Định nghĩa 1.2.4 ([8]). Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D là một miền (tập mở, liên thông) trong E. Một hàm giá trị véctơ f: D Ñ F
được gọi là chỉnh hình Gâteaux nếu với mọi a P D, b P E và hàm ϕ P F1, đối ngẫu của F, thì hàm một biến phức
λ ÞÑ pϕ˝fqpa`λbq
chỉnh hình trên một lân cận của 0 P C.
Ta ký hiệu HGpD, Fq là không gian véctơ tất cả các hàm chỉnh hình Gâteaux trên D với giá trị trong F. Ta cũng ký hiệu HGpDq thay cho
HGpD,Cq trong trường hợp F “ C.
Mệnh đề 1.2.2 ([8]). Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D là miền trong E. Với mỗi x P D ta đặt
Bx :“ tz P E : x`λz P D,|λ| ď 1u.
Giả sử Fp là không gian đầy đủ hóa của F. Khi đó, nếu ánh xạ f: D Ñ F
thì f P HGpD, Fq khi và chỉ khi với mỗi x P D tồn tại duy nhất một dãy các đa thức thuần nhất pPn,x,fq8 n“0, Pn,x,f P PapnE;Fpq sao cho fpx`zq “ 8 ÿ n“0 Pn,x,fpzq
với mọi z P Bz. Với mỗi nP N và z P Bz Pn,x,fpzq “ 1 2πi ż |λ|“1 fpx`λzq λn`1 dλ.
Tiếp theo ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.5 ([8]). Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D là một miền trong E. Một hàm giá trị véctơ f: D Ñ F được gọi là chỉnh hình
nếu nó chỉnh hình Gâteaux và liên tục.
Định nghĩa 1.2.6 ([8]). Cho E, F là các không gian lồi địa phương và U
là tập con mở của E. Tôpô mở compact τ0 trên không gian các hàm chỉnh hình HpU, Fq là tôpô lồi địa phương sinh bởi các nửa chuẩn
pα,KpFq :“ }f}α,K “ sup
xPK
trong đó K chạy trên các tập con compact của U và α chạy trên tập các nửa chuẩn liên tục trên F.
Ta ký hiệu HpD, Fq là không gian véctơ tất cả các hàm chỉnh hình trên
D với giá trị trong F. Ta cũng ký hiệu HpDq thay cho HpD,Cq. Ngoài ra, ta còn ký hiệu HbpE, Fq là không gian tất cả các hàm chỉnh hình từ E vào
F bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E và ký hiệu HubpEq là tập các hàm chỉnh hình bị chặn trên rU với U là lân cận nào đó của 0, với mọi r ą 0. Chú ý rằng HubpEq Ď HbpEq.
Không gian HpE, Fq trang bị tôpô mở compact τ0.
Mệnh đề 1.2.3 ([8]). Nếu U là một tập con mở của không gian lồi địa phương E và F là một không gian định chuẩn thì f P HpU, Fq là chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó bị chặn địa phương.
1.2.3 Tập đa cực
Định nghĩa 1.2.7. Cho D là tập con mở của không gian lồi địa phương E. Tập B Ă D được gọi là đa cực trong D nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên D sao cho ϕ ‰ ´8 trên bất kỳ thành phần liên thông nào của
D và ϕ|B “ ´8.
Ta nhận xét rằng hợp hữu hạn các tập đa cực là một tập đa cực. Hơn nữa, trong Cn, hợp đếm được các tập đa cực là một tập đa cực. Tuy nhiên, điều này không đúng trong trường hợp không gian Fréchet vô hạn chiều. Năm 1968, Lelong đã chứng minh trong không gian HpCnq thì mọi tập bị chặn đều đa cực.
Trong trường hợp không gian hữu hạn chiều, tập E được gọi làđa cực toàn cục nếu tồn tại ϕ P P SHpCnq, ϕ ‰ ´8 sao cho E Ă tz P Cn : ϕpzq “ 8u. Năm 1978, Josefson đã chỉ ra rằng khái niệm tập đa cực và tập đa cực toàn cục là trùng nhau trên Cn.
Định nghĩa 1.2.8 ([1]). Giả sử pE, Fq là một cặp đối ngẫu và A Ă E. Tập đa cực của A trong F xác định bởi
A˝ “ tu P F: sup
xPA
Định lý 1.2.1 ([1], Định lý song polar). Giả sử pE, Fq là cặp đối ngẫu và
M Ă E là tập lồi, cân. Khi đó M˝˝
“ clξM (tức là bao đóng của M theo tôpô ξ) với mọi tôpô ξ của cặp đối ngẫu. Ở đây M˝˝
“ pM˝
Fq˝E.
