MÔĐUN H PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ ỨNG DỤNG
3.2 Môđun H-phụ đối hữu hạn và ứng dụng
Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày môđun phụ đối hữu hạn được định nghĩa như một dạng tổng quát hóa của môđun phụ bởi cùng một điều kiện nhưng hạn chế trên các môđun con đối hữu hạn thay cho tất cả các môđun con. Bây giờ, bằng cách hoàn toàn tương tự, ta có định nghĩa tính chất H- phụ đối hữu hạn như là một tổng quát hóa của tính chất H- phụ.
Định nghĩa 3.2.1. (xem [12]) Môđun M được gọi là H- phụ đối hữu hạn nếu với môđun con đối hữu hạn bất kỳ A của M, tồn tại hạng tử trực tiếpD củaM sao cho với mọi môđun con X ≤ M, ta có M = A+X nếu và chỉ nếu M = D +X.
Rõ ràng mọi môđun H- phụ là H- phụ đối hữu hạn. Điều ngược lại nói chung không đúng và ở phần sau, chúng ta sẽ có ví dụ minh chứng.
Mặt khác, với môđun hữu hạn sinh M, nếu M là H- phụ đối hữu hạn thì M là H- phụ.
Từ định nghĩa có thể chứng minh rằng nếu M là H- phụ đối hữu hạn thì mọi môđun con đối hữu hạn A của M có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M. Thật vậy, giả sử M là môđun H- phụ đối hữu hạn và A là môđun con đối hữu hạn của M. Khi đó, tồn tại hạng tử trực tiếp D của M sao cho với mọi môđun con X ≤ M, ta có M = A+ X nếu và chỉ nếu M = D+ X. Giả sử M = D ⊕D0 với một môđun con (và là hạng tử trực tiếp) cuả M. Thế thì M = A+D0. Nếu D00 ≤ D0 sao cho M = A+D00 thì M = D⊕D0, suy ra D00 = D0. Bởi vậy, D0 chính là một phần phụ của A trong M và ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 3.2.2. ( xem [6]) Môđun M được gọi là ⊕- phụ đối hữu hạn nếu mọi môđun con đối hữu hạn A củaM có một phần phụ là hạng tử trực tiếp của M.
Hiển nhiên bởi định nghĩa, mọi môđun ⊕- phụ đối hữu hạn đều là phụ đối hữu hạn. Như vậy ta có quan hệ sau giữa các lớp môđun được xét trong luận văn này:
H- phụ ⇒ ⊕- phụ ⇒ phụ ⇒ phụ đối hữu hạn.
H- phụ ⇒ H- phụ đối hữu hạn ⇒ ⊕- phụ đối hữu hạn ⇒ phụ đối hữu hạn.
Một điều còn chưa biết là tính chất H- phụ đối hữu hạn (cũng như tính chất H- phụ) có di truyền cho hạng tử trực tiếp hay không. Mặt khác người ta đã chỉ ra ví dụ chứng minh rằng tổng trực tiếp của hai môđun H- phụ đối hữu hạn không nhất thiết là H- phụ đối hữu hạn.
Trong mục này của Luận văn chúng tôi trình bày một số kết quả tổng hợp từ hai tài liệu [12](2007) và [17] (2013) theo các chủ đề sau:
1. Các đặc trưng và tính chất quan trọng của môđun H- phụ đối hữu hạn.
2. Quan hệ giữa lớp môđunH- phụ đối hữu hạn và một vài lớp môđun khác.
3. Hạng tử trực tiếp và môđun thương của môđunH-phụ đối hữu hạn. 4. Tổng trực tiếp của các môđun H- phụ đối hữu hạn.
5. Vành R có mọi R- môđun là H- phụ đối hữu hạn.
Trước hết là kết quả cho một vài đặc trưng của môđun H- phụ đối hữu hạn. Định lý dưới đây tương tự và tổng quát hóa Định lý 3.1.4 về môđun H- phụ trình bày trong mục 3.1.
Định lý 3.2.3. ([17; Định lý 2.10]) Các điều kiện sau là tương đương đối với môđun M:
(1) M là H- phụ đối hữu hạn;
(2) Với mỗi môđun con đối hữu hạn Y của M, tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y +D)/D M/D và (Y +D)/Y M/Y;
(3) Với mỗi môđun con đối hữu hạn Y của M, tồn tại một môđun X
của M và một hạng tử trực tiếp D của M với Y +D ⊆X sao cho
(4) Với mỗi phần phụ đối hữu hạn Y của M, tồn tại một phần phụ L
của Y và một môđun con K của L sao cho (Y +K)/Y M/Y và (Y +K)/K M/K, mọi đồng cấu f : M −→ M/(K ∩ L) có thể nâng lên một đồng cấu f : M −→ M, tức là tồn tại f : M −→ M
thỏa mãn f = pf, trong đó p : M −→ M/(K ∩ L) là phép chiếu chính tắc.
