2 Họ hàm chuẩn tắc và lý thuyết Fatou Julia
2.2.1. Một số khái niệm
Giả sử D là ký hiệu của Cp hoặc Cp. Trong phần này, ta sẽ xét một ánh xạ chỉnh hình khác hằng f : D → D. Nếu D = Cp, thì f là một hàm nguyên (bao gồm đa thức). Nếu D = Cp, thì f là một hàm hữu tỷ và được gọi là ánh xạ hữu tỷ.
Định nghĩa 2.18 ([7]). Một họ F các hàm phân hình địa phương xác định trên một tập mở D được gọi là chuẩn tắc tại z0 ∈ D nếu tồn tại một đĩa Cp[z0;r] ⊂ D sao cho F là chuẩn tắc trên Cp[z0;r].
Hiển nhiên, họ F chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu nó chuẩn tắc tại mọi điểm của D. Lấy họ {Uα} các tập con mở của D mà trên đó F là chuẩn tắc, ta có các nguyên lý sau:
Định lý 2.19 ([7]). Giả sử F là họ các hàm phân hình địa phương xác định trên một tập mở D. Khi đó tồn tại tập con mở cực đại F(F) của D
mà trên đó F là chuẩn tắc. Đặc biệt, nếu f :D → D là ánh xạ chỉnh hình, thì tồn tại một tập con mở cực đại F(f) ⊂ D mà trên đó họ {fn}∞n=1 là chuẩn tắc.
Các tập hợp F(F) và F(f) trong Định lý 2.19 thường được gọi là các tập Fatou của F và f tương ứng. Các tập Julia của F và f được ký hiệu tương ứng bởi:
J(F) =D \F(F), J(f) =D \F(f).
Dễ thấy J(F), J(f) là các tập con đóng của D. Nếu F hữu hạn, ta xác định J(F) = Ø.
Tương tự, lấy tập hợp {Vβ} là lớp tất cả các tập mở của D mà trên đó
F là đồng liên tục cầu, ta có nguyên lý.
Định lý 2.20 ([7]). Giả sử F là họ các hàm phân hình địa phương xác định trên một tập mở D. Khi đó tồn tại một tập mở cực đại Fequ(F) của D mà trên đó F là đồng liên tục cầu. Đặc biệt, nếu f : D → D là ánh xạ chỉnh hình, thì tồn tại một tập mở lớn nhất Fequ(f) = Fequ(f, χ) của D mà trên đó họ hàm {fn}∞n=1 là đồng liên tục cầu.
Xác định các tập đóng
Jequ(F) = D \Fequ(F), Jequ(f) =Jequ(f, χ) =D \Fequ(f, χ). Theo Định lý 2.9, ta có:
F(f) ⊂Fequ(f), Jequ(f) ⊂J(f). Ta có kết quả sau:
Định lý 2.21 ([7]). Các tập F = F(f) và J = J(f) là bất biến lùi, nghĩa là
f−1(F) =F và f−1(J) =J. (2.11) Chứng minh. Giả sử ∆ ⊂ D là đĩa nào đó. Giả sử D là thành phần nào đó của f−1(∆). Vì rằng F và J là tập con của D, khẳng định của giả thiết được suy ra từ đồng nhất tầm thường
fn |D0= fn−1 |D ◦f |D0
và bởi hai trường hợp phân biệt sau:
a) ∆ ⊂ F. Khi đó với mọi z ∈ D0, do D0 ⊂f−1(∆) suy ra f(z) ∈ ∆ do đó fn chuẩn tắc tại y = f(z) nên fn chuẩn tắc tại z. Vậy fn chuẩn tắc. b) ∆∩J 6= Ø. Điều này có nghĩa là dãy {fn} không chuẩn tắc trong D0,
và vì thế D0 ∩ J 6= Ø. Nếu chúng ta cho ∆ co lại tới điểm z0 ∈ J thì f−1(z0) ⊂J và f−1(J) ⊂ J bởi vì z0 là bất kỳ.
Chú ý rằng f là toàn ánh, khi đó f(D) = D. Theo Bổ đề 1.1 và (2.11) thì
f(F) = F, f(J) =J. (2.12)
Do đó, F và J là hoàn toàn bất biến. Ngoài ra, ta dễ dàng chứng minh được rằng tập Fequ(f) và Jequ(f) là hoàn toàn bất biến.
