3 Các tập ωs-mở và các hàm ωs-liên tục
3.3 Tính liên tục trên các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng
gian tôpô tổng quát
Định nghĩa 3.3.1. Hàm f : pX, τq Ñ pY, σq đựơc gọi là hàm ωs-liên tục, nếu với mỗi V Pσ, f1pVq PωspX, σq.
Định lí 3.3.1. a) Mọi hàm liên tục là ωs-liên tục. b) Mọi hàm ωs-liên tục là nửa liên tục.
Chứng minh. Suy ra từ Định lí 3.2.1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng điều ngược lại của mỗi khẳng định trong Định lí 3.3.1 nói chung là không đúng.
Ví dụ 3.3.1. Cho f, g :pR, τq Ñ pta, bu, τdiscq, trong đó τ tH, R, N, Qc,
NYQcu và fpxq $ & % a nếu xP N b nếu xP RzN và gpxq $ & % a nếu xPRzQ b nếu xPQ. Vì f1ptauq N P τ ωspR, τq và f1ptbuq RzN P ωspR, τqzτ nên f là ωs- liên tục nhưng không liên tục. Hơn nữa, vì g1ptauq RzQ P τ SOpX, τq và
g1ptbuq QPSOpX, τqzωspX, τq nênf là nửa liên tục nhưng không ωs-liên tục. Định lí 3.3.2. Cho hàm f :pX, τq Ñ pY, σq.
a) Nếu pX, τq là đếm được địa phương thì f là liên tục nếu và chỉ nếu f là
ωs-liên tục.
b) Nếu pX, τq là không đếm được địa phương thì f là ωs-liên tục nếu và chỉ nếu f là nửa liên tục.
Chứng minh.
a) Theo Định lí 3.2.2 b) và Định lí 3.3.1 a). b) Theo Định lí 3.2.2 a) và Định lí 3.3.1 b).
Nhận xét 3.3.1. Hàm f : pX, τq Ñ pY, σq là ωs-liên tục nếu và chỉ nếu với mọi x P X và mọi tập mở V chứa fpxq tồn tại U P ωspX, τq sao cho x P U và
Định lí 3.3.3. Cho hàm f : pX, τq Ñ pY, σq. Khi đó các điều kiện sau tương đương:
a) Hàm f là ωs-liên tục;
b) Nghịch ảnh của mọi phần tử của cơ sở B của σ đều thuộc ωspX, τq; c) Nghịch ảnh của mọi tập con đóng của pY, σq là ωs-đóng trong pX, τq; d) Với mọi AX ta có fpAωsq fpAq;
e) Với mọi B Y ta có f1pBqωs
f1pBq;
f) Với mọi B Y ta có f1pintpBqq intωspf1pBqq.
Chứng minh.
paq ñ pbq. Hiển nhiên.
pbq ñ pcq. Giả sử B là cơ sở của σ sao cho f1pBq PωspX, τq, với mọi B P B. Lấy
C là tập con đóng khác rỗng của pY, σq. Khi đó YzC P τztHu. Chọn B B sao cho YzC tB :B P Bu. Khi đó Xzf1pCq f1pYzCq f1 ¤ tB :B PBu ¤ !f1pBq:B P B ) .
Vì theo giả thiết f1pBq P ωspX, τq với mọi B PB nên theo Định lí 3.2.4, ta có
Xzf1pCq PωspX, τq và vì thế f1pCq là ωs-đóng trong pX, τq.
pcq ñ pdq. Lấy A X. Khi đó fpAq là đóng trong pY, σq và theo (c), f1pfpAqq
là ωs-đóng trong pX, τq. Vì A f1pfpAqq f1pfpAqq và f1pfpAqq là ωs-đóng trong pX, τq nên Aωs f1pfpAqq và do đó fpAωsq fpf1pfpAqqq fpAq.
pdq ñ peq. LấyB Y. Khi đó f1pBq X và theo (d), fpf1pBqωs
q fpf1pBqq
B. Vì vậy f1pBqωs
f1pBq.
peq ñ pfq. Lấy B Y. Khi đó theo (e), f1pYzBqωs
Nhận xét 3.2.1(h), XzXzf1pBqωs intωspf1pBqq. Do đó f1pintpBqq f1pYzYzBq Xzf1pYzBq Xzf1pYzBqωs XzXzf1pBqωs intωspf1pBqq.
