2 ϕ 1+cosθ + sin ϕ 1−cosθ
2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử dương qua trung bình toán tử
trung bình toán tử
Trong phần này chúng tôi xét các hàm liên tục dương trên (0,+∞) và đặc trưng cho tính đơn điệu toán tử của chúng qua các trung bình toán tử.
Định lý 2.3.1 ([2, Theorem 3.1]). Cho f là một hàm liên tục, dương trên
(0,∞). Khi đó các điều kiện sau từ (a5)-(a13) tương đương với các điều kiện (a1)-(a4) của Định lý 2.2.1:
(a5) f(A) f(AOB) f(AOB) f(B) 6= 0 với mọi A, B ∈ B(H)++;
(a6) f(AOB)f(B)−1f(AOB)≤f(A) với mọi A, B ∈ B(H)++;
(a7) f(AOB)≤ 1 2
λf(A) +λ−1f(B) với mọi A, B ∈ B(H)++;
(a8) A∈ B(H)++7→loghξ, f(A)ξi là lồi với mọi ξ ∈ H;
(a9) (A, ξ)7→ hξ, f(A)ξi là cùng lồi với A∈ B(H)++ và ξ∈ H;
(a10) f là lồi toán tử và hàm số logf là lồi;
(a11) f và logf là các hàm lồi toán tử;
(a12) f là lồi toán tử và hàm số f không tăng;
(a13) f có biểu diễn
f(x) =α+
Z
[0,∞)
(λ+ 1)
λ+x dµ(λ), (2.19)
trong đó α≥0 và µ là một độ đo dương hữu hạn trên [0,∞).
Để chứng minh định lý này chúng tôi cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.3.2 ([2, Lemma 3.2]). Gọi ϕ(x) là hàm liên tục không giảm trên
(0,∞) sao cho ϕ(0) = 0 và ϕ(1) = 1. Khi đó (A, ξ) 7→ hξ, f(A)ξi với A ∈ B(H)++ và ξ∈ B(H) không đồng thời là hàm lồi.
Chứng minh. Trước tiên, tổng song song của các ma trận có biểu diễn sau:
hξ,(A:B)ξi=inf{hξ1, Aξ1i+hξ2, Bξ2i:ξ =ξ1+ξ2, ξ1, ξ2 ∈ H} (2.20) với bất kỳ A, B ∈ B(H)++ và ξ ∈ H. Giả sử phản chứng phiếm hàm trong bổ đề là lồi. Ta sẽ chứng tỏ rằng
ϕ(AOB)≤ϕ(A)!ϕ(B), A, B∈ B(H)++. (2.21) Với mỗi phân tích ξ=ξ1+ξ2 của ξ∈ H, ta có
hξ, ϕ(AOB)ξi= 4 ξ1+ξ2 2 , ϕ A+B 2 ξ1+ξ2 2 ≤2{hξ1, ϕ(A)ξ1i+hξ2, ϕ(B)ξ2i}. Suy ra từ (2.20) hξ, ϕ(AOB)ξi ≤ hξ,(ϕ(A)!ϕ(B))ξi.
Do đó ta nhận được (2.21), điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.2.2.
Sau đây chúng tôi trình bày một phép chứng minh cho Định lý 2.3.1.
Chứng minh Định lý 2.3.1. (a5) ⇔ (a6) là các kết quả đã biết (xem [1, Theorem I.1]). (a5)⇒ (a13) suy ra từ đặc trưng sau của trung bình hình học: X#Y = max Z ∈ B(H)+ : X Z Z Y ≥0 với X, Y ∈ B(H)+.
Các liên hệ (a3) ⇒ (a7) ⇒ (a8) đã được trình bày trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.7.
Ta chứng minh (a8) ⇒ (a10). Tính lồi toán tử của f được suy ra ngay vì f là lồi toán tử nếu (và chỉ nếu) A ∈ B(H)++7→hξ, f(A)ξi là lồi với mỗi
ξ ∈ H. Tính lồi của hàm logf cũng là hiển nhiên bằng cách chọn A = aI
trong (a8).
Tiếp theo ta chứng minh (a10) ⇒ (a1). Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp tương tự như chứng minh ba bước của (a4) ⇒
(a1) trong Định lý 2.2.1. Xét f(ε+x) với mỗi ε > 0, ta có thể giả sử rằng
f nhận biểu diễn (2.7). Đối với bước 1, giả sử rằng γ > 0; khi đó ta có limc→∞f(cx)/f(c) = x2 với mọi x >0. Vì theo giả thiết, logf(cx) là lồi, hàm giới hạn 2logx cũng lồi, điều này là vô lý. Do đó, γ = 0.
