Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học
3.2 Đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học
trung bình hình học
Trong phần này chúng tôi sử dụng đặc trưng của trung bình đối xứng được đưa ra trong [3] và của trung bình tự liên hợp được đưa ra trong [6] để thiết lập dạng ma trận cho các kết quả chính ở phần trước.
Trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa của trung bình toán tử đối xứng.
Định nghĩa 3.2.1. Cho f : R+ → R+. Ta nói rằng f là đối xứng (hoặc
f ∈ Fop) nếu f thỏa mãn các điều kiện sau: (1) f là đơn điệu toán tử;
(2) tf(t−1) = f(t) với mọi t ∈R+, và (3) f(1) = 1.
Trong [3], Audenaert và các cộng sự đã giới thiệu một thứ tự mới trong tập hợp các hàm đối xứng như sau.
Định nghĩa 3.2.2. Với f, g∈ Fop, định nghĩa
ψ(t) = t+ 1 2
f(t)
g(t), t >0.
Ta nói rằng f g nếu và chỉ nếu ψ ∈ Fop.
Rõ ràng, nếu f ∈ Fop,
2t
1 +t f(t) 1 +t
2
bởi vì trong trường hợp đặc biệt này, ψ(t) = t−1f(t) hoặc ψ(t) = f(t) cả hai đều là hàm đơn điệu toán tử. Chú ý rằng thứ tự này mạnh hơn thứ tự thông thường ≤. Tức là, nếu f g thì f ≤g.
Theo [3, Proposition 2.1] điều kiện f ∈ Fop suy ra rằng f có biểu diễn tích phân dạng f(t) = 1 +t 2 e H(t), (3.6) trong đó H(t) = Z 1 0 (λ2−1)(1−t)2 (t+λ)(1 +tλ)(λ+ 1)2h(λ)dλ
và h: [0,1]→[0,1] là một hàm đo được xác định duy nhất bởi f hầu khắp nơi, được ký hiệu bởi hf. Các tác giả trong [3] cũng đã chứng tỏ rằng
f g ⇒hf ≥hg hầu khắp nơi.
Nếu f g và hf 6=hg trên một tập có độ đo khác 0, ta nói rằng f ≺g.
Bổ đề 3.2.3 ([5, Lemma 4]). Cho f ∈ Fop và định nghĩa ϕ(t) = t−1f(t2). Khi đó,
(1) Nếu √· ≺ f, thì ϕ đơn điệu giảm trên (0,1) và đơn điệu tăng trên
(1,∞).
(2) Nếu √· f thì ϕ là đơn điệu tăng trên (0,1) và đơn điệu giảm trên
(1,∞).
Chứng minh. Xét đạo hàm
Để chứng tỏ tính đơn điệu của ϕ như một hàm thực, ta chỉ cần chứng tỏ rằng
2tf0(t)≶f(t)
phụ thuộc vào khoảng xác định và quan hệ thứ tự được xét. Theo (3.6), ta xét
2tf0(t) =teH(t)(1 + (1 +t)H0(t))≶f(t)
nếu và chỉ nếu
H0(t)≶ 1−t
2t(1 +t).
Bằng cách tính toán chi tiết H0(t), ta được
H0(t) = Z 1 0 1 (t+λ)2 − 1 (1 +tλ)2 h(λ)dλ = Z 1 0 (1−λ2)(1−t2) (t+λ)2(1 +tλ)2h(λ)dλ.
Dễ thấy khi h(λ) được thay thế bởi hàm hằng 1
2, tích phân trên trở thành 1 2 Z 1 0 (1−λ2)(1−t2) (t+λ)2(1 +tλ)2dλ = 1−t 2t(1 +t).
Bây giờ, giả sử √· ≺ f và t ∈ (0,1). Trong trường hợp này, h(λ) ≤ 1/2 và biểu thức trong dấu tích phân,
(1−λ2)(1−t2)
(t+λ)2(1 +tλ)2h(λ)≥0
với mọi (t, λ)∈(0,1)×[0,1]. Do đó,
H0(t)≤ 1−t
2t(1 +t),
điều này chứng tỏ rằng ϕ là đơn điệu giảm trên (0,1). Khi t ∈ (1,∞) thì biểu thức trong dấu tích phân là không dương, và bất đẳng thức trở thành ngược, suy ra rằng ϕlà đơn điệu tăng trên khoảng đó. Trường hợp √· f
được cho tương tự, nhưng trong trường hợp này h(λ)≥1/2.
Bổ đề 3.2.4 ([5, Lemma 6]). Cho σ là một trung bình toán tử đối xứng trên R+ với hàm đại diện f sao cho √· ≺ f (tương ứng, √· f) và đặt
cho X ≤Y < γX (tương ứng, γX < Y ≤X), thì tồn tại các toán tử dương
A và B sao cho
X =A#B và Y =AσB.
Chứng minh. Chú ý rằng, nếu ta chứng tỏ rằng với T ≤ X−1/2Y X−1/2 :=
Y0 ≤γIn ta có thể tìm được các toán tử dương A0 và B0 sao cho:
In =A0#B0 và Y0 =A0σB0,
ta có thể có được kết quả mong muốn bằng cách chọn A:=X1/2A0X1/2 và
B := X1/2B0X1/2. Điều này tương đương với bài toán sau: Cho In ≤ Y0 ≤
γIn. Tìm A0 ≥0 sao cho
Y0=A0σA−01.
