Các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát

3 Các tập ωs-mở và các hàm ωs-liên tục

3.2 Các tập ωs-mở trong các không gian tôpô tổng quát

quát

Định nghĩa 3.2.1. Cho A là tập con của không gian tôpô pX, τq. Khi đó A

được gọi là ωs-mở của pX, τq nếu tồn tại U P τ sao cho U „A „ Uω và A được gọi làωs-đóng nếuAc là ωs-mở. Họ tất cả các tậpωs-mở của pX, τqđược ký hiệu là ωspX, τq.

Định lí 3.2.1. Cho pX, τq là không gian tôpô. Khi đó τ „ωspX, τq „ SOpX, τq.

Chứng minh. Cho A P τ, lấy U A. Khi đó U P τ và U „ A „ Uω. Suy ra

APωspX, τq. Do đó τ „ωspX, τq.

Lấy AP ωspX, τq. Khi đó tồn tại U P τ sao cho U „A „Uω. Vì Uω „U nên

APSOpX, τq.

Vậy ωspX, τq „SOpX, τq.

Ví dụ sau đây cho ta thấy rằng hai bao hàm trong Định lí 3.2.1 nói chung không phải là đẳng thức.

Ví dụ 3.2.1. XétpR, τqtrong đóτ tH, R, N, Qc, NYQcu. Khi đó ta cóNω

N, NQ và Qcω RzN. Do đó QPSOpX, τqzωspX, τq và RzNP ωspX, τqzτ.

Định lí 3.2.2. Cho pX, τq là không gian tôpô. Khi đó

a) Nếu pX, τq là không đếm được địa phương thì ωspX, τq SOpX, τq.

b) Nếu pX, τq là đếm được địa phương thì τ ωspX, τq.

Chứng minh. a) Theo Định lí 3.2.1, ta có SOpX, τq „ ωspX, τq.

Lấy A P SOpX, τq. Khi đó tồn tại U P τ sao cho U „ A „ U . Vì pX, τq

là không đếm được địa phương nên theo Định lí 3.1.3a), U Uω. Do đó

APωspX, τq.

b) Theo Định lí 3.2.1, ta có ωspX, τq „ τ.

Lấy A P ωspX, τq. Khi đó tồn tại U P τ sao cho U „A „Uω. Vì pX, τq là đếm được địa phương, nên theo Định lí 3.1.3b), Uω U. Do đó A U và vì vậy APτ.

Ví dụ sau đây cho thấy tập ω-mở và ωs-mở là độc lập.

Ví dụ 3.2.2. Xét pR, τq trong đó τ !H, R, r0,8q). Khi đó ta có r0,8qωR. Do đó r1, 8q P ωspX, τqzτω và p0, 8q P τω „ωspX, τq.

Định lí 3.2.3. Tập con A của không gian tôpô pX, τq là ωs-mở nếu và chỉ nếu

A„intpAqω.

Chứng minh. Điều kiện cần. Cho A là ωs-mở. Khi đó tồn tại U P τ sao cho

U „A„Uω. Vì U „A nên U intpUq „ intpAq và vì thế Uω „intpAqω.

Vì vậy A „intpAqω.

Điều kiện đủ. Giả sử A„intpAqω. Lấy U intpAq. Khi đó U Pτ với U „A„

Định lí 3.2.4. Hợp tùy ý các tập ωs-mở trong không gian tôpô là ωs-mở.

Chứng minh. ChopX, τqlà không gian tôpô vàtAα :αP∆u „ωspX, τq.Với mỗi

αP∆, tồn tại Uα Pτ sao cho Uα „Aα„Uαω. Vì vậy

¤ αP∆ Uα Pτ với ¤ αP∆ Uα „ ¤ αP∆ Aα „ ¤ αP∆ Uα ω „ ¤ αP∆ Uα ω . Do đó ¤ αP∆ AαP ωspX, τq.

Hệ quả 3.2.1. Nếu tCα :αP∆u là tập các tập conωs-đóng của không gian tôpô

pX, τq thì “

tCα :α P∆u là ωs-đóng.

Ví dụ sau cho thấy giao của hai tập ωs-mở nói chung không là ωs-mở.

Ví dụ 3.2.3. Xét pR, τωq. Cho A r0, 1s, B r1, 2s. Theo Định lí 3.1.3a),

p0, 1qω p0, 1q A, và p1, 2qω p1, 2q B.

Vậy A, B PωspX, τq nhưng AXB t1u RωspX, τq.

Định lí 3.2.5. Trong không gian tôpô bất kỳ, giao của hai tập ωs-mở là tập

ωs-mở.

Chứng minh. Cho pX, τq là không gian tôpô, APτ và B PωspX, τq.

Lấy U Pτ sao cho U „B „Uω. Ta có AXU P τ và AXU „AXB „AXUω „

AXUω. Suy ra AXB PωspX, τq.

Hệ quả 3.2.2. Cho không gian tôpô bất kỳ, hợp của hai tập ωs-đóng là tập

ωs-đóng.