Đối với bước 2, giả sử rằng R
(0,∞)
(λ+ 1)dµ(λ) = +∞. Có thể chọn một dãy số dương {cn} % ∞ sao cho giới hạn κ(x) trong (2.11), ρ(c, x) trong (2.9) là tồn tại với mọi số hữu tỉ x >0. Từ (2.10) và (2.8) ta có 1≤κ(x)≤x với mọi số hữu tỉ x≤1 và ϕ(x) := xκ(x) =limn→∞f(cnx)/f(cn) với mọi số hữu tỉ x >0. Vì logf(cnx) là lồi trên (0,∞), dẫn đến logϕ(x) là lồi trên tập hợp các số hữu tỉ x≥ 1. Do đó ϕ có thể được thác triển được thành một hàm liên tục trên [1,∞) sao cho ψ(x) :=logϕ(x) là lồi trên [1,∞) và
logx≥ψ(x)≥2logx, x≥1. (2.22) Với a≥1 bất kỳ, do tính lồi của ψ ta có
ψ(a) a ≤ lim x→∞ ψ(x) x ≤2 lim x→∞ logx x = 0.
Do đó, ψ(a) = 0 với mọi a≥1, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức đầu tiên trong (3.4). Do đó R
[0,∞)
(λ+ 1)dµ(λ)<+∞.
Bước 3 Ở đây giống như trong chứng minh (a4) ⇒ (a1) của Định lý 2.2.1 bằng cách xét hàm giới hạn logx của logf((cx)/f(c)) khi c→ ∞.
Ta tiếp tục chứng minh (a1) ⇒ (a13). Vì (a1) tương đương với f(c−1)
là đơn điệu toán tử, ta có biểu diễn
f(x−1) = α+βx+
Z
(0,∞)
(λ+ 1)x
λ+x dν(λ), (2.23) trong đó α, β ≥ 0 và ν là độ đo dương hữu hạn trên (0,∞). Bằng cách xét
dµλ :=dν(λ−1) trên (0,∞) và mở rộng nó thành một độ đo trên [0,∞) với
µ({0}) = β trên (0,∞), biểu diễn (2.23) trở thành (2.19).
Bây giờ ta chứng minh (a13) ⇒ (a5). Ta chỉ cần chứng tỏ rằng các hàm thành phần f1(x) := α, f2(x) := 1/x và f3(x) := 1/(λ+x) với λ > 0 trong
biểu thức (2.19) thỏa mãn bất đẳng thức trong (a6). Đối với f1 là tầm thường. Đối với f2 ta phải chỉ ra rằng
A+B 2 −1 B A+B 2 −1 ≤A−1,
hoặc tương đương
A+B 2 B−1 A+B 2 ≥A. (2.24) Với C := B−1/2AB−1/2, (2.24) tiếp tục đưa đến 14(C + I)2 ≥ C, rõ ràng thỏa mãn. Khẳng định cho f3 suy ra từ kết quả cho f2 bằng cách thay
A+λI và B +λI tương ứng cho A và B.
Bây giờ ta chứng minh rằng các điều kiện (a9), (a11) và (a12) tương đương với (a1).
(a1) ⇔ (a11). Vì (a1) suy ra 1/f là đơn điệu toán tử và do logx là đơn điệu toán tử trên (0,∞) ngay lập tức thấy rằng log1/f =−logf là đơn điệu toán tử. Điều này dẫn tới -logf là lõm toán tử, hay logf là lồi toán tử. Chiều ngược lại, (a11) ⇒ (a1) là tầm thường.
