- Định lý Gauss – Markov cho thấy 𝑎̂, 𝑏̂ là các ước lượng hiệu quả nhất cho các tham số
4.2.1. Mô hình có biến giả
Mô hình có biến giả là mô hình phải sử dụng biến giả, đó là mô hình có đưa vào một hay nhiều biến giải thích là biến định tính. Sự xuất hiện của biến định tính trong mô hình là cần thiết khi ta cảm nhận sự phụ thuộc hoặc muốn khảo sát sự phụ thuộc của biến được
giải thích vào sự thay đổi thuộc tính của biến định tính.
4.2.2. Kỹ thuật sử dụng biến giả
Đứng trước một mô hình có xét đến ảnh hưởng trực tiếp của một hay nhiều biến định tính đối với biến phụ thuộc (một biến định lượng), để sử dụng biến giả, ta cần lưu ý các bước sau:
- Xác định xem có bao nhiêu biến giải thích là biến định tính - Xác định số thuộc tính của mỗi biến định tính
- Số biến giả (nhị phân) cần cho một biến định tính bằng số thuộc tính của biến định tính này trừ đi 1.
Gọi m là số biến định tính được đưa vào, trong đó biến thứ j có 𝑘𝑗 thuộc tính, j = 1, 2,…, m,. Khi đó biến thứ j này cần đến (𝑘𝑗− 1) biến giả và tổng số biến giả (nhị phân) trong mô hình là: 𝑘1+ 𝑘2+ ⋯ + 𝑘𝑚− 𝑚.
- Biểu diễn các điều kiện, các tình huống trong mô hình qua các biến giả Ví dụ sau minh họa cho kỹ thuật này:
Để khảo sát lương Y của giáo viên theo thâm niên giảng dạy X, ta sử dụng mô hình hồi quy sau: {𝐸(𝑌|𝑋) = 𝑎 + 𝑏. 𝑋
𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝑈
Bây giờ ta muốn tìm hiểu về sự chênh lệch tiền lương bình quân giữa giáo viên nam và giáo viên nữ, tức là sự tác động của giới tính đến mức lương. Điều này đòi hỏi ta phải đưa thêm một biến giả D vào mô hình để mô tả sự tác động của giới tính. Đặt:
𝐷(𝑥) = {1, 𝑛ế𝑢 𝑔𝑖á𝑜 𝑣𝑖ê𝑛 𝑥 𝑙à 𝑛𝑎𝑚 0, 𝑛ế𝑢 𝑔𝑖á𝑜 𝑣𝑖ê𝑛 𝑥 𝑙à 𝑛ữ
Ta có các tình huống:
* TH1: Lương khởi điểm của giáo viên nam và nữ khác nhau, nhưng tốc độ tăng lương của nam và nữ là như nhau.
* TH2: Lương khởi điểm của giáo viên nam và nữ như nhau, nhưng tốc độ tăng lương của nam và nữ là khác nhau.
* TH3: Lương khởi điểm của giáo viên nam và nữ khác nhau và tốc độ tăng lương của nam và nữ cũng khác nhau.
Bộ môn Toán – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
Ta sử dụng biến giả tương ứng với các tình huống trên như sau:
4.2.2.1. TH1: Dịch chuyển số hạng tung độ gốc
Đặ𝑡: 𝑎 = 𝑎0+ 𝑎1𝐷. 𝐾ℎ𝑖 đó ℎà𝑚 𝑃𝑅𝐹 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔:
𝒀 = 𝒂𝟎+ 𝒂𝟏𝑫 + 𝒃. 𝑿 + 𝑼 (4.4) Hồi quy mẫu SRF cho mức lương của giáo viên nữ (D = 0) là:
𝑌̂ = 𝑎̂0+ 𝑏̂. 𝑋 (4.4a) Hồi quy mẫu SRF cho mức lương của giáo viên nam (D = 1) là:
𝑌̂ = 𝑎̂0+ 𝑎̂1+ 𝑏̂. 𝑋 (4.4b) Theo đó mức lương khởi điểm của giáo
viên nữ là 𝑎0 có ước lượng là 𝑎̂0, mức lương khởi điểm của giáo viên nam là