Định lý 2.22 ([7]). Với mỗi số nguyên dương m > 2, ta có
F(f) ⊂ F(fm), J(fm) ⊂ J(f). (2.13)
Hơn nữa, nếu D = Cp, thì
F(fm) = F(f), J(fm) = J(f). (2.14) Chứng minh. Điều đó đủ để chứng minh tập Fatou. Khi đó họ {fmn}
chứa họ {fn}, vì thế ta có (2.13). Giả sử D = Cp. Cho đĩa ∆ ⊂ Cp, ta có họ
F = {fn |∆ | n > 0}, Fj = fi◦fmn |∆ | n > 0 . Rõ ràng
F = F0 ∪...∪ Fm−1,
và hơn nữa fj là liên tục cầu đều trong Cp theo Định lý 2.15, F là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu F0 là chuẩn tắc.
Chú ý rằng Định lý 2.22 vẫn còn đúng cho các tập Fequ(f) và Jequ(f). Định lý 2.23 ([7]). Tập Julia J(f) chứa tất cả các điểm đẩy.
Chứng minh. Giả thiết, một điểm bất động ξ của f là đẩy. Bằng định nghĩa, tồn tại lân cậnU củaξ sao cho với mọi zj ∈ U−[ξ](j = 1,2, ...), nj ∈
Z+ với fn(zj) ∈/ U với mọi n > nj. Lấy dãy {zj} ⊂ U −[ξ] sao cho zj → ξ thì j → ∞. Giả sử, ξ ∈ F(f). Ta có thể tìm một đĩa ∆ ⊂ U có tâm ξ và dãy con {fnk} của fn mà hội tụ cầu đều tới hàm φ trên ∆. Hiển nhiên, φ(ξ) = ξ vàφlà hàm liên tục cầu trên∆.Viết∆ = Cp[ξ;r], r > 0.Lấyj,với zj ∈ Cp[ξ;r] và χ(φ(zj), ξ) < r. Sau đó có k0 sao cho χ(fnk(zj), φ(zj)) < r với mọi k > k0 sao cho
χ(fnk(zj, ξ) 6 max{χ(fnk(zj), φ(zj)), χ(φ(zj), ξ)}< r,
trong đó fnk(zj) ∈ ∆,với mọi k > k0, nhưng fnk(zj) ∈/ U nếu nk > nj. Điều này mâu thuẫn.
Như vậy, nếu D = Cp, Định lý 2.23 và Định lý 2.22 cho thấy tập Julia J(f) chứa bao đóng của tập chứa tất cả các điểm đẩy vì J(f) là tập đóng. Vậy theo chứng minh của Định lý 1.10 chúng ta chứng minh được kết quả sau:
Định lý 2.24 ([7]). Tập Fatou F(f) là tập chứa tất cả các điểm hút.
Nếu z0 là điểm hút bất động, bằng chứng minh của Định lý 1.10, đặc biệt theo (1.1), ta có r ∈ R+ sao cho Cp(z0;r) ⊂ F(f). Từ đó, F(f) là hoàn toàn bất biến, ta có
Att(z0) = O−(Cp(z0;r)) ⊂ F(f)
trong đó, F(f) chứa vùng thu hút của z0. Hơn nữa, nếu f là ánh xạ hữu tỷ theo Định lý 2.22 và Định lý 1.10, thì F(f) chứa tất cả chu kỳ hút và vùng thu hút.
Hiển nhiên, Định lý 2.24 giữ cho tậpFequ(f). Theo Định lý 1.12 và (1.2), ta thấy Định lý 2.23 đúng cho Jequ(f). Từ chứng minh của Định lý 1.23 ta có:
Định lý 2.25 ([7]). Cho f là một ánh xạ hữu tỷ bậc nhỏ nhất bằng hai. Khi đó tập Exc(f) của các điểm bỏ được chứa trong F(f).
Định lý 2.26 ([7]). Tập Fequ(f) chứa tất cả các điểm bất động trung lập.
Chứng minh. Lấy z0 là điểm bất động trung lập của f. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử z0 = 0. Theo (1.2), ta có r ∈ R+ sao cho:
Vì thế, bằng cách lặp đi lặp lại, ta thu được
|fn(z)| = |z|, n∈ Z+, z ∈ Cp[0;r].
Do đó {fn(z)}là đồng liên tục tạiz = 0,và đồng liên tục cầu tạiz = 0.