2 KHÔNG GIAN ZORN
2.3.1 Thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật
Ví dụ 2.3.1. Cho E là không gian hạt Fréchet với tôpô τE và E P pΩrBq với
B P KpEq. Khi đó pEB, τEq có tính chất Zorn và
HubpEB, τEq “ HbpEB, τEq “ HpEB, τEq.
Chúng ta sẽ xem xét tính chất Zorn trong trường hợp E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở Schauder tuyệt đối. Đầu tiên, chúng ta thảo luận về thác triển chỉnh hình từ không gian con trù mật của không gian Fréchet. Bổ đề 2.3.1. Cho E0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet
E. Khi đó với mọi dãy bị chặn txnuně1 Ă E tồn tại một dãy bị chặn
Chứng minh. Giả sử p} ¨ }pqpě1 là một họ tăng các nửa chuẩn xác định tôpô trên E. Do tính trù mật của D0 trong D nên với mỗi n, p (1 ď n ď p), tồn tại xpn P D0 sao cho }xpn´xn}p ă 1p. Suy rapxpnqpěn hội tụ đến xn khip Ñ 8.
Tiếp theo, chúng ta chỉ cần chứng minh rằng pxpnqpěn bị chặn. Thật vậy, với k ě 1, ta có sup 1ďnďp }xpn}k ď sup 1ďnďp }xpn´xn}k `sup n }xn}k ď sup 1ďnďpďk }xpn´xn}k ` sup 1ďnďp pąk }xpn ´xn}k `sup n }xn}k ă 8.
Bổ đề được chứng minh xong.
Định lý 2.3.1. ChoE0 là một không gian con trù mật của không gian Fréchet
E. Khi đó
HbpE0q “ HbpEq.
Chứng minh. Đặt B “ tB Ă E : tồn tại tập con bị chặn B0 Ă E0 với B Ă B0u. Lấy f P HbpE0q và viết fpzq “ 8 ÿ n“0 Pnfpzq.
Vì f bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E0 nên chuỗi 8
ÿ
n“0
Pnfpzq
hội tự đều trên mọi tập bị chặn trong E0. Khi đó chuỗi đa thức n-đồng nhất suy rộng 8 ÿ n“0 y Pnf
hội tụ đều trên tất cả các tập trong B.
Bởi Bổ đề 2.3.1, txn : n P Nu P B với bất kỳ dãy bị chặn txnu trong E. Do đó fplà liên tục và bị chặn trên tất cả các tập bị chặn trên E. Nói cách khác, tồn tại một dãy bị chặn txnuně1 Ă E sao cho
sup
ně1
|fppxnq| “ `8.
Bởi Bổ đề 2.3.1, tồn tại một dãy bị chặn tynuně1 Ă E0 sao cho txn : n ě
1u Ă tyn : n ě 1u. Khi đó fp không bị chặn trên tyn : n ě 1u, điều này là không thể xảy ra.
Cuối cùng, ta dễ dàng thấy rằng ta`zb : |z| ď Ru P B với mọi a, b P E
và R ą 0. Do đó fplà chỉnh hình Gâteaux. Định lý được chứng minh.
Trong định lý ta giả sử rằng không gian E là không gian Fréchet-Schwartz với cơ sở tuyệt đối pejqjě1. Trong trường hợp, hàm tọa độ e˚
j : E Ñ C tạo thành cơ sở đối ngẫu của E1, không gian đối ngẫu mạnh của E. Với mỗi
x P E có một khai triển x “ řjě1e˚
jpxqej và E chứa một hệ nửa chuẩn cơ bản p}.}qně1 có dạng › › ÿ jě1 e˚jpxqej›› n “ ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n.
Đặc biệt, với mọi j và n thỏa }ej}n ‰ 0, ta có }e˚j}˚n “ supt|en˚pxq| : }x}n ď 1u “ supt|e˚npxq| : ÿ jě1 |e˚jpxq|}ej}n ď 1u (2.3.1) “ 1 }ej}n.