𝑎0+ 𝑎1 có ước lượng là 𝑎̂0+ 𝑎̂1 Hai đường thẳng (4.4a) và (4.4b) có cùng
hệ số góc 𝑏̂ biểu thị tốc độ tăng lương của giáo viên nữ và giáo viên nam là như nhau. Việc xác minh giới tính có thực sự ảnh
hưởng đến lương khởi điểm của giáo viên Hình 4.1. Đồ thị biểu diễn Lương khởi điểm
hay không chính là bài toán kiểm định hai của giáo viên nam và nữ khác nhau, nhưng
phía đối với giả thuyết 𝐻0: 𝑎1 = 0 (có thể tốc độ tăng lương của nam và nữ là như
dùng kiểm định Wald hoặc kiểm định t) nhau
4.2.2.2. TH2: Dịch chuyển độ dốc
Đặ𝑡: 𝑏 = 𝑏0 + 𝑏1. 𝐷. 𝑀ô ℎì𝑛ℎ ℎồ𝑖 𝑞𝑢𝑦 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝑈 = 𝑎 + 𝑏0. 𝑋 + 𝑏1. (𝐷. 𝑋) + 𝑈 (4.5) Ta gọi (D.X) là biến tương tác. Khi đó: Hồi quy SRF cho mức lương của giáo viên nữ (D = 0) là:
𝑌̂ = 𝑎̂0+ 𝑏̂0. 𝑋 (4.5a) Hồi quy SRF cho mức lương của giáo viên nam (D = 1) là:
𝑌̂ = 𝑎̂0+ (𝑏̂0+ 𝑏̂1). 𝑋 (4.5b) Đường thẳng (4.5a) và (4.5b) khi bỏ qua
yếu tố nhiễu được cho bởi hình 4.2 sau, trong đó lương khởi điểm của giáo viên nam và nữ đều là mức 𝑎̂0 như nhau, nhưng tốc độ tăng lương của nữ là 𝑏̂0, của nam là (𝑏̂0+ 𝑏̂1), chênh lệch một lượng 𝑏̂1. Việc xác minh giới tính có thực sự ảnh hưởng đến tốc độ tăng lương của giáo viên
hay không chính là bài toán kiểm định hai Hình 4.2. Đồ thị biểu diễn Lương khởi điểm
phía đối với giả thuyết 𝐻0: 𝑏1 = 0 (có thể của giáo viên nam và nữ như nhau, nhưng
dùng kiểm định Wald hoặc kiểm định t) tốc độ tăng lương của nam, nữ là khác nhau
Bộ môn Toán – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
4.2.2.3. TH3: Dịch chuyển cả tung độ gốc và độ dốc
Đặ𝑡: 𝑎 = 𝑎0+ 𝑎1𝐷, 𝑏 = 𝑏0+ 𝑏1. 𝐷. 𝑀ô ℎì𝑛ℎ ℎồ𝑖 𝑞𝑢𝑦 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑡ℎể 𝑐ó 𝑑ạ𝑛𝑔:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝑈 = 𝑎0+ 𝑎1𝐷 + 𝑏0. 𝑋 + 𝑏1. (𝐷. 𝑋) + 𝑈 (4.6) Khi đó:
Hồi quy SRF cho mức lương của giáo viên nữ (D = 0) là:
𝑌̂ = 𝑎̂0 + 𝑏̂0. 𝑋 (4.6a) Hồi quy SRF cho mức lương của giáo viên nam (D = 1) là:
𝑌̂ = (𝑎̂0+ 𝑎̂1) + (𝑏̂0+ 𝑏̂1). 𝑋 (4.6b) Đường thẳng (4.6a) và (4.6b) khi bỏ qua
yếu tố nhiễu được cho bởi hình 4.3 sau. Trong đó lương khởi điểm của giáo viên nữ là mức 𝑎̂0, của giáo viên nam là
(𝑎̂0+ 𝑎̂1), với mức chênh lệch là 𝑎̂1; tốc độ tăng lương của nữ là 𝑏̂0, của nam
là (𝑏̂0+ 𝑏̂1), chênh lệch một lượng 𝑏̂1. Để xác minh giới tính có thực sự ảnh
hưởng đến mức lương khởi điểm và tốc
độ tăng lương của giáo viên hay không Hình 4.3. Đồ thị biểu diễn lương khởi điểm
chính là bài toán kiểm định giả thuyết của giáo viên nam và nữ khác nhau và tốc
𝐻0: 𝑎1 = 𝑏1 = 0 (dùng kiểm định Wald). độ tăng lương của nam, nữ cũng khác nhau.