Bổ đề 3.3.1. Cho pX, τqlà không gian tôpô và AX.Khi đó Aωs AYintωpAq.
Chứng minh. Vì Aωs là ωs-đóng nên theo Định lí 3.2.10
intωppAωsqq intωpAωsq Aωs.
Vì vậy intωpAq intωppAωsqq Aωs, và vì thế A YintωpAq Aωs. Do Aωs
AYintωpAq nênAYintωpAq là ωs-đóng. Vì intωpAq A, nênintωpAq A. Vì vậy
intω AYintωpAq intω AYintωpAq intωpAq AYintωpAq và do đó theo Định lí 3.2.10 AYintωpAq là ωs-đóng.
Định lí 3.3.4. Cho hàm f : pX, τq Ñ pY, σq. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
a) f là ωs-liên tục;
b) Với mọi AX, ta có fpintωpAqq fpAq; c) Với mọi B Y, ta có intωpf1pBqq f1pBq.
Chứng minh.
paq ñ pbq. Giả sử f là ωs-liên tục. Cho A X. Khi đó theo Định lí 3.3.3 (d),
fpAωsq fpAq. Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có
pbq ñ paq. Ta áp dụng Định lí 3.3.3 (d). Cho A X. Khi đó theo (b), ta có
fpintωpAqq fpAq. Hơn nữa, ta luôn có fpAq fpAq. Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có
fpAωsq fpAYintωpAqq fpAq YfpintωpAqq fpAq.
paq ñ pcq. Giả sử f là ωs-liên tục. Cho B Y. Khi đó theo Định lí 3.3.3 (e),
f1pBqωs
f1pBq. Vì vậy, theo Bổ đề 3.3.1 ta có
intωpf1pBqq f1pBqωs
f1pBq.
pcq ñ paq. Ta sẽ áp dụng Định lí 3.3.3 (e). Cho B Y. Khi đó theo (c), ta có
intωpf1pBqq f1pBq.
Hơn nữa, ta luôn có f1pBq f1pBq. Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có
f1pBqωs
f1pBq Yintωpf1pBqq f1pBq.
Định lí 3.3.5. Nếu f : pX, τq Ñ pY, σq là ωs-liên tục và g : pY, σq Ñ pZ, λq là liên tục thì gf :pX, τq Ñ pZ, λq là ωs-liên tục.
Chứng minh. Cho V Pλ. Vì g là liên tục nên g1pVq Pσ. Vìf là ωs-liên tục nên
pgfq1pVq f1pg1pVqq PωspX, τq.
Hợp của hai hàm ωs-liên tục nói chung không phải là ωs-liên tục. Ví dụ sau đây làm rõ điều này.
Ví dụ 3.3.2. Cho f, g :pR, τuq Ñ pR, τuq, trong đó fpxq $ & % x nếu x¤1 0 nếu x¡1 và gpxq $ & % 0 nếu x 1 3 nếu x¥1. Khi đó pgfqpxq $ & % 0 nếu x1 3 nếu x1.
Vì f và g hiển nhiên là nửa liên tục và pR, τuq là không đếm được địa phương nên theo Định lí 3.3.2 (b) f và g là ωs-liên tục. Mặt khác, vì p2, 8q Pτu nhưng
Định lí 3.3.6. Cho họ các hàm tfα : pX, τq Ñ pYα, σαq : α P ∆u Nếu hàm
f :pX, τq Ñ ¹
αP∆
Yα, σprod xác định bởi fpxq pfαpxqqαP∆ là ωs-liên tục thì với mọi αP∆, fα là ωs-liên tục.
Chứng minh. Giả sử f là ωs-liên tục và cho β P∆. Khi đó fβ Πβ f trong đó Πβ : ¹
αP∆
Yα, σprod Ñ pYβ, σβq là phép chiếu trên Yβ.Vì Πβ là liên tục nên theo Định lí 3.3.5, fβ là ωs-liên tục.
Ví dụ sau sẽ cho thấy rằng điều ngược lại của Định lí 3.3.6 nói chung không đúng. Ví dụ 3.3.3. Định nghĩa f, g :pR, τuq Ñ pR, τuq và h:pR, τuq Ñ pRR, τprodq xác định bởi fpxq $ & % 2 nếu x¤0 2 nếu x¡0 , gpxq $ & % 2 nếu x 0 2 nếu x¥0 và hpxq fpxq, gpxq .
