- Định lý Gauss – Markov cho thấy 𝑎̂, 𝑏̂ là các ước lượng hiệu quả nhất cho các tham số
6.2. Các kiểm định về sai lầm chỉ định
6.2.1. Kiểm định bỏ sót biến.
Giả sử mô hình hồi quy ban đầu là: 𝑌𝑖 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋𝑖+ 𝑈𝑖 (6.4)
Vấn đề đặt ra là liệu còn có biến giải thích nào khác nữa có ảnh hưởng quan trọng đến Y mà chưa được đưa vào mô hình hay không ? Làm thế nào để phát hiện được một biến Z có bị bỏ sót hay không? Ta phân biệt các trường hợp sau:
1. Khi có số liệu về biến Z:
Cách 1: Dùng kiểm định t (và 𝑅̅2):
- Tiến hành hồi quy mô hình (6.4) và mô hình:
𝑌𝑡 = 𝑎0+ 𝑏1. 𝑋𝑡+ 𝑏2. 𝑍𝑖+ 𝑉𝑖 (6.5)
- Kiểm định 𝐻0: 𝑏2 = 0, đồng thời kết hợp với việc so sánh giá trị 𝑅̅2 của hai mô hình. Nếu biến Z là biến quan trọng bị bỏ sót thì thông thường có xu hướng bác bỏ giả thuyết
𝐻0 và làm tăng đáng kể giá trị 𝑅̅2.
Nếu nghi ngờ bỏ sót nhiều biến giải thích, ta có thể áp dụng cách làm trên bằng việc xét lần lượt bổ sung từng biến một.
Cách 2: Dùng kiểm địnhWald
Cách 3: Dùng phương pháp nhân tửLagrange (LM – Lagrange multiplier) Ký hiệu mô hình ban đầu (6.4) là (R):
Bộ môn Toán – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
Mô hình (U):
𝑌𝑖 = 𝑎0+ 𝑏1. 𝑋𝑖+ 𝑏2. 𝑍𝑖+ 𝑉𝑖 (mô hình không bị ràng buộc) (6.7)
Khi đó giả thuyết 𝐻0: 𝑏2 = 0 chính là: không bỏ sót biến Z. Thực hiện kiểm định giả thuyết 𝐻0 theo các bước:
B1: Hồi quy mô hình (R), nhận được phần dư: 𝑈̂𝑅 = 𝑌 − 𝑎̂ − 𝑏̂. 𝑋𝑖
B2: Nếu biến Z bị bỏ sót thì ảnh hưởng của nó được quan sát qua phần dư 𝑈̂𝑅. Do đó 𝑈̂𝑅
được xem như có liên hệ với biến bị bỏ sót (𝑈 = 𝑏2𝑍 + 𝑉), ngoài ra 𝑈̂𝑅 có liên hệ với Xi
. Từ đó tiến hành hồi quy 𝑈̂𝑅 theo tất cả các biến giải thích:
𝑈̂𝑅 = 𝛼 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝛽2𝑍𝑖 + 𝜀 (hồi quy phụ) (6.8) qua đó tính được hệ số xác định của mô hình hồi quy phụ mà ta ký hiệu là 𝑅𝑎𝑢𝑥2 .
B3: Kiểm định giả thuyết 𝐻0: 𝑏2 = 0
Vì trên cơ sở 𝐻0 đúng thì biến ngẫu nhiên 𝑛. 𝑅𝑎𝑢𝑥2 ~𝜒2(1), nên với mức ý nghĩa 𝛼, nếu giá trị 𝑛. 𝑅𝑎𝑢𝑥2 > 𝜒𝛼2(1) thì ta bác bỏ 𝐻0, nghĩa là thừa nhận biến Z bị bỏ sót.
Lưu ý: Trong mô hình hồi quy bội, nếu nghi ngờ bỏ sót một số biến giải thích, ta tiến hành kiểm định tương tự:
- Mô hình ban đầu (R): 𝑌 = 𝑎 + 𝑏1𝑋1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑋𝑚+ 𝑈
- Mô hình (U): 𝑌 = 𝑎 + 𝑏1𝑋1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑋𝑚+ 𝑏𝑚+1𝑋𝑚+1+ ⋯ + 𝑏𝑘𝑋𝑘+ 𝑉
Giả thiết: không bỏ sót các biến 𝑋𝑚+1, … , 𝑋𝑘 chính là: 𝐻0: 𝑏𝑚+1= ⋯ = 𝑏𝑘= 0
đối thuyết 𝐻1: bỏ sót ít nhất một trong các biến 𝑋𝑚+1, … , 𝑋𝑘, tức là có ít nhất một trong các hệ số 𝑏𝑚+1, … , 𝑏𝑘 khác không.
- Hồi quy mô hình (R), thu được phần dư 𝑈̂𝑅.
- Tiến hành hồi quy phụ: 𝑈̂𝑅 = 𝛼 + 𝛽1𝑋1+ ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘+ 𝜀
từ đó tính được hệ số xác định 𝑅𝑎𝑢𝑥2 của mô hình hồi quy phụ. - Nếu 𝑛. 𝑅𝑎𝑢𝑥2 > 𝜒𝛼2(𝑘 − 𝑚) thì bác bỏ 𝐻0.