Lưu ý:
a. Trong thực tế người ta không xác định được trước việc bài toán đặt ra rơi vào tình huống nào. Do đó hoặc ta phải xét lần lượt 3 mô hình hồi quy ứng với 3 tình huống rồi chọn mô hình phù hợp nhất; hoặc ta bắt đầu từ tình huống thứ 3 rồi kiểm định 𝐻0: 𝑎1 = 𝑏1 = 0: nếu chấp nhận 𝐻0 thì ta dùng mô hình hồi quy Y theo X (không có tác động của giới tính), nếu bác bỏ 𝐻0 thì tiếp tục kiểm định riêng từng hệ số để xác minh sự ảnh hưởng của giới tính nằm ở mức lương khởi đầu (tung độ gốc) hay tốc độ tăng lương (độ dốc), tức là kiểm định: 𝐻0: 𝑎1 = 0 hoặc kiểm định: 𝐻0: 𝑏1 = 0.
b. Có thể mở rộng bài toán hồi quy dạng trên đây khi số biến định tính tăng lên hoặc số thuộc tính của các biến định tính tăng lên. Chẳng hạn trong mô hình trên, ngoài thâm niên giảng dạy, giới tính, ta còn xét đến sự ảnh hưởng của trình độ với 3 thuộc tính: cử nhân, thạc sỹ, tiến sỹ đối với lương của giáo viên. Theo đó ta phải đưa vào mô hình 3 biến giả D, 𝐾1, 𝐾2: 𝐷(𝑥) = {1, 𝑛ế𝑢 𝑔𝑖á𝑜 𝑣𝑖ê𝑛 𝑥 𝑙à 𝑛𝑎𝑚 0, 𝑛ế𝑢 𝑔𝑖á𝑜 𝑣𝑖ê𝑛 𝑥 𝑙à 𝑛ữ 𝐾1(𝑥) = {1, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑐ó ℎọ𝑐 𝑣ị 𝑡ℎạ𝑐 𝑠ỹ 0, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑐ó ℎọ𝑐 𝑣ị 𝑘ℎá𝑐 ; 𝐾2 = { 1, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑐ó ℎọ𝑐 𝑣ị 𝑡𝑖ế𝑛 𝑠ỹ 0, 𝑛ế𝑢 𝑥 𝑐ó ℎọ𝑐 𝑣ị 𝑘ℎá𝑐
Bộ môn Toán – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
Ta có mô hình PRF: 𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝑐. 𝐷 + 𝑑1. 𝐾1+ 𝑑2. 𝐾2+ 𝑈 (4.7) Khi đó:
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 0, 𝐾1 = 0, 𝐾2 = 0) = 𝑎 + 𝑏. 𝑋: lương b.quân của g.viên nữ có trình độ cử nhân
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 0, 𝐾1 = 1, 𝐾2 = 0) = 𝑎 + 𝑑1+ 𝑏. 𝑋: lương bình quân của giáo viên nữ có trình độ thạc sỹ
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 0, 𝐾1 = 0, 𝐾2 = 1) = 𝑎 + 𝑑2 + 𝑏. 𝑋: lương bình quân của giáo viên nữ có trình độ tiến sỹ
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 1, 𝐾1 = 0, 𝐾2 = 0) = 𝑎 + 𝑐 + 𝑏. 𝑋: lương bình quân của giáo viên nam có trình độ cử nhân
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 1, 𝐾1 = 1, 𝐾2 = 0) = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑1+ 𝑏. 𝑋: lương bình quân của giáo viên nam có trình độ thạc sỹ
∗ 𝐸(𝑌|𝑋, 𝐷 = 1, 𝐾1 = 0, 𝐾2 = 1) = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑2+ 𝑏. 𝑋: lương bình quân của giáo viên nam có trình độ tiến sỹ
- Ngoài ra, khi tốc độ tăng lương có thể bị chi phối bởi giới tính thì ta cần bổ sung thêm biến tương tác (D.X) vào mô hình hồi quy. Khi đó mô hình hồi quy có dạng:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝜆(𝐷. 𝑋) + 𝑐. 𝐷 + 𝑑1. 𝐾1+ 𝑑2. 𝐾2+ 𝑈 (4.8)
- Khi tốc độ tăng lương có thể bị chi phối bởi yếu tố trình độ thì ta cần bổ sung thêm 2
biến tương tác: (𝐾1. 𝑋) 𝑣à (𝐾2. 𝑋) . Khi đó mô hình hồi quy có dạng:
𝑌 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋 + 𝜆1(𝐾1. 𝑋) + 𝜆2(𝐾2. 𝑋) + 𝑐. 𝐷 + 𝑑1. 𝐾1+ 𝑑2. 𝐾2+ 𝑈 (4.9)