Chứng minh. Phép chứng minh hoàn toàn tương tự với phép chứng minh của Định lý 3.1.4 đã trình bày chi tiết. Ở đây chúng ta trình bày tóm tắt các lập luận.
(1) ⇒(2): Hoàn toàn tương tự phép chứng minh (1) ⇒(2) của Định lý 3.1.4.
(2) ⇒ (3) Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M. Thế thì tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho (Y + D)/Y M/Y và
(Y +D)/D M/D. Bây giờ ta đặt X = Y +D.
(3) ⇒ (1) Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M. Thế thì tồn tại một môđun con X của M và một hạng tử trực tiếp D của M sao
cho Y + D ⊆ X, X/Y M/Y và X/D M/D. Dễ dàng nhận thấy
M = A+D nếu và chỉ nếu M = A+Y với mỗi A ≤ M. Do đó, M là H- phụ đối hữu hạn.
(2) ⇒(4) Lấy Y là một môđun con đối hữu hạn của M. Thế thì tồn tại một hạng tử trực tiếpD và D0 củaM sao choM = D⊕D0,(Y +D)/Y
M/Y và (Y +D)/D M/D. Dễ dàng chỉ ra rằng D0 là một phần phụ của Y và D là một phần phụ của D0.Lấy L = D0 và K = D, ta có điều phải chứng minh.
(4) ⇒(2) Đặt S = K∩L. Ta có S K và S L. Lấy g : M −→ M/L và f : M −→ M/S là toàn cấu. Chú ý rằng tồn tại một đẳng cấu t: M/L −→K/S. Bởi giả thiết tồn tại h :M −→ M sao chof h = tg. Ta cóK/S = f(K) = tg(K) = f h(K). Do đóK+Kerf = h(K)+Kerf, nói cách khác K+S = h(K) +S. Do vậy, K = h(K) vì S K. Ta cũng có h(K) =h(M). Do đó, K+Kerh = M. Vì Kerh được chứa trong L và L là một phần phụ củaK nênKerh = L. Bây giờL = Ker(tg) =Ker(f h)
dẫn đến Kerf = 0, hay S = 0. Vậy, M = K ⊕L. Định lý được chứng minh xong.
Nhắc lại rằng, môđun con N của môđun M gọi là chặn trên một hạng tử trực tiếp nếu N chứa một hạng tử trực tiếp X của M sao cho N/X M/X. Môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp ( xem1.3.3 (chương 1). Theo Mệnh đề 3.1.2 (mục 3.1), mọi môđun nâng là H- phụ. Ta có một kết quả tương tự cho môđun H- phụ đối hữu hạn.
Mệnh đề 3.2.4. ([17]; Mệnh đề 2.2) Cho M là một môđun. Nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp thì
M là H- phụ đối hữu hạn.Nói cách khác, mọi môđun nâng đối hữu hạn đều là H- phụ đối hữu hạn.
Chứng minh. Lấy N là một môđun con đối hữu hạn của M. Theo giả thiết, thì tồn tại một hạng tử trực tiếp K của M sao cho N chặn trên K. Dễ dàng kiểm tra được rằng M = N+X nếu và chỉ nếuM = K+X với mọi X ≤ M.
Điều ngược lại của Mệnh đề 3.2.4 nói chung không đúng và [17; Ví dụ 2.3] chứng minh điều đó.
Dưới đây là ví dụ về một môđun H- phụ đối hữu hạn không là H- phụ.
Ví dụ 3.2.5. ([17], Ví dụ 2.3; Ví dụ 2.4) Giả sử R là một vành địa phương giao hoán với ideal cực đại ( duy nhất) K và I, J là hai ideal của
R sao cho I ⊂J ⊆ K và KJ * I. Xét R- môđun M = R/Y ×R/J. Thế thì bởi [17, Mệnh đề 2.1], M là H- phụ. Tuy nhiên M không là môđun nâng. Vì M là hữu hạn sinh nên không phải mọi môđun con đối hữu hạn của M cũng chặn trên một hạng tử trực tiếp ( tức M không là nâng đối hữu hạn).
Bây giờ giả thiết thêm R không là vành hoàn chỉnh ( có nghĩa là, tồn tại R- môđun không có phủ xạ ảnh). Đặt M =R R(N). Thế thì Rad(M) không là môđun con nhỏ trong M theo [21, 43.9]. Do đó M không là môđun phụ bởi [21, 42.5], kéo theo [19, Hệ quả 2.23 và Mệnh đề 2.33], mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp. Do đó, M là H- phụ đối hữu hạn theo Mệnh đề 3.2.4.
Bây giờ ta xét chiều ngược lại của ”H- phụ đối hữu hạn =⇒ ⊕- phụ đối hữu hạn” và mệnh đề đảo của Mệnh đề 3.2.4. Chúng tôi trích dẫn một phần của kết quả [17; Mệnh đề 2.11].
Mệnh đề 3.2.6. (xem [17; Mệnh đề 2.11]) Giả sử M là một môđun π- xạ ảnh. Các điều kiện sau là tương đương:
(2) M là ⊕- phụ đối hữu hạn;
(3) Mọi môđun con đối hữu hạn của M đều chặn trên một hạng tử trực tiếp của M.
Chứng minh. (1) ⇒ (3)Giả sử N là một môđun con đối hữu hạn củaM. Bởi giả thiết, tồn tại các môđun conD và D0 củaM sao cho M = D⊕D0 và M = D + X nếu và chỉ nếu M = N +X với mọi X 6 M. Vậy nên D0 là phần phụ của N trong M. Ta có M là π- xạ ảnh. Thế thì có một môđun con N0 6 N sao cho M = N0+D0 theo [21, 41.14].
Bây giờ ta chứng minh N chặn trên N0. Gọi A là một môđun con của M với N0 6 A và M/N0 = N/N0 + A/N0. Thế thì M = N + A. Vì N = N0⊕(N∩D0), ta cóM = N0+(N∩D0)+A. Do đóM = (N∩D0)+A. Nhưng N ∩D0 D0 nên M = A. Điều này suy ra N/N0 M/N0.
(3) ⇒(1): Theo Mệnh đề 3.2.4.
(1) ⇒(2): Là rõ ràng.
(2) ⇒(1): GọiN là một môđun con đối hữu hạn củaM. Bởi giả thiết tồn tại những môđun con K1 và K2 của M sao cho M = K1⊕K2 = N +K1 và N ∩ K1 K1. Vì M là π- xạ ảnh nên tồn tại môđun con K3 ⊆ N sao cho M = K3 ⊕ K1 theo [21, 41.14]. Điều này suy ra, M = N + X nếu và chỉ nếu M = K3+X với mọi X 6 M. Vậy M là H- phụ đối hữu hạn.
Các kết quả tiếp theo xét hạng tử trực tiếp và môđun thương của môđun H- phụ đối hữu hạn với những điều kiện cho trước. Môđun M được gọi là có tính chất tổng hạng tử, viết tắt là SSP (Summand Sum Property) nếu tổng của hai hạng tử trực tiếp bất kỳ của M lại là một
hạng tử trực tiếp, và M gọi môđun phân phối nếu dàn các môđun con của M là một dàn phân phối.
Định lý 3.2.7. ([12]; Định lý 2.1)
(1) Giả sử M là môđun H- phụ đối hữu hạn và X là một môđun con của M. Nếu với mọi hạng tử trực tiếp K của M, (X + K)/X là một hạng tử trực tiếp của M/X thì M/X là H- phụ đối hữu hạn. (2) Giả sử M là một môđun H- phụ đối hữu hạn SSP. Thế thì mọi
hạng tử trực tiếp của M là một môđun H- phụ đối hữu hạn.
(3) Giả sử M là một môđun phân phối H- phụ đối hữu hạn. Thế thì
M/N là H- phụ đối hữu hạn với mọi môđun con N của M.
Chứng minh. (1). Mỗi môđun con đối hữu hạn của M/N có dạng T /N với T là một môđun con đối hữu hạn của M và N ⊆ T. Vì M là H- phụ đối hữu hạn nên tồn tại một hạng tử trực tiếp D của M sao cho M = T + Y nếu và chỉ nếu M = D + Y. Bởi giả thiết, (D + N)/N là một hạng tử trực tiếp của M/N. Do đó, M/N = T /N+L/N nếu và chỉ nếu M/N = (D +N)/N +L/X với mọi L/N ≤M/N.
(2). ChoN là một hạng tử trực tiếp củaM. XétM = N⊕N0 vớiN0 ≤M. Để chứng minh N là H- phụ đối hữu hạn ta cần chỉ ra rằng M/N0 là H- phụ đối hữu hạn. Giả sử rằng L là một hạng tử trực tiếp của M. Vì M có SSP, L+N là một hạng tử trực tiếp của M. Giả sử M = (L+N0)⊕K với K ≤ M. Thế thì M/N0 = (L+N0)/N0⊕(K+N0)/N0. Do đó, M/N0 là một môđun H- phụ đối hữu hạn bởi (1).
Bây giờ M/N = (D + N)/N + (D0 + N)/N với mỗi môđun con N của M. Chú ý rằng N = N + (D∩D0) = (N +D)∩(N +D0) theo tính chất phân phối của M. Bây giờ M/N = (D +N)/N ⊕(D0 +N)/N. Bởi (1) thì M/N là một môđun H- phụ đối hữu hạn.
