2 Mặt phẳng hyperbolic
3.4 Cấu trúc tích địa phương
Nhắc lại định nghĩa các dòng ϕG, θG và ηG trong Ví dụ 1.4:
ϕG(g) =gat, ϕG(g) =gbt, ϕG(g) =gct.
Định nghĩa 3.3. (Đa tạp ổn định/không ổn định) Cho g ∈ G. Đa tạp ổn định và không ổn định tại g được định nghĩa tương ứng bởi:
Ws(g) = h ∈ G :dG ϕG t (g), ϕG t (h) →0 khi t → ∞ . Wu(g) =h ∈ G : dG ϕG t (g), ϕG t (h) →0 khi t→ −∞ . Định lý 3.3 (Đa tạp ổn định). Cho g, h ∈ G = PSL(2,R). Các mệnh đề sau đây là tương đương:
(a)
dG ϕG
t (g), ϕG
t (h) →0 với t→ ∞.
(b) Tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
dG ϕG t (g), ϕG t (h) ≤ Ce−t với t ∈ [0,∞]. (c) h ∈ {θG s (g) =gbs : s ∈ R}. Chứng minh.
(b) ⇒ (a): Điều này là hiển nhiên.
(a) ⇒ (c): Do (at)−1 = a−t, vì dG bất biến trái theo Bổ đề 1.2(a) và theo định nghĩa của ϕG t , dG a−tg−1hat, e = dG(hat, gat) =dG ϕG t (h), ϕG t (g) → 0, khi t→ ∞. Đặt g−1h = π(C), C = α β γ δ ! ∈ SL(2,R).
Khi đó A−tCAt = e −t/2 0 0 et/2 ! α β γ δ ! et/2 0 0 e−t/2 ! = α e −tβ etγ δ !
và π(A−tCAt) = a−tg−1hat. Ta có etγ → 0 khi t → ∞ xảy ra nếu γ = 0. Hơn nữa, hoặc α = δ = 1 hoặc α = δ = −1. Ta suy ra
C = 1 β 0 1 ! hoặc C = −1 β 0 −1 !
và do đó g−1h = bβ hoặc g−1h = b−β, sao cho h ∈ {gbs : s ∈ R} trong cả hai trường hợp.
(c) ⇒ (b): Đặt h = gbs với mọi s ∈ R. Khi đó
dG ϕG t (g), ϕG t (h) = dG(gat, hat) =dG e, a−tg−1hat = dG(e, a−tbsat) = dG(e, bse−t) ≤ |s|e−t
Định lý 3.4 (Đa tạp không ổn định). Cho g, h ∈ G = PSL(2,R). Các mệnh đề sau là tương đương:
(a)
dG ϕG
t (g), ϕG
t (h) → 0 với t → −∞; (b) Tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
dG ϕG t (g), ϕG t (h) ≤Cet với t ∈ [−∞,∞]. (c) h ∈ ηG s (g) = gcs : s ∈ R .
Định nghĩa 3.4. (Đa tạp ổn định yếu/đa tạp không ổn định yếu) Cho
g ∈ G. Đa tạp yếu và đa tạp không ổn định tại g được cho bởi
Wws(g) = {(θs◦ϕt) (g) : s, t ∈ R} = {gatbs : s, t ∈ R}
và
Wwu(g) = {(ηu◦ϕt) (g) : u, t ∈ R} = {gatcu : u, t ∈ R}
trong đó g ∈ G.
Khái niệm về các đa tạp ổn định yếu địa phương và không ổn định yếu địa phương:
Wεws(g) ={gatbs : |t| < ε,|s| < ε}. Wεwu(g) ={gatcu :|t| < ε,|u| < ε}.
Các đa tạp ổn định và không ổn định địa phương tại g được định nghĩa như sau:
Wεs(g) ={gbs :|s| < ε} và Wεu(x) ={gcu : |u| < ε}.
Định lý 3.5. Với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 có tính chất sau. Nếu
g, h ∈ G thỏa mãn dG(g, h) < δ, khi đó giao của hai tập hợp
Wεws(g)∩Wεu(h)
chứa một điểm duy nhất và hơn nữa giao của hai tập hợp
Wεwu(g)∩Wεs(h) cũng chứa một điểm duy nhất.
Chứng minh.Với ε > 0cho trước, theo Bổ đề 1.2 (b) tồn tạiδ = δ(ε) > 0
có tính chất sau: Nếu u ∈ G và dG(u, e) < δ thì ta có
A = a b
c d
!
sao cho u = π(A) = [A] và |a−1|+|b|+|c|+|d−1| < min12, ε4 . Với
g, h ∈ G sao cho dG(g, h) < δ. Khi đó
dG g−1h, e = dG(g, h) < δ,
(e = π(E2) là phần tử đơn vị trong G) và do đó có A ∈ SL(2,R) như trong (3.13) sao chog−1h = [A]và |a−1|+|b|+|c|+|d−1| < min12,ε4 ; cụ thể là d ∈ [1/2,3/2]. Chúng ta có thể viết g−1h = atbscu với
t = −2 lnd, s = bd, u = c
d.
Do đó hc−u = gatbs và |t| = 2|lnd| ≤ 4|d−1| < ε do |ln(1 +z)| ≤ 2|z|
với|z| ≤ 1/2. Hơn nữa, |s| = |b||d| ≤ 2|b| < ε/2và |u|= ||cd|| ≤ 2|c| < ε/2. Do đó, nếu ta đặt z = gatbs = hc−u ∈ G, thì z ∈ Wεws(g)∩Wεu(h). Tiếp theo ta chứng minh rằng giao của hai tập hợp trên là duy nhất. Tức là giả sử rằng cũng có z0 ∈ Wεws(g)∩Wεu(h), ta cần chứng minh z = z0. Vì
z0 ∈ Wεws(g) ∩Wεu(h) nên z0 = gat0bs0 = hc−u0 với mọi |t0|,|s0|,|u0| < ε. Do đóhcuatbs = g = hcu0at0bs0, tức là hcuatbs = hcu0at0bs0.Suy ra cuatbs =
cu0at0bs0. Suy ra u = u0, t = t0 và s = s0 và do đó z = gb−s = gb−s0 = z0. Mệnh đề sau được chứng minh tương tự.
Hệ quả 3.4 (Cấu trúc tích địa phương). Với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) với tính chất sau: Nếu g, h ∈ G và dG(g, h) ≤ δ thì có duy nhất v =
v(g, h) ∈ R,|v| ≤ε thỏa mãn
Wεs(ϕv(g))∩ Wεu(h) 6= ∅
Chính xác hơn, giao của hai tập hợp là một điểm duy nhất, ký hiệu là hg, hi.
Chứng minh. Với mỗi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) như trong Định lý 3.5. Giả sử g, h ∈ G sao cho dG(g, h) < δ. Khi đó Wεws(g)∩Wεu(h) 6= ∅, tồn tại
s, v, u ∈ (−ε, ε) sao cho gavbs = hcu. Vì ϕv(g) =gav ta có
Wεs(ϕv(g)) = {gavbs0 : |s0| < ε},
và do đó gatbs = hcu ∈ Wεs(ϕv(g))∩Wεu(h). Nếu Wεs(ϕv0(g))∩Wεu(h) 6=
∅ với |v0| < ε thì gav0bs0 = hcu0 cho |s0|,|u0| < ε thích hợp. Từ Định lý 3.5, ta được v = v0, s = s0 và u = u0, do đó v là duy nhất. Giao của hai tập hợp là một điểm duy nhất cũng theo Định lý 3.5, xem minh họa ở
Hình 3.2.
Hình 3.2: Tích hg, hi.