(a1)⇔(a9). Quan hệ (a13)⇔(a9) đã được chỉ ra trong [7, Remark 4.6]. Chứng minh của (a9) ⇒ (a1) có thể được thực hiện tương tự như (a4) ⇒
(a1) của Định lý 2.2.1 bằng cách chia thành ba bước. Đầu tiên, từ chứng minh của (a8) ⇒ (a10), ta có thể giả sử rằng f nhận phân tích (2.7). Sau đó, đối với các Bước 1 và 3, ta chỉ cần chú ý các hàm x2 và x không thỏa mãn (a9) như các trường hợp của Bổ đề 2.3.2. Đối với Bước 2, giả sử rằng
R
(0,∞)
(λ+ 1)dµ(λ) = +∞; khi đó, như trong chứng minh của (a4) ⇒ (a1), tồn tại một dãy cn % ∞ sao cho ϕ(x) := limn→∞f(cnx)/f(cn)tồn tại với mọi số đại sốx >0, vàϕcó thể mở rộng được thành hàm liên tục không giảm trên
[0,∞)với ϕ(0) = 0 và ϕ(1) = 1. Hơn nữa, vì f(cnx)thỏa mãn (a9) cũng như trong chứng minh (a4) ⇒(a1) dẫn đến rằngϕ thỏa mãn (a9) cũng như khi A hạn chế lên các ma trận xác định dương cấp 2. Điều này mâu thuẫn với Bổ đề 2.3.2, cho thấy rằng R
(0,∞)
(a1)⇔(a12). Ta có ngay liên hệ (a1)⇒(a12) vì (a1) suy ra tính lồi toán tử của f. Phần ngược lại có thể được chứng minh tương tự như (a10) ⇒
(a1); chỉ sử dụng tính không tăng của f(cx) thay cho tính lồi của logf(cx). Thật vậy, đối với Bước 2, nếu ta giả sử rằng R
(0,∞)
(λ+ 1)dµ(λ) = +∞, thì hàm ϕ(x) được định nghĩa và mở rộng như trên là không tăng bởi giả thiết (a12) cũng như không giảm với ϕ(x)≥1 với x≥1 (theo định nghĩa củaϕ). Điều này là mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.
Chú ý 2.3.3. (1) Liên hệ (a3)⇒ (a11) nói rằng
f(AOB)≤f(A)#f(B), A, B ∈B(H++)
suy ra
logf(AOB)≤ {logf(A)}O{logf(B)}, A, B ∈ B(H++),
nghĩa là, tính lồi lôgarit toán tử của f suy ra rằng logf là lồi toán tử. (2) Định lý 2.3.1 suy ra rằng: Một hàm liên tục f trên(0,+∞)thỏa (a9) nếu và chỉ nếu f không âm và đơn điệu giảm toán tử, hay tương đương, f
có biểu diễn như trong (a13).
(3) Một hàmf đơn điệu (không nhất thiết dương) trên(0,∞)là đơn điệu giảm toán tử nếu và chỉ nếu nó là lồi toán tử vàf(∞) := limx→∞f(x)<+∞. Điều này suy ra rằng (a1)⇔(a12), vì tính không tăng của hàm lồi f trên
(0,∞) tương đương với f(∞)<+∞.
Định lý sau đặc trưng cho tính lõm toán tử của một hàm dương, liên tục trên (0,+∞).
Định lý 2.3.4 ([2, Theorem 3.7]). Cho f là một hàm dương, liên tục trên
(0,∞). Khi đó mỗi điều kiện từ (b5)-(b10) tương đương với các điều kiện
(b1)-(b4) của Định lý 2.2.3. (b5) f(A) f(A!B) f(A!B) f(B) ≥0 với mọi A, B ∈ B(H)++; (b6) f(AOB)f(B)−1f(AOB)≥f(A) với mọi A, B ∈ B(H)++;
(b7) f(A!B)≤ 12λf(A) +λ−1f(B) với mọi A, B ∈ B(H)++ và mọi λ > 0;
(b8) A∈ B(H)++7→loghξ, f(A)ξi là lõm với mỗi ξ∈ H;
(b9) f là lõm toán tử; (b10) f nhận phân tích f(x) =α+βx+ Z (0,∞) (λ+ 1)x λ+x dµ(λ),
trong đó α, β ≥0 và µ là độ đo dương hữu hạn trên (0,∞).
Chứng minh. Do f thỏa mãn (b1) khi và chỉ khi 1/f (hoặc f(x−1)) thỏa mãn (a1), mỗi điều kiện của Định lý 2.3.1 cho 1/f (hoặc f(x−1)) thay thế cho f là tương đương với (b1). (b5) và (b7) lần lượt là (a5) và (a7) đối với
f(x−1). Đồng thời, (b6) là (a6) đối với 1/f.
Liên hệ (b1)⇒(b8) là một trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 2.1.8. Ngược lại, giả sử (b8). Với mỗi A∈ B(H)++ và ξ∈ H, ta thấy rằng
ξ, f(A)−1ξ= sup η6=0 | hξ, ηi |2 hη, f(A)ηi và vì vậy logξ, f(A)−1ξ = sup η6=0 {2log| hξ, ηi | −loghη, f(A)ξi}.
Do (b8) suy ra rằng A∈ B(H)++7→2log| hξ, ηi | −loghη, f(A)ξilà lồi, suy ra rằng 1/f thỏa mãn (a8). Do đó, (b8)⇒(b1).
Cuối cùng, (b1)⇔(b9) và (b1)⇔(b10) đã được chứng minh trong [8].