2 Họ hàm chuẩn tắc và lý thuyết Fatou Julia
2.2.2. Tính chất tập Julia
Định lý 2.27 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2, và giả sử
E ⊂ Cp là đóng, hoàn toàn bất biến. Khi đó hoặc E có ít nhất hai phần tử và E ⊂ Exc(f) ⊂ F(f), hoặc E là vô hạn và Jequ(f) ⊂ E.
Chứng minh. Theo Định lý 1.21, hoặc E có ít nhất hai phần tử hoặc E là vô hạn. Nếu E là hữu hạn, Định lý 1.23 và Định lý 2.25 kéo theo E ⊂ Exc(f) ⊂F(f). Giả sử E là vô hạn. Chú ý rằng Ec = Cp−E là hoàn toàn bất biến. Do đó, ánh xạ f : Ec → Ec là mở. Theo Hệ quả 2.14, họ
F = {fn} là đồng liên tục cầu trong Ec, và hiển nhiên Ec ⊂ Fequ(f). Bởi vậy, Jequ(f) ⊂ E.
Theo Định lý 2.27 ta có:
Định lý 2.28 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2. Khi đó hoặc J(f)(tương ứng., Jequ(f)) là rỗng hoặc J(f)(tương ứng., Jequ(f)) là vô hạn.
Thật vậy, Jequ(f) có thể rỗng. Trong thực tế, nếu Exc(f) chứa hai điểm, trong trường hợp f(z) = zd, theo Hệ quả 2.14, họ {fn} là đồng liên tục cầu trong Cp − Exc(f) vì Cp − Exc(f) là hoàn toàn bất biến, và do đó Fequ(f) = Cp theo Định lý 2.27. Ở đây chúng ta không biết liệu có thể kết luận rằng J(f) 6= Ø hay không? Cho ánh xạ f(z) =zd, ta có:
J(f) ⊂ Cph0; 1i,
nhưng chúng ta không thể xác nhận liệu J(f) =Cph0; 1i hay J(f) = Ø. Định lý 2.29 ([7]). Chof là một ánh xạ hữu tỷ vớideg(f) > 2.Khi đó hoặc
J(f)(tương ứng., Jequ(f)) 6= Ø hoặc Cp, hoặc J(f)(tương ứng., Jequ(f)) là phần trong rỗng.
Chứng minh. Ở đây, viết J = J(f) và F = F(f). Chú ý rằng ta có sự phân tích rời
Cp = Jo ∪∂J ∪ F.
Từ đó, F và J là hàm hoàn toàn bất biến, theo Hệ quả 1.4, Jo và ∂J là hoàn toàn bất biến. Nếu F không rỗng, khi đó ∂J ∪ F là vô hạn, đóng,
hoàn toàn bất biến, và cũng chứa J (theo Định lý 2.27). Do đó, J ⊂ ∂J, tức là J = Ø hoặc Jo = Ø.
Tương tự, ta có thể chứng minh sự khẳng định này cho tập Jequ(f). Định lý 2.30 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2. Khi đó, hoặc tập dẫn xuất của Jequ(f) là rỗng hoặc nó là vô hạn và bằng Jequ(f). Chứng minh. Cho J0 = Jequ0 (f) là tập dẫn xuất của Jequ(f), đó là, tập hợp các điểm tích lũy của Jequ(f). Khi đó J0 là đóng. Giả sử rằng J0 6= Ø. Từ đó f là liên tục, rõ ràng f(J0) ⊂ J0, và vì thế J0 ⊂ f−1(J0). Lại có, dễ dàng thấy f−1(J0) ⊂ J0 từ đó f là ánh xạ mở, và chúng ta suy luận rằng J0 là hoàn toàn bất biến. Từ Định lý 2.27 suy ra rằng J0 là vô hạn, và Jequ(f) ⊂ J0, và vì thế Jequ0 (f) =J0.
Định lý 2.31 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2. Giả sử
Jequ(f) 6= Ø và lấy D là tập mở, khác rỗng thỏa mãn Jequ(f). Khi đó
Cp−Exc(f) ⊂ O+(D). Chứng minh. Viết
S = Cp−O+(D).
Nếu S chứa hai điểm nhỏ nhất riêng biệt, gọi là z1 và z2, theo Hệ quả 2.14, họ {fn} là đồng liên tục cầu trong D,và do đó D ⊂ Jequ(f). Điều này mâu thuẫn. Do đó S chứa nhiều nhất một điểm của Cp. Lấy z /∈ Exc(f). Theo Định lý 1.24, quỹ đạo ở phía sau O−(z) của z là vô hạn, và do đó
O−(z)∩O+(D) 6= Ø
theo lý luận trên. Do đó, tồn tại một vài điềm w và số nguyên không âm m, n sao cho fm(w) = z và w ∈ fn(D). Nó chỉ ra rằng z ∈ fm+n(D). Định lý được chứng minh.
Định lý 2.32 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2. Giả sử
Jequ(f) 6= Ø, không có điểm cô lập. Khi đó, Jequ(f) chứa trong tập dẫn xuất của tập Per(f) của điểm tuần hoàn của f. Đặc biệt
Jequ(f) ⊂Per(f).
