ii).
Sự tồn tại nghiệm của bài toán cơ bản (M P) và của bài toán phụ (AP)
được trình bày trong định lý sau:
Định lí 1.9 (Xem [7] ) Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
(ii) f là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux f0 liên tụcL - Lipschitz trên C;
(iii)ϕlà một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteauxϕ0 liên tụcB - Lipschitz và b - đơn điệu mạnh trên C.
Khi đó, bài toán (M P) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗ và bài toán (AP) có duy nhất nghiệmun+1, ∀n∈ N.
Giả sử rằng n thỏa mãn điều kiện
α < n < 2b
L+β, vớiα > 0, β >0 (1.26) thì dãy {f(un)} giảm nghiêm ngặt (trừ khi un = u∗, ∀n ∈ N) và hội tụ tới
{f(u∗)} và mọi điểm tụ yếu của dãy {un} là nghiệm của bài toán (M P).
(iv) Nếu giả thiết thêm rằng f0 đơn điệu mạnh với hằng số a trên C, thì dãy {un}hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (M P).
Từ kết quả của Cohen đã có một số các mở rộng khác như: G. Mastroeni [13] đã vận dụng nguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm cho bài toán cân bằng tổng quát. N.E. Farouq [11] vận dụng nguyên lý bài toán phụ để chứng minh cho sự hội tụ mạnh tới nghiệm của bài toán bất đẳng thức biên phân với toán tử đơn điệu.
Năm 2000, J. Baasansuren và A. A. Khan[4]là những người đầu tiên đề xuất thuật toán "Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh", là sự hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov với phương pháp bài toán phụ để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Sau đây chúng tôi trình bày thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để xác định nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân