6 H ∩( N+ K)+K ∩( N+ L) H +K
2.2 Môđun phụ yếu đối hữu hạn
Cho môđun M và N là một môđun con củaM.Môđun conL củaM là phần phụ của N trong M nếu N+L = M và N∩L L. Môđun con K của M là một phần phụ yếu của N trong M nếu và chỉ nếu N +K = M và N ∩K M. Môđun M được gọi là môđun phụ yếu nếu mọi môđun con N củaM có phần phụ yếu trong M. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về môđun phụ yếu đối hữu hạn- một dạng tổng quát hóa của môđun phụ yếu. Môđun phụ yếu đối hữu hạn được viết tắt là cws- môđun.
Định nghĩa 2.2.1. Môđun M được gọi là môđun phụ yếu đối hữu hạn
nếu mọi môđun con đối hữu hạn của M có phần phụ yếu trong M.
Nhận xét: Rõ ràng mọi môđun phụ đối hữu hạn là môđun phụ yếu đối hữu hạn. Cũng như vậy, mọi môđun phụ yếu là môđun phụ yếu đối hữu hạn. Điều ngược lại nói chung không đúng. Trong phần cuối mục này, chúng tôi sẽ dẫn ra ví dụ về một môđun phụ yếu đối hữu hạn mà nó không là môđun phụ đối hữu hạn và một môđun phụ yếu đối hữu hạn mà nó không là phụ yếu.
Bổ đề 2.2.2. ([2]; Bổ đề 2.1). Cho M là một môđun và U là một môđun con đối hữu hạn (môđun con cực đại) của M. Nếu V là một phần phụ yếu của U trong M thì U có một phần phụ yếu hữu hạn sinh (tương ứng, xiclic) được chứa trong V.
V /(V ∩U) ∼= M/U. Giả sử V /(V ∩U) được sinh bởi các phần tử
x1 +V ∩U, x2 +V ∩ U, ..., xn +V ∩U.
Thế thì đối với môđun con hữu hạn sinh W = Rx1 + Rx2 + ...+ Rxn của V, ta có
W + U = W +V ∩U + U = V +U = M
và (W ∩U) 6 (V ∩U) M. Do đó W là phần phụ yếu hữu hạn sinh của U chứa trong V.
Nếu U là cực đại thì V /V ∩ U là một môđun xiclic sinh bởi phần tử x+ (V ∩U) và W = Rx là một phần phụ yếu của U.
Bổ đề 2.2.3. ([2]; Bổ đề 2.4). Giả sử f : M −→ N là một đồng cấu môđun và L là một môđun con của M chứa Kerf. Nếu L là một phần phụ yếu trong M thì f(L) có một phần phụ yếu trong f(M).
Chứng minh. Nếu L là một phần phụ yếu của K trong M thì f(M) =
f(L+ K) = f(L) +f(K) và từ L ∩K M, ta có f(L ∩K) f(M)
theo [21; 19.3] cũng xem [1; Bổ đề 1.1]. Với Kerf ⊆ L, f(L)∩f(K) =
f(L∩K). Vì vậy f(L) là một phần phụ yếu của f(K) trong f(M).
Mệnh đề 2.2.4. ([2]; Mệnh đề 2.5) Ảnh đồng cấu của một môđun phụ yếu đối hữu hạn là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.
Chứng minh. Cho f : M −→ N là một đồng cấu và M là môđun phụ yếu đối hữu hạn. Giả sử rằng X là môđun con đối hữu hạn của f(M)
thế thì
Do đó M/f−1(X) là hữu hạn sinh. Từ M là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, f−1(X) là một phần phụ yếu trong M và theo Bổ đề 2.2.3 thì X = f(f−1(X)) là một phần phụ yếu trong f(M).
Tiếp theo chúng ta xét ảnh ngược của một môđun phụ yếu đối hữu hạn bởi một toàn cấu nhỏ. Nhắc lại, toàn cấu f : M −→ N với Kerf M được gọi là một toàn cấu nhỏ và khi đó, ta gọi M là phủ nhỏ của N.
Bổ đề 2.2.5. ([2]; Mệnh đề 2.7) Nếu K là một phần phụ yếu của N
trong môđun M và T M thì K cũng là một phần phụ yếu của N +T
trong M.
Chứng minh. Lấy f : M −→ (M/N) ⊕ (M/K) được định nghĩa bởi f(m) = (m+ N, m+K) và g : (M/N)⊕(M/K) −→ (M/((N +T))⊕
(M/K) được định nghĩa bởi g(m+N, m0+K) = (m+N +T, m0+K).