Định nghĩa 1.2.9. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương E. Một hàm nửa liên tục dưới ϕ : D ÝÑ r´8,`8q được gọi là hàm đa điều hòa nếu ϕ là hàm điều hòa trên mọi tiết diện một chiều của D.
Định nghĩa 1.2.10. Một tập B Ă E được gọi là tập đa cực trong D nếu tồn tại hàm ϕP P SHpDq sao cho ϕ ‰ ´8 và ϕ|B “ ´8.
Ta nói B là tập không đa cực nếu B không là tập đa cực.
Định nghĩa 1.2.11. Một tập con X của một miền D trong không gian lồi địa phương E là tập đa cực địa phương tại a P X nếu với mỗi lân cận U của
a trong D, X XU là tập con đa cực của U.
Nếu X là tập con đa cực của D thì X là tập đa cực địa phương tại mỗi điểm thuộc X.
Đặc biệt, nếu X Ă D chứa một điểm a và X không là đa cực địa phương tại a thì X không là một tập con đa cực của D.
Bởi Josefson, định lý đảo là đúng cho miền trong Cn, n P N. Kết quả này chưa chắc đúng trong các không gian lồi địa phương vô hạn chiều.
Sau đây là một số tính chất của tập không đa cực trong không gian lồi địa phương.
Bổ đề 1.2.1. Nếu B là một tập con không đa cực của một không gian Fréchet
E thì bao tuyến tính EB của B là một không gian con trù mật của E. Chứng minh. Nếu không gian con EB không bằng không gianE thì bởi Định lý Hahn-Banach, tồn tại ϕ P E1, ϕ ‰ 0 sao cho ϕpEBq “ 0. Khi đó hàm
v :“ log|ϕ|, v ‰ 0 là hàm đa điều hòa và B Ă EB Ă tz : vpzq “ ´8u. Điều này mâu thuẫn với giả thiết B là tập không đa cực.
Ví dụ 1.2.1. Cho X :“ ś8j“1Xj Ă ω với Xj Ă C, j P N. Khi đó, X là tập không đa cực nếu và chỉ nếu Xj là tập không đa cực với mọi j P N.
Chương 2
KHÔNG GIAN ZORN
2.1 Không gian Zorn
Định lý 2.1.1. Cho E và F là hai không gian lồi địa phương, U là tập con mở liên thông của E và f : U Ă E Ñ F là một hàm G-giải tích. Khi đó
f liên tục trên cả tập mở và đóng trong U nếu không gian E thỏa mãn các điều kiện sâu đây:
(a) E là không gian metric hóa và đầy đủ;
(b) E là không gian Baire;
(c) E là không gian đối ngẫu của không gian Fréchet-Schwartz (E P DF S);
(d) E là không gian tích metric hóa đầy đủ;
(e) E là không gian tích của DF S.
Chú ý: Các điều kiện c), d) và e) là hệ quả của a) và b) vì những lí do sau đây:
(1) Không gian DF S có thể được coi là một giới hạn quy nạp nghiêm ngặt của không gian Banach Bn bởi các thác triển compact. Chúng ta có thể thấy rằng, tập con U của E (tương ứng hàm f : f : U Ă E Ñ F) là tập mở (tương ứng liên tục) khi và chỉ khi với mọi n, U X Bn là tập mở trong Bn
(tương ứng hàm f|Bn :U XBn Ñ F là liên tục).
(2) Hơn nữa, nếu E là không gian tích thì E “ śEi, nghĩa là E được phân tích thành tích hữu hạn các Ei. Thật vậy, nếu f liên tục tại x, nó sẽ
bị chặn trong lân cận của x dưới dạng UJ ˆśiRJ Ei với tập J hữu hạn, vì thế bởi Định lý Liouville, Uj mở trong śiPJ Ei trên xJ ` śiRJ Ei với mọi
xJ P UJ Ă śJ Ei.. Trên thực tế, lợi ích của Bổ đề Zorn trong không gian liên qian đến tập mở U và một hàm giải tích f trên U, nếu chúng ta có thể tìm thấy một tập mở V thỏa V XU ‰ ∅, V Ę U và một hàm G-giải tích g
trên V sao cho g|UXV “ f thì nó liên tục, vì thế, nó là thác triển của g trên
V.