Vìf và g hiển nhiên là nửa liên tục vàpR, τuq là không đếm được địa phương nên theo Định lí 3.3.2(b)f vàglàωs-liên tục. Mặt khác, vìp0, 8qp8, 0q Pτprod
nhưng h1pp0, 8q p8, 0qq t0u R ωspR, τuq nên h không là ωs-liên tục.
Định lí 3.3.7. Cho họ các hàm tfα : pX, τq Ñ pYα, σαq : α P ∆u. Nếu với mỗi số α0 P ∆, fα0 là ωs-liên tục và fα là liên tục với mọi α P ∆ztα0u thì hàm
f :pX, τq Ñ ¹
αP∆
Yα, τprod xác định bởi fpxq pfαpxqqαP∆ là ωs-liên tục.
Chứng minh. Ta sẽ áp dụng mệnh đề (b) của Định lí 3.3.3. Cho A là một tập mở cơ sở của ¹
αP∆
Yα, τprod , không mất tính tổng quát ta giả sử rằng
AΠα01pUα0q XΠα11pUα1q X. . .XΠαn1pUαnq,
trong đó Uαi là tập mở cơ sở của Yαi với mọi i0, 1, . . . , n. Khi đó
f1pAq pΠα0 fq1pUα0q XpΠα1 fq1pUα1q X. . .XpΠαnfq1pUαnq pfα01pUα0qq X pfα11pUα1qq X. . .X pfαn1pUαnqq.
Theo giả thiếtfα01pUα0q PωspX, τqvà fαi1pUαiq Pτ với mọii1, . . . , n.Do đó
pfα11pUα1qqX. . .Xpfαn1pUαnqq Pτ và theo Định lí 3.2.5, ta cóf1pAq PωspX, τq.
Hệ quả 3.3.1. Cho hàm f :pX, τq Ñ pY, σq và g :pX, τq Ñ pXY, τprodq là đồ thị hàm f cho bởi gpxq px, fpxqq, với mọi xPX. Khi đó g là ωs-liên tục nếu và chỉ nếu f là ωs-liên tục.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử g là ωs-liên tục. Khi đó theo Định lí 3.3.6,
f là ωs-liên tục.
Điều kiện đủ: Giả sử f là ωs-liên tục. Chú ý rằng hpxq pIpxq, fpxqq trong đó I :pX, τq Ñ pX, τqlà hàm đồng nhất. Vì I là liên tục nên theo Định lí 3.3.7,
KẾT LUẬN
Nội dung chủ yếu của Luận văn là nghiên cứu các đặc trưng của các tập
ω-mở và ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát. Luận văn đã tìm hiểu, hệ thống và chi tiết hóa một số kết quả sau liên quan đến vấn đề nói trên. Cụ thể là:
1. Hệ thống một số kiến thức về giải tích hàm như: không gian véctơ tôpô, không gian tích, không gian thương,...
2. Trình bày khái niệm các tập ω-mở trong các không gian tôpô tổng quát và sử dụng chúng để tìm hiểu các đặc trưng Lindel¨of, compact, liên tục trong các không gian tôpô tổng quát.
3. Nghiên cứu một số khái niệm các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát và sử dụng các khái niệm đó để tìm hiểu lớp các tập, cũng như mối liên hệ chặt chẽ giữa tính liên tục và nửa liên tục của các lớp hàm mới.
Tài liệu tham khảo
[1] A. AL-Omari, T. Noiri, A unified theory of contra-µ, λ-continuous functions in generalized topological spaces, Acta Math, Hungar., 135 (2012), 31-41.
[2] A. AL-Omari, M. S. Md. Noorani, Regular generalized ω-closed sets, Int. J. Math. Sci., 2007 (2007), 11 pages.
[3] A. AL-Omari, M. S. Md. Noorani, Contra-ω-continuous and almost contra-ω-continuous, Int. J. Math. Sci., 2007 (2007), 13 pages. [4] K. Al-Zoubi, B. Al-Nashef,Semiω-open subsets, Abhath Al-Yaemouk,
11 (2002), 829-838.
[5] K. Al-Zoubi, Semi ω-continuous functions, Abhath Al-Yaemouk, 12(2003), 119-131.
[6] K. Al-Zoubi, On generalized ω-closed sets, Int. J. Math. Sci., 13 (2005), 2011-2021.