Thế thì f là toàn cấu vì M = N + K và Kerf = N ∩ K M vì
K là phần phụ yếu của N trong M. Vì vậy f là một toàn cấu nhỏ. Kerg = (N+T)/N ⊕0 và (N+T)/N = σ(T) M/N vì T M,trong đó σ : M → M/N là toàn cấu chính tắc. Do đó, g là một toàn cấu nhỏ. Theo 19.2 trong Wisbauer (1991), g ◦f là một toàn cấu nhỏ, nói cách khác (N +T)∩ K = Ker(g ◦f) M. Rõ ràng, (N + T) +K = M, vì vậy K là một phần phụ yếu của N + T trong M.
Bổ đề 2.2.6. ([2]; Bổ đề 2.8) Nếu f : M −→N là một toàn cấu nhỏ thì một môđun con L của M là một phần phụ yếu trong M nếu và chỉ nếu
f(L) là một phần phụ yếu trong N
2.2.5, L + Kerf cũng là một phần phụ yếu của K và bởi Bổ đề 2.2.3, f(L) = f(L +Kerf) là một phần phụ yếu trong N.
Giả sử f(L) là một phần phụ yếu của một môđun con T của N hay N = f(L) +T và f(L)∩T N. Nên M = L+f−1(T). Từ Hệ quả 9.1.5 trong Kasch (1982) đã chứng minh rằng nghịch ảnh của một môđun con nhỏ của N là nhỏ trong M. Do đó L ∩f−1(T) ≤ f−1(f(L) ∩ T) N. Vậy f−1(T) là một phần phụ yếu của L.
Nhắc lại, một môđun N được gọi là phủ nhỏ của một môđun M nếu tồn tại một toàn cấu nhỏ f : N −→ M hay Kerf N.
Mệnh đề 2.2.7. ([2]; Mệnh đề 2.9) Phủ nhỏ của một môđun phụ yếu đối hữu hạn là một môđun phụ yếu đối hữu hạn.
Chứng minh. Lấy N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, f : M → N là một toàn cấu nhỏ và L là một môđun con đối hữu hạn của M. Thế thì N/f(L) là ảnh toàn cấu của M/L dưới toàn cấu f : M/L −→ N/f(L)
được định nghĩa bởi f(m+K) = f(m) +f(L), do đó f(L) là một môđun con đối hữu hạn của N. Vì N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn, f(L)
là một phần phụ yếu. Bởi bổ đề 2.2.6, L cũng là một phần phụ yếu trong M
Nhận xét: Như đã biết, căn Rad(M) của R- môđun M là tổng của tất cả các môđun con nhỏ trong M nhưng nói chung, Rad(M) không là nhỏ trong M. Đối với vành R, lớp các R- môđun M có Rad(M) M đều có những tính chất đặc biệt và được quan tâm khảo sát, chẳng hạn lớp các môđun hữu hạn sinh, trong đó có các môđun địa phương. Từ
mệnh đề 2.2.7 trên đây, ta có ngay hệ quả là nếu Rad(M) M và môđun thương M/Rad(M) là phụ yếu đối hữu hạn thì M là phụ yếu đối hữu hạn.
Bổ đề 2.2.8. ([2]; bổ đề 2.11) Giả sử N và U là những môđun con của môđun M, trong đó N là một môđun phụ yếu đối hữu hạn còn U là đối hữu hạn. Nếu N + U có một phần phụ yếu trong M thì U cũng có một phần phụ yếu trong M.
Chứng minh. Giả sử X là một phần phụ yếu của N+U trong M. Ta có
N/[N ∩(X + U)] ∼= (N +X +U)/(X +U) =M/(X +U) ∼
= (M/U)/[(X + U)/U]
Môđun cuối là một môđun hữu hạn sinh, do đó N ∩ (X + U) có một phần phụ yếu Y trong N, nói cách khác Y + [N ∩ (X + U)] = N, Y ∩(X +U) N ≤ M. Bây giờ ta có
M = U +X +N = U +X +Y + [N ∩(X +U)] = U +X + Y
và
U ∩(X + Y) ≤[X ∩(Y +U)] + [Y + (X +U)]
≤[X ∩(N + U)] + [Y ∩(X +U)] M
Do đó X +Y là một phần phụ yếu của U trong M.
Mệnh đề 2.2.9. ([2]; Mệnh đề 2.12) Nếu môđun M là tổng của họ những môđun (con) phụ yếu đối hữu hạn thì M cũng là phụ yếu đối hữu hạn.