2.2 Bất biến tôpô tuyến tính Ωr
Định nghĩa 2.2.1 ([2]). Cho E là không gian Fréchet với tôpô xác định bởi họ tăng các nửa chuẩn t}.}kukPN. Ta nói E có tính chất
pΩrq : nếu @p,Dq, dą 0,@k,DC ą 0 sao cho
}.}˚1`d q ď C}.}˚ k}.}˚d p ; pLB8 q : nếu @dn Ò 8,Dp,@q,Dkq ě q, Cq ą 0,@x P E,Dm : q ď m ď kq sao cho }x}1`dm q ď Cq}x}m}x}dm p .
Cho B là tập con lồi tuyệt đối, bị chặn, đóng trong E. Ta nói E có tính chất
pΩrBq nếu
@p,Dq, d, C ą 0 sao cho }.}q˚1`d ď C}.}˚B}.}˚pd.
Khi E có tính chất pΩrq (tương ứng pΩrBq) ta viết E P pΩrq (tương ứng
E P pΩrBq). Dễ thấy các tính chất này được kế thừa qua không gian con. Chú ý Dineen, Meise và Vogt đã chứng minh rằng E P pΩrq nếu và chỉ nếu tồn tại
B P KpEq sao cho E P pΩrBq.
Ví dụ 2.2.1. Cho α “ pαjqjPN là một dãy đơn điệu tăng trên r0;`8q và
limjÑ8αj “ `8 và r P RY t`8u. Ta định nghĩa
Λrpαq :“ tx P Cn :|x|2t “ ÿ jPN |xj|2e2tαj ă `8, @t ă ru. Khi đó
(ii) Không gian Λ8pαq R pΩrBq.
Mối liên hệ giữa các tập đa cực và bất biến tôpô tuyến tính Ωr.
Bổ đề 2.2.1 ([2]). Cho B là tập compact lồi, cân trong không gian Fréchet hạch E có tính chất xấp xỉ bị chặn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) E P pΩrBq;
(ii) rHpBqs1 P pLB8 q;
(iii) B không đa cực.
Chú ý rằng, nếu bỏ qua tính "xấp xỉ bị chặn" của không gian E thì ta có mối quan hệ piiiq ñ piq ñ piiq, đồng thời nếu E là một không gian Fréchet-Schwartz thì ta có piiiq ñ piq.
Bổ đề 2.2.2. Cho B là một tập con compact của không gian Fréchet E sao cho rHpBqs1 P pLB8
q. Khi đó B là tập compact duy nhất, nghĩa là với mọi
f P HpBq, f|B “ 0 thì f “ 0.
2.3 Không gian con Zorn trù mật
2.3.1 Thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật
Ví dụ 2.3.1. Cho E là không gian hạt Fréchet với tôpô τE và E P pΩrBq với
B P KpEq. Khi đó pEB, τEq có tính chất Zorn và
HubpEB, τEq “ HbpEB, τEq “ HpEB, τEq.
Chúng ta sẽ xem xét tính chất Zorn trong trường hợp E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối. Đầu tiên, chúng ta thảo luận về thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật của không gian Fréchet. Bổ đề 2.3.1. Cho E0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet
E. Khi đó với mọi dãy bị chặn txnuně1 Ă E tồn tại một dãy bị chặn
Chứng minh. Giả sử p} ¨ }pqpě1 là một họ tăng các nửa chuẩn xác định tôpô trên E. Do tính trù mật của D0 trong D nên với mỗi n, p (1 ď n ď p), tồn tại xpn P D0 sao cho }xpn´xn}p ă 1p. Suy rapxpnqpěn hội tụ đến xn khip Ñ 8.
Tiếp theo, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng pxpnqpěn bị chặn. Thật vậy, với k ě 1, ta có sup 1ďnďp }xpn}k ď sup 1ďnďp }xpn´xn}k `sup n }xn}k ď sup 1ďnďpďk }xpn´xn}k ` sup 1ďnďp pąk }xpn ´xn}k `sup n }xn}k ă 8.
Bổ đề được chứng minh xong.
Định lý 2.3.1. ChoE0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet
E. Khi đó
HbpE0q “ HbpEq.
Chứng minh. Đặt B “ tB Ă E : tồn tại tập con bị chặn B0 Ă E0 với B Ă B0u. Lấy f P HbpE0q và viết fpzq “ 8 ÿ n“0 Pnfpzq.
Vì f bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E0 nên chuỗi 8
ÿ
n“0
Pnfpzq
hội tự đều trên mọi tập bị chặn trong E0. Khi đó chuỗi đa thức n-đồng nhất suy rộng 8 ÿ n“0 y Pnf
hội tụ đều trên tất cả các tập trong B.