[7] K. Al-Zoubi, B. Al-Nashef, The Topology of ω-open subsets, Al- Manarah Journal, 9 (2003), 169-179.
[8] S. Al Ghour, Certain Covering Properties Related to Paracompact- ness, Ph.D. thesis, University of Jordan, Amman, Jordan, (1999). [9] S. Al Ghour, Some generalizations of paracompactness, Missouri J.
Math. Sci, 18 (2006), 64-77.
[10] S. Al Ghour, A. AL-Omari, T. Noiri, On homogeneity and homogene- ity components in generalized topological spaces, Filomat, 27 (2013), 1097-1105.
[11] A. Csaszar, Generalized topology, generalized continuity, Acta Math. Hungar., 96(2002), 351-357.
[12] A. Csaszar, γ-connected sets, Acta Math. Hungar., 101(2003), 273- 279.
[13] A. Csaszar, Separation axioms for generalized topologies, Acta Math. Hungar., 104(2004), 63-69.
[14] A. Csaszar,Extremally disconnected generalized topologies, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math., 47 (2004), 91-96.
[15] A. Csaszar, Generalized open sets generalized topologies, Acta Math. Hungar., 106 (2005), 53-66.
[16] A. Csaszar, Product of generalized topologies, Acta Math. Hungar., 123 (2009), 127-132.
[17] C. Cao, J. Yan, W. Wang, Some generalized continuities functions on generalized topological spaces, Hacet. J. Math. Stat., 42 (2013), 159-163.
[18] C. Carpintero, N. Rajesh, E. Rosas, S. Saranyasri, On slightly ω- continuous multifunctions, Punjab Univ. J. Math. (Lahore), 46 (2014), 51-57.
[19] C. Carpintero, E. Rosas, M. Salas, J. Sanabria, L. Vasquez, Gener- alization of ω-closed sets via operators and ideals, Sarajevo J. Math., 9(2013), 293–301.
[20] SG. Crossley, SK. Hildebrand, Semi-closure, Texas Journal of Sci- ences, 22 (1971), 99-112.
[21] R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin (1989). [22] H. Z. Hdeib, ω-closed mappings, Rev. Colombiana Mat., 16 (1982),
65-78.
[23] H. Z. Hdeib, ω-continuous functions, Dirasat J., 16 (1989), 136-153. [24] D. Jayanthi,Contra continuity on generalized topological spaces, Acta
Math. Hungar., 137 (2012), 263-271.
[25] Y. K. Kim, W. K. Min, On operations induced by hereditary classes on generalized topological spaces, Acta Math. Hungar., 137 (2012), 130-138.
[26] Y. K. Kim, W. K. Min, Rpg, g1q-continuity on generalized topological spaces, Commun. Korean Math. Soc., 27 (2012), 809-813.
[27] E. Korczak-Kubiak, A. Loranty, R. J. Pawlak, generalized topologi- cal spaces, generalized metric spaces and infinite game, Acta Math. Hungar., 140 (2013), 203-231.
[28] N. Levine, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces, Amer. Math. Monthly, 70(1963), 36-41.
[29] Z. Li, W. Zhu, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta Math. Hungar., 138 (2013), 34-43.
[30] W. K. Min, Some results on generalized topological spaces and gener- alized system, Acta Math. Hungar., 108 (2005), 171-181.
[31] W. K. Min, pδ, δ1q-continuity of generalized topological spaces, Acta Math. Hungar., 129 (2010), 350-356.
[32] V. Renukadevi, P. Vimaladevi, Note on generalized topological spaces with hereditary class, Bol. Soc. Parana. Mat., 32 (2014), 89-97. [33] A. G. Sammer, M. Kafa,Between open sets and semi-opens sets, Univ.
Sci. 23 (2018), 9-20.
[34] A. G. Samer, Z. Wafa, Omega open sets in generalized topological spaces, Journal of Nonlinear Sciences and Applications, (2016), 3010- 3017.
[35] M. Sarsak, ω-almost Lindel¨of spaces, Questions Answers Gen. Topol- ogy, 21 (2003), 27-35.
[36] J. Thomas, S. J. John,µ-compactness in generalized topological spaces, J. Adv. Stud. Topol., 3 (2012), 18-22.
[37] I. Zorlutuna, ω-continuous multifunctions, Filomat, 27 (2003), 165- 172.