Chứng minh. Lấy D là tập mở thỏa mãn Jequ(f). Ta sẽ chứng minh D chứa vài phần tử của Per(f). Ta chọn một điểm w0 ∈ Jequ(f)∩D sao cho w0 không là giá trị tới hạn của f2. Do đó, có ít nhất bốn điểm phân biệt trong f−2(w). Đặt ba trong số đó là w1, w2, w3, phân biệt từ w và dựng lân cận Di (i = 0,1, ...4) của wi, với bao đóng rời lẫn nhau, sao cho D0 ⊂ D và f2 : Dj →D0 là một đồng phôi, với j = 1,2,3.
Lấy ϕj : D0 →Dj là nghịch đảo của f2 : Dj →D0. Nếu fn(z) 6= ϕj(z), j = 1,2,3;n ∈ Z+;z ∈ D0,
theo Định lý 2.16 {fn} là đồng liên tục cầu trong D0. Điều này không thể vì D0 ∩Jequ(f) 6= Ø. Vì thế, tồn tại z ∈ D0, j ∈ {1,2,3} và n ∈ Z+ sao cho fn(z) =ϕj(z). Điều này nghĩa là
f2+n(z) =f2(ϕj(z)) =z vì thế z là điểm tuần hoàn trong D.
Định lý 2.33 ([7]). Cho f là ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2 và giả sử rằng
Jequ(f) 6= Ø.
1) Nếu z /∈ Exc(f), thì Jequ(f) ⊂O−(z). 2) Nếu z ∈ Jequ(f), thì Jequ(f) =O−(z).
Chứng minh. Lấy z /∈ Exc(f)và choD là tập mở bất kỳ, không rỗng thỏa mãn Jequ(f). Theo Định lý 2.31 ta cóz ∈ fn(D) với mỗi nvà O−(z)∩D 6= Ø. Điều này chứng tỏ (1) đúng. Nếu z ∈ Jequ(f), ta có:
Jequ(f) ⊂ O−(z) ⊂ Jequ(f),
trong đó quan hệ đầu tiên từ (1) và thứ quan hệ thứ hai xuất phát từ bất biến hoàn toàn của tập đóng Jequ(f). Như vậy (2) được chứng minh.
Định lý 2.34 ([7]). Cho f và g là hai ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2 và
deg(g) > 2. Giả sử rằng
f ◦g = g◦f, Jequ(f) 6= Ø, Jequ(g) 6= Ø.
Thì Jequ(f) = Jequ(g).
Chứng minh. Ta tiếp tục theo chứng minh của Beardon’s [2]. Cho bất kỳ tập E ⊂Cp, định nghĩa
Diam[E] = sup
z,w∈E
χ(z, w). Theo Định lý 2.15, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
χ(f(z), f(w)) 6 λχ(z, w)
trên Cp. Lấy w ∈ Fequ(g). Từ đó {gn} là đồng liên tục cầu tại w, khi đó cho bất kỳ ε > 0, có số dương δ sao cho:
Diam[gn(Cp(w, δ))] < ε λ,
hay
Diam[gn ◦f(Cp(w, δ))] = Diam[f ◦gn(Cp(w, δ))]
6 λDiam[gn(Cp(w, δ))] < ε.
Do đó, {gn} là đồng liên tục cầu tại f(w), đặc biệt, f(w) ∈ Fequ(f). Điều này chứng tỏ rằng f và, vì thế, mỗi fn, ánh xạ Fequ(g) ở trong chính nó,
{fn} cũng là đồng liên tục cầu trên Fequ(g) theo Hệ quả 2.14. Ta kết luận rằng Fequ(g) ⊂ Fequ(f), và, đối xứng Fequ(g) = Fequ(f).
KẾT LUẬN
Với mục đích giới thiệu những kết quả ban đầu trong lý thuyết hệ động lực p−adic, trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kết quả sau đây:
1. Giới thiệu một số kiến thức mở đầu về hệ động lực p−adic như: Tính chất bất biến lùi và tiến của ánh xạ, khái niệm và tính chất của tập hút, tập đẩy; quan hệ Riemann - Hurwitz; điểm bất động của hàm phân hình.
2. Nghiên cứu một số khái niệm và tính chất ban đầu về họ chuẩn tắc, Định lý Montel; khái niệm tập Fatou và tập Julia, một số tính chất tập Julia và lý thuyết Fatou - Julia.
Tài liệu tham khảo
[1] Baker, I. N. (1960), "The existence of fixpoints of entire functions",
Math. Z. 73.
[2] Beardon, A. F. (1991), "Iteration of rational functions", Springer - Verlag.
[3] Escassut, A. (1962), "Analytic elements in p - adic analysis", World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
[4] Hayman, W. K. (1964), "Meromorphic functions", Oxford: Clarendon Press.
[5] Hille, E. (1962), "Analytic function theory II", Ginn and Company. [6] Hu, P.C. & Yang, C.C. (1999), "Differentiable and complex dynamics
of several variables", Kluwer Academic Publishers.
[7] Hu, P.C. & Yang, C.C. (2000), "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields", AKluwer Academic Publishers.