Một môđun M được gọi là Duo nếu mọi môđun con N của M đều bất biến hoàn toàn, có nghĩa là f(N) ⊆N với mọi tự đồng cấu của M. Một kết quả đã biết là mọi môđun Duo đều có SSP. Bởi vậy, Định lý 3.2.7. (2) có ngay hệ quả sau:
Hệ quả 3.2.8. [12, Hệ quả 2.3] Giả sử M là một môđun Duo H- phụ đối hữu hạn. Thế thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là một môđun
H- phụ đối hữu hạn
Quay lại mối quan hệ giữa tính chất H- phụ đối hữu hạn và ⊕- phụ đối hữu hạn, ta có:
Mệnh đề 3.2.9. [12, Mệnh đề 2.4] Giả sử M là một môđun ⊕- phụ đối hữu hạn sao cho với mỗi sự phân tích M = M1 ⊕M2 thì M1 và M2 là xạ ảnh tương hỗ. Thế thì M là một môđun H- phụ đối hữu hạn.
Chứng minh. Lấy N là một môđun con đối hữu hạn của M. Vì M là một môđun ⊕- phụ đối hữu hạn nên N có một phần phụ là hạng tử trực tiếp M2 của M. Thế thì tồn tại một sự phân tích M = M1⊕M2 sao cho M = N +M2 và N ∩M2 M2 với các môđun con M1 và M2. Theo giả thiết, M1 là M2- xạ ảnh. Bởi [15, Bổ đề 4.47] ta nhận được M = A⊕M2 với môđun con A của M sao cho A ≤N. Thế thì N = A⊕(M2∩N).Giả sử X 6 M với M = N+X. Thế thì M = A+ (M2∩N) +X. VìM2∩N
là nhỏ trong M2 và cũng nhỏ trongM, M = A+X. Do đó, M = N+X nếu và chỉ nếu M = A + X. Vậy, M là một môđun H- phụ đối hữu hạn.
Nhận xét 3.2.10. Đối với môđun H- phụ được trình bày trong Chương 2, ta có các kết quả hoàn toàn tương tự với Hệ quả 3.2.8. và Mệnh đề 3.2.9. trên đây ( xem Nhận xét 3.1.13., mục 3.1)
Như đã nói, ta chưa biết hạng tử trực tiếp của một môđun H- phụ đối hữu hạn có là H- phụ đối hữu hạn hay không. Từ đó, người ta khảo sát các môđun M có mọi hạng tử trực tiếp là H- phụ đối hữu hạn và gọi là môđun H- phụ đối hữu hạn hoàn toàn (Completely H-cofinitely supplemented). Với khái niệm này, Hệ quả 3.2.8 khẳng định mọi môđun Duo H- phụ đối hữu hạn là H- phụ đối hữu hạn hoàn toàn.
Với tính chất Duo, ta xét tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun H- phụ đối hữu hạn.
Định lý 3.2.11. ([12]; Định lý 2.5) Giả sử M = M1⊕M2 là một môđun Duo. Nếu M1 và M2 là H- phụ đối hữu hạn thì M là H- phụ đối hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử M1 và M2 là môđun H- phụ đối hữu hạn. Lấy môđun con đối hữu hạn bất kỳLcủaM. Bởi [14],L = (L∩M1)⊕(L∩M2). Hiển nhiên L∩M1 và L∩M2 là môđun con đối hữu hạn của M1 và M2, tương ứng. Với mỗi i tồn tại một hạng tử trực tiếp Di của Mi sao cho Mi = Di + Yi khi và chỉ khi Mi = Ai + Yi với bất kì Yi ≤ Mi. Đặt D = D1 ⊕D2, và lấy X ≤ M. Thế thì X = X1 ⊕X2, Xi = X ∩ Mi bởi giả thiết Duo. Do đó M = A+X khi và chỉ khi Mi = Ai+Xi (i = 1,2)
nếu và chỉ nếu Mi = Di+Xi (i = 1,2) nếu và chỉ nếu M = D +X.
Từ Định lý 3.2.11., chúng tôi thu được hệ quả sau cho tổng hữu hạn.
Hệ quả 3.2.12. Giả sử M = ⊕n
i=1Mi là một môđun Duo. Nếu Mi là H- phụ đối hữu hạn với mọi i = 1, ..., n thì M là H- phụ đối hữu hạn.
Chứng minh. Trường hợp n = 2 đã được chứng minh trong Định lý 3.2.11. Ta chứng minh Hệ quả 3.2.12. cho n > 2 bằng quy nạp. Trước hết ta chứng minh rằng, hạng tử trực tiếp của một môđun Duo cũng là môđun Duo. Giả sử M = N ⊕L là một môđun Duo. Xét một tự đồng