2 Mặt phẳng hyperbolic
3.5 Hình chữ nhật trong PSL(2,R)
Định nghĩa 3.5 (Thiết diện cắt ngang). Tập S ⊂ G được gọi là thiết diện cắt ngang (địa phương) thời gian ε > 0 của dòng ϕG
t t∈R nếu (a) S là tập đóng. (b) S ∩ϕG [−ε,ε](x) = {x} với mọi x ∈ S. Xem minh họa ở Hình 3.3.
Hình 3.3: Thiết diện cắt ngang địa phương
Bổ đề 3.2. Cho ε > 0 và g ∈ G, các thiết diện Poincaré đóng bán kính
ε
Pε(g) ={gcubs,|u| ≤ ε,|s| ≤ ε}
Pε0(g) ={gbscu,|s| ≤ ε,|u| ≤ ε}
là các thiết diện cắt ngang thời gian ρ > 0 tùy ý và đường kính không quá 4ε.
Chứng minh. Giả sử x = gcu1bs1 ∈ Pε(g) và y ∈ ϕG
[−ρ,ρ](x)∩ Pε(g). Khi đó y = gcu2bs2 và tồn tại τ ∈ [−ρ, ρ] sao cho x = ϕG
τ (y). Suy ra
cu1bs1 = cu2bs2aτ.
Ta viết đẳng thức trên dưới dạng đẳng thức của các ma trận tương ứng trong SL(2,R) và thu được u1 = u2, s1 = s2 và τ = 0 nên y = x. Do đó
Pε(g) là thiết diện cắt ngang địa phương với thời gian ρ. Tiếp theo, với x = gx = gcu1bs1 và y = gcu2bs2, ta có
dG(x, y) =dG(gcu1bs1, gcu2bs2) = dG(cu1bs1, cu2bs2) ≤ dG(cu1bs1, e) +dG(e, cu1bs1)
= dG(bs1, c−u1) +dG(bs2, c−u2)
≤ |s1|+ |u1|+|s2|+|u2| ≤ 4ε.
Do đó diamPε ≤4ε. Chứng minh tương tự cho Pε0(g).
Định nghĩa 3.6. Cho S là thiết diện cắt ngang địa phương thời gian ε. Ánh xạ
prS : ϕG
[−ε,ε](S) → S, prS ϕG
t (g) = g
được gọi là phép chiếu lên S.
Từ giờ trở đi, ta ký hiệu δ0 = δ(1) như trong Hệ quả 3.4.
Định nghĩa 3.7. Cho D là một thiết diện cắt ngang địa phương và
T ⊂ D là một tập hợp đóng và không giao với ∂D và diamT < δ0. Ta định nghĩa
h·,·iD : T ×T −→ D, hg, hiD = prD(hg, hi) (3.14) Ví dụ 3.1. Đặt D = Pε(z) là thiết diện Poincaré bán kính ε tại z;ε > 0. Chọn T = Pε/2(z). Với bất kỳ g, h ∈ T, chúng ta có thể xác định hg, hiD như sau: Bước 1: Xây dựng hg, hi. Ta có g = cu1bs1 và y = cu2bs2. hg, hi = Wρs ϕG v (g) u \ ρ (Wρs(h)) = {cu1bs1avbs,|s|< ρ}\{cu2bs2cu,|u| < ρ}
vớit, u, s (nhỏ và cho trước). Do đó, ta tìmt, u, ssao chocu1bs1avbs = cu2bs2cu
hoặc b−s1cu2−u1bs2 = avbsc−u. Ta thấy rằng
v = −2 ln (1 + (u2 −u1)s2), u = u1 −u2
1 + (u2 −u1)s2, s = (s2 −s1 + (u1 −u2)s1s2) (1 + (u2 −u1)s2).
Do đó hg, hi = cu1bs1avbs = cu1bs1+sevav.
Bước 2: Xây dựng hg, hiT.Ta có |v| ≤ ε và
|s1 +sev| = s2 1 + (u2 −u1)s2 ≤ ε do si, ui ∈ [−ε/2, ε/2]. Vì thế, hg, hiD = ϕG −v(hg, hi) = cu1bs1+sev ∈ D. Định nghĩa 3.8. (Hình chữ nhật) Gọi D là thiết diện cắt ngang địa phương. Một tập hợp con ∅6= R ⊂ D được gọi là hình chữ nhật nếu
(R1)R là đóng trong D.
(R2)hx, yiD ∈ R với mọi x, y ∈ R. Xem minh họa trong Hình 3.4.
Chú ý: (a) Nếu R1 ⊂ D1 vàR2 ⊂ D2 là các hình chữ nhật và R1∩R2 6=
∅ thì R1 ∩ R2 là một hình chữ nhật.
(b) Nếu R ⊂ D là một hình chữ nhật thì ϕG
τ (R) cũng là hình chữ nhật với τ đủ nhỏ.
Kết quả tiếp theo cho ta một ví về các hình chữ nhật, xem minh họa Hình 3.5.