Cách 3: Dùng tỷ số hàm hợp lý (Likelihood ratio – LR) Giả thuyết 𝐻0: không bỏ sót biến
- Hồi quy mô hình ban đầu (R):
𝑌 = 𝑎 + 𝑏1𝑋1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑋𝑚+ 𝑈 (6.9) - Hồi quy mô hình (U):
𝑌 = 𝑎 + 𝑏1𝑋1+ ⋯ + 𝑏𝑚𝑋𝑚+ 𝑏𝑚+1𝑋𝑚+1+ ⋯ + 𝑏𝑘𝑋𝑘+ 𝑉. (6.10)
Ký hiệu 𝑙𝑅 𝑣à 𝑙𝑈 là giá trị lớn nhất của logarit hàm hợp lý ứng với mô hình (R) và mô hình (U) tương ứng. Xét thống kê: 𝐿𝑅 = −2(𝑙𝑅− 𝑙𝑈) ((k – m) là số biến giải thích nghi ngờ bị bỏ sót).
Từ kết quả hồi quy, nếu giá trị 𝐿𝑅 > 𝜒𝛼2(𝑘 − 𝑚) thì bác bỏ giả thuyết 𝐻0.
2. Khi không có số liệu về biến Z
* Cách 1: Kiểm định của Ramsey (hay kiểm định RESET: Regression Specification Error Test): Ramsey đã đề xuất sử dụng tổ hợp tuyến tính của 𝑌̂2, 𝑌̂3, 𝑌̂4xấp xỉ cho Z.
Thủ tục kiểm định như sau:
B1: Hồi quy mô hình gốc:
𝑌𝑖 = 𝑎 + 𝑏. 𝑋𝑖 + 𝑈𝑖 (𝒐𝒍𝒅), thu được 𝑌̂𝑖
B2: Hồi quy mô hình: 𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝛽2𝑌̂𝑖2+ 𝛽3𝑌̂𝑖3+ 𝛽4𝑌̂𝑖4 + 𝑉𝑖 (𝒏𝒆𝒘)
Bộ môn Toán – Thống kê Bài giảng Kinh tếlượng
- Xét thống kê:
𝐹 = (𝑅𝑛𝑒𝑤2 −𝑅𝑜𝑙𝑑2 )/𝑚 (1−𝑅𝑛𝑒𝑤2 )/(𝑛−𝑘) ,
trong đó m là số biến giải thích mới được thêm vào trong mô hình (new) (cụ thể ở đây m
= 3); k là số hệ số của mô hình (new) (cụ thể ở đây k = 5) - Nếu giá trị 𝐹 > 𝐹𝛼(𝑚, 𝑛 − 𝑘) thì bác bỏ 𝐻0.
* Cách 2: Kiểm định nhân tử Lagrange
B1: Hồi quy mô hình (old), thu được phần dư: 𝑈̂𝑖.
B2: Hồi quy: 𝑈̂𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝑋𝑖+ 𝛽2𝑌̂𝑖2+ 𝛽3𝑌̂𝑖3+ 𝛽4𝑌̂𝑖4+ 𝜀𝑖 (6.11) tính được hệ số xác định 𝑅𝑎𝑢𝑥2 𝑐ủ𝑎 𝑚ô ℎì𝑛ℎ 𝑛à𝑦.
B3: Kiểm định giả thuyết 𝐻0: 𝛽2 = 𝛽3 = 𝛽4 = 0 (không bỏ sót biến) như sau:
- Nếu 𝑛. 𝑅𝑎𝑢𝑥2 > 𝜒𝛼2(𝑚) thì bác bỏ 𝐻0 (m là số biến giải thích mói thêm vào mo hình, cụ thể ở đây: m = 3)
Lưu ý: Có thể dựa trên khảo sát dạng đồ thị của phần dư 𝑈̂𝑖 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑌̂𝑖 để xác định bậc của
𝑌̂. Thông thường bậc của 𝑌̂ càng cao thì kết quả kiểm định càng chính xác. * Cách 3: Kiểm địnhDurbin – Watson
B1: Hồi quy mô hình (old) và nhận được 𝑌 = 𝑎̂ + 𝑏̂. 𝑋 + 𝑈̂
B2: Giả sử biến Z là biến được nghi ngờ bị bỏ sót. Sắp xếp phần dư 𝑈̂𝑖 theo thứ tự tăng của Z hoặc theo thứ tự tăng của một biến giải thích nếu số liệu của Z chưa có.
B3: Tính 𝑑 =∑𝑛 (𝑈̂𝑖−𝑈̂𝑖−1)2 𝑖=2
∑𝑛 𝑈̂𝑖2 𝑖=1
(chú ý rằng ở B2, dãy phần dư đã được sắp xếp lại nên biểu thức này không phải là thống kê Durbin – Watson)
B4: Giả thuyết 𝐻0: Dạng hàm đúng (không có Z),
Đối thuyết 𝐻1: Dạng hàm sai (biến Z bị bỏ sót) Dựa vào bảng Durbin – Watson và mức ý nghĩa để bác bỏ hay chấp nhận 𝐻0.