Định lí 3.2.6. Cho pX, τq là không gian tôpô, B H, B „X và A„B. Khi đó a) Nếu APωspX, τq thì APωspB, τBq.

b) Nếu B Pτ và APωspB, τBq thì AP ωspX, τq.

Chứng minh. a) Giả sửAPωspX, τq.Khi đó tồn tạiU Pτ sao choU „A„Uω.

Khi đó U UXB „A„UωXB.

Chú ý rằng UωXB là bao đóng của U trong pτωqB và theo Định lí 3.1.1a), nó là bao đóng của U trong pτBqω. Điều này suy ra rằng APωspB, τBq.

b) Giả sử B Pτ và APωspB, τBq. Vì APωspB, τBq nên tồn tại V PτB sao cho

V „ A„ H trong đó H là bao đóng của V, trong pB, pτBqωq. Vì B P τ nên

V Pτ.

Định lí 3.2.7. Cho pX, τq là không gian tôpô. Nếu AP ωspX, τq và A„B „Aω

thì B PωspX, τq.

Chứng minh. Vì APωspX, τq nên tồn tại U Pτ sao cho U „A„Uω. VìA „Uω

nên Aω „Uω. Vì B „Aω nên B „Uω. Do đó, ta có U P τ và U „A„B „Uω.

Vậy B P ωspX, τq.

Định lí 3.2.8. Với bất kỳ không gian tôpô pX, τq, ta có SOpX, τωq ωspX, τωq.

Chứng minh. Theo Định lí 3.2.1, ta có ωspX, τωq „ SOpX, τωq.

Ngược lại, lấy AP SOpX, τωq,khi đó tồn tại U Pτω sao cho U „A„H,trong đó H là bao đóng của U trong pX, τωq. Theo Định lí 3.1.1b), ta có pτωqω τω và vì thế H Uω. Do đó A PSOpX, τωq.

Định lí 3.2.9. Với bất kỳ không gian tôpô pX, τq, ta có

τ tintpAq:AP ωspX, τqu.

Chứng minh. Theo Định lí 3.2.1, ta có τ „ωspX, τq.

Định lí 3.2.10. Một tập con C của không gian tôpô pX, τq là ωs-đóng nếu và chỉ nếu intωpCq „C.

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử C là ωs-đóng trong pX, τq. Khi đó XzC là

ωs-đóng và theo Định lí 3.2.3, XzC „intpXzCqω. Vì thế intωpCq „ExtωpXzCq ExtωpExtpCqq XzExtpCqω XzintpXzCqω „C.

Điều kiện đủ. Giả sử intωpCq „C. Khi đó

XzC „XzintωpCq XzExtωpXzCq XzExtωpExtpCqq ExtpCqω intpXzCqω. Theo Định lí 3.2.3, XzC là ωs-mở và do đó C là ωs-đóng.

Định nghĩa 3.2.2. Cho pX, τq là không gian tôpô và cho A„X.

a) ωs-bao đóng của Atrong pX, τqđược ký hiệu làAωs và định nghĩa như sau:

Aωs :“ !C :C là ωs-đóng trong pX, τq và A„C

)

.

b) ωs-phần trong của A trong pX, τq được ký hiệu là intωspAq và định nghĩa như sau:

intωspAq:” !U :U là ωs-mở trong pX, τq và U „A

)

.

Nhận xét 3.2.1. Cho pX, τq là không gian tôpô và A„X. Khi đó a) Aωs là tập ωs-đóng nhỏ nhất trong pX, τq chứa A.

b) A là ωs-đóng trong pX, τq khi và chỉ khi AAωs.

c) intωspAq là tập ωs-mở lớn nhất trong pX, τq chứa A.

d) A là ωs-mở trong pX, τq khi và chỉ khi AintωspAq.

e) xPAωs khi và chỉ khi B PωspX, σq với xPB, AXB H.

f) intωspAcq XAωs H.

g) X intωspAcq YAωs.

h) XzAωs intωspAcq và XzintωspAcq Aωs.

Cho X và Y là hai không gian tôpô. Hàm f :X ÑY là mở nếu ảnh fpUq là mở trong Y, với bất kỳU là mở trong X.

Định lí 3.2.11. Chof :pX, τq Ñ pY, σq là hàm mở sao chof :pX, τωq Ñ pY, σωq

liên tục. Khi đó với mỗi APωspX, τq, ta có fpAq PωspY, σq.

Chứng minh. Cho A P ωspX, τq. Khi đó tồn tại U P τ sao cho U „ A „ Uω và dó đó fpUq „ fpAq „ fpUωq. Vì f : pX, τq Ñ pY, σq là mở nên fpUq P σ. Vì

f :pX, τωq Ñ pY, σωq liên tục nên fpUωq „fpUqω. Do đó fpAq PωspY, σq.

Không thể bỏ qua điều kiện “hàm mở” trong Định lí 3.2.11.

Ví dụ 3.2.4. Giả sử f : pR, τdiscq Ñ pR, τuq, trong đó fpxq 0 với mọi x P R. Khi đó ta có f : pR, pτdiscqωq Ñ pR, pτuqωq liên tục. Mặt khác, t0u P ωspR, τdiscq