Hình 3.5: Hình chữ nhật Tε(g).
Định lý 3.6 (Hình chữ nhật). Với ε > 0 sao cho min{ε,1−εε2} < δ0/4 và g ∈ G. Khi đó các tập Sε(g) = gcubs :u ∈ [−ε, ε], s = s 0 1−us0 với s 0 ∈ [−ε, ε] Tε(g) = gbscu : s ∈ [−ε, ε], u = u 0 1−su0 với u 0 ∈ [−ε, ε] là các hình chữ nhật trong G. Chứng minh.
Chúng ta chỉ chứng minh cho S := Sε(g). Lưu ý rằng từ giả thiết,
Do đó hx, yi = Wρs(ϕv(x))∩Wρu(y) =gcuxbsxavbs = gcuybsycu với v = −2 ln (1 + (uy −ux)sy) s = (sy −sx−(uy −ux)sxsy) (1 + (uy −ux)sy) u = uy−ux 1+(uy−ux)sy. Suy ra hx, yi = gcuxbsxavbs = gcuxbsx+sevav nghĩa là hx, yiS = gcuxbsx+sev. Chúng ta cần chỉ ra gcuxbsx+sev ∈ S. Ta thấy sx+sev = sy 1 + (uy −ux)sy = s0y 1−uxs0 y , trong đó s0y ∈ [−ε, ε] thỏa mãn sy = s0y 1−uys0 y; và do đó hx, yiS ∈ S, ta có
điều phải chứng minh.
Với u = s =ε, chúng ta đặt Sε(g) =Sεε(g) và Tε(g) = Tεε(g).
Mệnh đề 3.2. Với ε > 0 sao cho min{ε,1−εε2} < δ0/4 và g ∈ G. Cho
S, T là thiết diện cắt ngang địa phương và Sε(g) ⊂S, Tε(g) ⊂ T là hình chữ nhật định nghĩa trong Định lý 3.6. Khi đó Sε(g) là hình chiếu của
Tε(g) trên S và Tε(g) là hình chiếu của Sε(g) trên T.
Chứng minh. Cho h = gcubs ∈ Sε(g), ta viết g = gcubs = gbs˜cu˜a˜t với
˜ s = s 1 +us, u˜= u(1 +us), ˜t = −2 ln(1 +us). Vì h ∈ Sε(g) nên s = 1−sus0 0 với s0 ∈ [−ε, ε]. Tức là s˜ = s0 ∈ [−ε, ε]. Ngoài ra 1−su˜ = 1− 1+susu = 1+1us tức là u˜ = u(1 +us) = 1−˜usu; vì thế ˜ g = ϕG
−˜t(g) = prT(g) = bs˜cu˜ ∈ Tε(g). Ngược lại, nếu g˜= b˜scu˜ ∈ Tε(g) thì
˜
g = cubsat với
u = u˜
1 + ˜us˜, s = ˜s(1 + ˜us˜), t = 2 ln(1 + ˜us˜).
Tương tự, chúng ta có thể kiểm tra được u ∈ [−ε, ε], s = 1−s˜us˜ và vì vậy g = prT(˜g). Vì thế prT (Sε(g)) = Tε(g). Chứng minh tương tự
Kết luận
Tác giả đã chọn lọc các kiến thức đã có trong các tài liệu tham khảo và trình bày một số nội dung sau trong luận văn:
1. Luận văn trình bày một số khái niệm về mặt phẳng hyperbolic và các tính chất liên quan.
2. Luận văn trình bày một cách hệ thống các tính chất cơ bản của các dòng trắc địa và dòng horocycle trên mặt phẳng hyperbolic. Đóng góp chính của luận văn là xây dựng dòng horocycle một cách tự nhiên thông qua tham số của các horocycle, đồng thời đưa ra các tính chất của dòng trắc địa trên PSL(2,R) như đa tạp ổn định, không ổn định, cấu trúc tích địa phương từ các tính chất của dòng trắc địa trên Γ\PSL(2,R) trong tài liệu tham khảo [3].
Vì thời gian và kiến thức có hạn nên còn những vấn đề về dòng trắc địa và dòng horocycle chưa được trình bày trong luận văn này. Những vấn đề đó chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu trong tương lai.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Lưu Văn Long: Nhóm Fuchs và miền cơ bản, Luận văn thạc sĩ
Toán học, Đại học Quy Nhơn, 2018. Tiếng Anh
[2] A.F. Beardon: The Geometry of Discrete Groups, Springer,
Berlin-Heidelberg-New York 1983.
[3] H.Hien: Symbolic dynamics for the geodesic flow on compact factors
of the hyperbolic plane, preprint.
[4] S. Katok: Fuchsian Groups, University of Chicago Press, Chicago
1992.
[5] M. Kunze: Dynamics of the Geodesic Flow on Compact Factors of
the Hyperbolic Plane, preprint.
[6] J. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer Science and