X f( )= f( )( ), ϕ( () (1.93) được gọi dạng biên độ pha của phép biến đổị
CHƯƠNG 2: WAVELET
“Lý thuyết Wavelet” là kết quả của sự nổ lực chung giữa các nhà toán học, các nhà vật lý và các nhà kỹ thuật … đã mang lạị Sự liên kết này đã tạo nên luồng ý tưởng vượt ra khỏi việc xây dựng các cơ sở hoặc các phép biến đổi mớị
Stéphane Mallat
Giải tích wavelet là một phương pháp mới, mặc dù nền tảng toán học của nó bắt nguồn từ cơng trình của Joseph Fourier thế kỷ 19. Giải tích Fourier phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các sóng hình sin với nhiều tần số khác nhaụ Một cách tương tự, giải tích wavelet phân tích các tín hiệu thành tổ hợp các phiên bản của wavelet gốc (wavelet mẹ) với các thang độ (scaling) và trễ (shifting) khác nhaụ
Alfred Haar được xem là người đầu tiên đề cập đến wavelet vào năm 1909, ngày nay người ta gọi các wavelet đó là các Haar wavelet.
Khái niệm wavelet trình bày dưới dạng lý thuyết như hiện nay lần đầu tiên được Jean Morlet và các đồng nghiệp ở Trung tâm Vật lý lý thuyết Marseille đưa rạ Các phương pháp wavelet được phát triển và ứng dụng một cách nhanh chóng và hiệu quả, có thể kể đến những đóng góp chính trong lãnh vực này là của Ỵ Meyer và các đồng nghiệp. Hầu hết các thuật toán chính ngày nay đang sử dụng đều dựa trên cơng trình của Stephane Mallat 1988 và kể từ đó lý thuyết wavelet trở thành lý thuyết cả thế giới quan tâm. Ở Mỹ, một nhóm các nhà khoa học có nhiều cơng trình liên quan đến lý thuyết wavelet, có thể kể đến như Ingrid Duabechies, Ronald Coifman, và Victor Wickerhauser.
Lý thuyết wavelet được phát triển rất nhanh chóng, các bài báo tốn học và ứng dụng về lý thuyết này được xuất bản hàng tháng. Đã có toolbox wavelet của phần mềm MATLAB, có trang web riêng theo địa chỉ http://www.wavelet.org/ và có Hội wavelet quốc tế.
2.1 HAAR WEVELET
Chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sử dụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng có nhược điểm đáng kể, đó là: Các hàm cơ bản
cos sin
ikt
e = kt i+ kt
xác định và liên tục trên tồn đoạn [−π π; ], do đó khơng thích nghi tốt với các tín hiệu có tính địa phương hóa cao, trong đó giá trị của dữ liệu chỉ tập trung trong miền tương đối nhỏ. Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac δ( )t có giá trị tập trung tại t =0. Do đó ta có các hệ số Fourier
1 1( ) ( ) 2 2 ikt k c t e dt π π δ π − − π = ∫ = (2.1) và chuỗi Fourier tương ứng
( 2 2 ) 1 1 ... 1 ... 2 2 ikt it it it it k e e e e e π π ∞ − − =−∞ = + + + + + + ∑ (2.2)
là một hàm liên tục, do đó hồn tồn làm mất tính chất địa phương chỉ tập trung giá trị tại x=0
của hàm Dirac.
Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như hệ các hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa phương hóa của các tín hiệụ Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet.
Giống như các hàm lượng giác, các hàm wavelet có bản sao rời rạc nhận được bằng cách lấy mẫụ Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính tốn một cách nhanh chóng, do dó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp chẳng hạn các dữ liệu ảnh nhiều chiềụ
Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán học Hungary) giới thiệu năm 1910.
Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), xác định như sau 1( )t ( ) 1t