Bởi Bổ đề 2.3.1, txn : n P Nu P B với bất kỳ dãy bị chặn txnu trong E. Do đó fplà liên tục và bị chặn trên tất cả các tập bị chặn trên E. Nói cách khác, tồn tại một dãy bị chặn txnuně1 Ă E sao cho
sup
ně1
|fppxnq| “ `8.
Bởi Bổ đề 2.3.1, tồn tại một dãy bị chặn tynuně1 Ă E0 sao cho txn : n ě
1u Ă tyn : n ě 1u. Khi đó fp không bị chặn trên tyn : n ě 1u, điều này là không thể xảy ra.
Cuối cùng, ta dễ dàng thấy rằng ta`zb : |z| ď Ru P B với mọi a, b P E
và R ą 0. Do đó fplà chỉnh hình Gâteaux. Định lý được chứng minh.
Trong định lý ta giả sử rằng không gian E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở tuyệt đối pejqjě1. Trong trường hợp, hàm tọa độ e˚
j : E Ñ C tạo thành cơ sở đối ngẫu của E1, không gian đối ngẫu mạnh của E. Với mỗi
x P E có một khai triển x “ řjě1e˚
jpxqej và E chứa một hệ nửa chuẩn cơ bản p}.}qně1 có dạng › › ÿ jě1 e˚jpxqej›› n “ ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n.
Đặc biệt, với mọi j và n thỏa }ej}n ‰ 0, ta có }e˚j}˚n “ supt|en˚pxq| : }x}n ď 1u “ supt|e˚npxq| : ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n ď 1u (2.3.1) “ 1 }ej}n.
2.3.2 Không gian con Zorn trù mật và thác triển chỉnh hình
Bổ đề 2.3.2 ([14]). Cho E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở tuyệt đối. Khi đó các điều sau là tương đương:
(i) Tồn tại một tập B compact trong E sao cho rHpBqs˚
β có tính chất
pLB8 q.
(ii) Tồn tại một tập B compact trong E là không đa cực.
(iii) E có tính chất Ωr.
Chứng minh. Xem [14], Định lý 3.1, trang 243-246.
Định lý 2.3.2. Cho E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối và tôpô τE sao cho E P pΩrBq với B P KpEq. Khi đó tồn tại tập không đa cực K P KpEq sao cho pEK, τEq có tính chất Zorn. Hơn nữa,
HpEK, τEq “ HubpEq.
Chứng minh. Lấy }.}γqγě1 là một hệ nửa chuẩn cơ bản tăng của E và lấy pejqjě1 là một cơ sở Schauder tuyệt đối của E.
Vì E P pΩrBq nên ta có
@α,Dβ ě α, dą 0, C ą 0 sao cho
}.}˚β1`d ď C}.}˚B}.}˚αd. (2.3.2) Bởi sự tương đương của (ii) và (iii) trong Bổ đề 2.3.2 , ta thấy rằng B là tập không đa cực.
Vì pejqjě1 là một cơ sở Schauder tuyệt đối của E, nên với mọi chuẩn liên tục p trên E, chuỗi
ÿ
jě1
|xe˚j, xy|ppejq
hội tụ với mọi x P E. Điều này có nghĩa là dãy tppejqe˚
jujě1 là σpE, E1 q- hội tụ đến 0 trong E1. Khi đó, vì E là Fréchet-Montel nên dãy tppejqc˚
jujě1 là βpE1, Eq-hội tụ đến 0 trong E1 với mọi chuẩn liên tục p trên E. Do đó }e˚ j}˚Bej Ñ 0P E. Đặt A “ acx ˆ B Yjě1 }e˚ j}˚Bcj ˙ .
Rõ ràng A là tập con lồi, cân, compact, không đa cực của E. Vì }x}A “
inft|λ| : x P λAu và }e˚
j}B.ej P A nên }e˚
j}˚B}ej}A “ }}e˚
Chọn K là một tập con lồi, cân, compact của E chứa A sao cho ánh xạ chính tắc j : pEA,}.}Aq Ñ pEK,}.}Kq là compact. Vì A là tập không đa cực nên K cũng là tập không đa cực. Lấy f là hàm chỉnh hình Gâteaux trên pEK, τEq sao cho f chỉnh hình tại 0 P pEK, τEq. Vì ánh xạ đồng nhất
i : pEK,}.}Kq Ñ pEK, τEq là liên tục nên f ˝i hàm chỉnh hình Gâteaux trên