Chứng minh. Lấy M = P i∈I
Mi với mỗi môđun con Mi là phụ yếu đối hữu hạn và N là môđun con đối hữu hạn của M. Và M/N được sinh bởi tập
{x1+N, x2+N, ..., xk+N}, do đó M = Rx1 +Rx2 +...+Rxk+N. Vì mỗi xi được chứa trong tổng P
j∈Fi
Mj với mỗi tập con hữu hạn Fi của I, Rx1+Rx2+...+Rxk ≤ P
j∈F
Mj,j thuộc tập con hữu hạnF = {i1, i2, ..., ir}
của I. Và M = N + r P t=1 Mit. Vì M = Mir + (N + r−1 P t=1 Mit) có một phần phụ yếu tầm thường là 0 và Mir là một môđun phụ yếu đối hữu hạn nên
N +
r−1 P t=1
Mit có một phần phụ yếu trong M, theo Bổ đề 2.2.8. Tương tự
N +
r−2 P t=1
Mit có một phần phụ yếu trong M và tiếp tục quá trình trên, sau khi thực hiện r lần đến cuối cùng thì N có một phần phụ yếu trong M.
Ví dụ 2.2.10. ([2]; Ví dụ 2.14) Chop là một số nguyên tố. XétZ- môđun
M = L∞
i=1(ai) là tổng trực tiếp của các nhóm xiclic (ai) cấp pi. Vì mỗi (ai) là Z- môđun địa phương và do đó là phụ yếu đối hữu hạn nên M là môđun phụ yếu đối hữu hạn bởi Mệnh đề 2.2.9. Tuy nhiên, M không là môđun phụ yếu. LấyT = pM và giả sử rằng T có một phần phụ yếu trong
L, nói cách khác M = T +L và N = T ∩L M. Thế thì N E(M), trong đó E(M) là một bao nội xạ của M. Vì bao nội xạ E(N) của N là một hạng tử trực tiếp của E(M) nên N E(N). Từ Định lý 4 trong Leonard (1996) trong "Small modules, Pro. Amer. Math. Soc. 17(1), 527-531", ta có kết luận rằng N là bị chặn, có nghĩa là pnN = 0 với một số nguyên dương n. Thế thì vì pL ≤L∩pM = L∩T = N, ta có
Do đó pn+1an+2 = pn+1b với b ∈ T = pM. Vì b = pc với một c = (miai)∞i=1 ∈ M, ta có
06= pn+1an+2 = pn+1(pmn+2an+2) = mn+2pn+2an+2 = 0
Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng M không là môđun phụ yếu.
Kết quả tiếp theo cho các tính chất đặc trưng của môđun phụ yếu đối hữu hạn - một sự tương tự thú vị với Định lí 2.1.12 về môđun phụ đối hữu hạn.
Bổ đề 2.2.11. ([2]; Bổ đề 2.15) Cho U và K là những môđun con của môđun N sao cho K là một phần phụ yếu của một môđun con cực đại
M của N. Nếu K +U có một phần phụ yếu trong N thì U cũng có một phần phụ yếu trong N.
Chứng minh. Gọi X là một phần phụ yếu của K +U trong N. Ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1: K ∩(X +U) ⊆ K ∩M. Khi đó K ∩(X +U) N vì K ∩M N, kéo theo
U ∩(X + K) X ∩(K +U) +K ∩ (X +U) N.
Hiển nhiên N = (X +K) +U. Vì vậy X + K là phần phụ yếu của U trong N.
Trường hợp 2: Giả sử K ∩ (X + U) * K ∩ M. Vì K/(K ∩ M) ∼=
(K +M)/M = N/M là môđun đơn nên K ∩M là môđun con cực đại của K. Khi đó, U ∩X 6 (K +U)∩x N và
VìK∩(X+U) ⊂ X+U và K∩M N nên từ trên suy raN = X+U. Do đó, X là một phần phụ yếu của U.
Vậy trong cả hai trường hợp U có phần phụ yếu trong N.
Đối với một môđun M, gọi Γ là tập tất cả các môđun con K của M sao cho K là một phần phụ yếu của một môđun con cực đại nào đó của M. Kí hiệu tổng của các môđun con trong Γ là cws(M), tức là cws(M) = P
K∈Γ
K. Bây giờ ta có:
Định lý 2.2.12. ([2]; Định lí 2.16) Đối với một môđun N, các phát biểu sau là tương đương:
(1) N là môđun phụ yếu đối hữu hạn;
(2) Mọi môđun con cực đại của N có một phần phụ yếu trong N; (3) N/cws(N) không có môđun con cực đại.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Rõ ràng vì mọi môđun con cực đại đều là đối hữu hạn.
(2) ⇒ (3): Giả sử rằng có một môđun con cực đại M/cws(N) của N/cws(N). Thế thì M là một môđun con cực đại củaN. Bởi (2), có một phần phụ yếu K củaM trong N. Thế thìK ∈ Γ, nênK ≤ cws(N) ≤M. Do đó N = M + K = M. Mâu thuẫn với N/cws(N) không có môđun con cực đại.
(3) ⇒ (1) Lấy U là một môđun con đối hữu hạn của N. Thế thì U + cws(N) cũng là đối hữu hạn. Nếu N/[U + cws(N)] 6= 0, thì có một môđun con cực đại M/[U + cws(N)] của môđun hữu hạn sinh N/[U + cws(N)], điều này suy ra M là một môđun con cực đại của
N và M/cws(N) là một môđun con cực đại của N/cws(N) mâu thuẫn với (3). Vì vậy N = U + cws(N). Bây giờ ta xét N/U là hữu hạn sinh, được sinh bởi các phần tử x1 + U, x2 + U, ..., xm +U, do đó N =
U+Rx1+Rx2+...+Rxm. Mỗi biểu diễn xi (i = 1,2, ..., m) có thể viết là xi = ui+ci với ui ∈ U, ci ∈ cws(N). Vì mỗi ci được chứa trong tổng hữu hạn của các môđun con từ Γ, N = U+K1+K2+...+Kn với môđun con K1, K2, ..., Kn của N trong Γ. Ta có N = (U+K1+K2+...+Kn−1) +Kn có một phần phụ yếu là 0. Theo Bổ đề 2.2.11, U +K1 +K2+...+Kn−1 có một phần phụ yếu. Tiếp tục quá trình trên (áp dụng Bổ đề 2.2.11 n lần) ta tìm được U có một phần phụ yếu trong N.
Ví dụ dưới đây chỉ ra rằng một môđun phụ yếu đối hữu hạn mà nó không là phụ đối hữu hạn.
Ví dụ 2.2.13. ([2]; Ví dụ 2.17) Cho p, q là hai số nguyên tố khác nhau. Xét vành
R = Zp,q = {a
b | a, b ∈ Z, b 6= 0,(p, b) = (q, b) = 1}
Thế thì R- môđun trái RR là phụ yếu đối hữu hạn và cũng là phụ yếu bởi RR hữu hạn sinh, nhưng không là phụ đối hữu hạn (xem C. Lomp (1999), On semilocal module and rings, Comm. Algebra 27( 40, 1921-1935)).
Bây giờ ta xét một lớp môđun mà trên đó, tính chất phụ yếu đối hữu hạn và phụ đối hữu hạn là tương đương.
Bổ đề 2.2.14. ([2]; Bổ đề 2.18) Cho M là một R- môđun và U là một môđun con đối hữu hạn của M. Nếu U có một phần phụ yếu V trong M
và đối với mọi môđun con hữu hạn sinhK củaV, Rad(K) = K∩Rad(M) thì U có một phần phụ hữu hạn sinh trong M.
Chứng minh. V là một phần phụ yếu của U trong M, nói cách khác U + V = M và U ∩ V M. Vì M/U là hữu hạn sinh, theo bổ đề 2.2.2 , U có một phần phụ yếu hữu hạn sinh K ≤ V trong M, hay
M = U + K và U ∩ K M. Thế thì U ∩ K ≤ Rad(M). Do đó
U ∩ K ≤ K ∩ Rad(M) = Rad(K). Nhưng Rad(K) K do K là hữu hạn sinh, vì vậy U ∩K K. Do đó K là phần phụ của U trong M.
Định lý 2.2.15. ([2]; Định lý 2.19) Giả sử M là một R- môđun sao cho đối với mọi môđun con hữu hạn sinh K của M, Rad(K) =K∩Rad(M). Thế thì M là phụ yếu đối hữu hạn khi và chỉ khi M là phụ đối hữu hạn. Chứng minh. Cho U là một môđun con đối hữu hạn của M. Vì M là một môđun phụ yếu đối hữu hạn,U có một phần phụ yếu N trong M và theo Bổ đề 2.2.14 , U có một phần phụ. Do đó M là phụ đối hữu hạn.
Khép lại chương 2 là một định lí cho các tính chất đặc trưng của một môđun phụ yếu đối hữu hạn M với Rad(M) M.
Định lý 2.2.16. ([2]; Định lý 2.21) ChoM là một R- môđun vớiRad(M)
M. Các phát biểu sau là tương đương:
(1) M là một môđun phụ yếu đối hữu hạn;
(2) M/Rad(M) là một môđun phụ yếu đối hữu hạn;
(4) Mọi môđun con cực đại của M/Rad(M) là hạng tử trực tiếp;
(5) Mọi môđun con cực đại của M/Rad(M) là một phần phụ yếu;
(6) Mọi môđun con cực đại của M là một phần phụ yếu.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) bởi Bổ đề 2.1.5 mỗi hạng tử môđun của một môđun phụ yếu đối hữu hạn là môđun phụ yếu đối hữu hạn.
(2) ⇒ (3) Rõ ràng vì Rad(M/Rad(M)) = 0. (3) ⇒ (4) Môđun cực đại là đối hữu hạn. (4) ⇒ (5) Hiển nhiên.
(5) ⇒ (6) Theo Bổ đề 2.2.6
Chương 3