Vì vậy, định nghĩa ϕ(t) =tσt−1 = tf(t−2). Bởi tính đối xứng, ta có ϕ(t) =
t−1f(t2). Vì ϕ(t) liên tục trên [1,∞) và ϕ(1) = f(1) = 1, nên hàm ϕ là song ánh từ [1,∞) đến [1, γ). Và vì vậy, ta có thể định nghĩa A0=ϕ−1(Y0). Điều này suy ra kết quả mong muốn. Phép chứng minh cho trường hợp √· f
giống như trên, nhưng trường hợp này sử dụng ϕ : [1,∞) → (γ,1] là song ánh.
Định lý sau đặc trưng hàm đơn điệu toán tử trên [0,+∞).
Định lý 3.2.5 ([5, Theorem 11]). Cho σ là một trung bình toán tử đối xứng trên R+ với hàm đại diện f sao cho √· ≺f. Khi đó, nếu
g(A#B)≤g(AσB), (3.7)
với các toán tử bất kỳ nửa xác định dương A và B, thì hàm g là đơn điệu toán tử trên R+. Mặt khác, nếu, √· f và
g(A#B)≥g(AσB) (3.8)
Chứng minh. Giả sử ta có với (3.7) với√· ≺f. Gọif và ϕgiống như trong chứng minh của Bổ đề 3.2.4, tức là, f là hàm đại diện của trung bình toán tử đối xứng σ và ϕ(t) = tσt−1 =tf(t−2). Giả sử rằng f √· và chọn
γ0 ∈ (1, γ). Cho 0 < X ≤ Y và Y0 = X−1/2Y X−1/2. Xét sự phân tích phổ,
Y0 =Pn
i=1λiPi, với các giá trị riêngλi được sắp xếp theo thứ tự không tăng. Khi đó, tồn tại một tập hợp các số nguyên không tăng {mi | 1≤i≤n} sao cho γ0mi < λi ≤γ0mi+1. Đặc biệt, ta có I < γ0I < γ02I < ... < γ0mnI < λnPn+ n−1 X i=1 γ0mnPi≤λnPn+ n−1 X i=1 γ0mn+1Pi < ...≤ k X j=0 λn−jPn−j+ n−k−1 X i=1 γmn−k 0 Pi ≤ k X j=0 λn−jPn−j+ n−k−1 X i=1 γmn−k+1 0 Pi ≤...≤Y0≤γm1 0 I.
Nhân hai bên mỗi hạng tử của chuỗi các bất đẳng thức trên đây với X1/2, ta nhận được chuỗi bất đẳng thức
0≤X ≤γ0X ≤γ02X < ... < Y ≤γm1 0 X.
Bây giờ, xét các hạng tử thứk và k+ 1 của chuỗi này. Chúng thỏa mãn bất đẳng thức Zk :=Pkj=0λn−jX1/2Pn−jX1/2+Pin=1−k−1γmn−k 0 X1/2PiX1/2 ≤Zk+1 := k X j=0 λn−jX1/2Pn−jX1/2+ n−k−1 X i=1 γmn−k+1 0 X1/2PiX1/2 ≤γ Pk j=0λn−jX1/2Pn−jX1/2+Pni=1−k−1γmn−k 0 X1/2PiX1/2 =γZk.
Do đó, Bổ đề 3.2.4 suy ra rằng tồn tại các toán tử dương Ak và Bk sao cho:
Zk =Ak#Bk và Zk+1=AkσBk
và vì vậy
Tương tự, nếu (3.8) thỏa mãn với √· f, ta cũng chứng minh được g là đơn điệu toán tử.
Sau đây chúng tôi trình bày đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử qua các trung bình toán tử tự liên hợp.
Định nghĩa 3.2.6. Một trung bình toán tử σ được gọi là tự liên hợp nếu nó thỏa mãn
(AσB)−1=A−1σB−1 với bất kỳ A, B >0.
Định nghĩa 3.2.7. Cho f :R+ →R+. Ta nói rằng f ∈ ε nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) f là đơn điệu toán tử , và (2) f(t−1) = f(t)−1 với mọi t∈R+.
Hansen [6] đã chứng tỏ rằng tồn tại tương ứng 1-1 giữa lớp các trung bình toán tử tự liên hợp với các hàm thuộc lớp ε. Hansen [6] đã chứng minh được rằng mỗi f ∈ ε có biễn tích phân dạng
f(t) = exp 0 0 Z −1 1 λ−t + t 1−λt h(λ)dλ,
trong đó h : [−1,0] → [0,1] là hàm đo được, được xác định duy nhất bởi f, ký hiệu hf.
Tương tự trước ta cũng định nghĩa được một thứ tự trên ε. .
Định nghĩa 3.2.8. Cho f, g ∈ ε. Ta nói f sa g nếu và chỉ nếu f g−1 là đơn điệu toán tử.
Nếu f sag và hf =6 hg trên một tập có độ đo khác không, ta nói f sag. Mệnh đề 3.2.9 ([5, Proposition 9]). Cho f, g ∈ ε. Khi đó, f sa g khi và chỉ khi hf ≥hg hầu khắp nơi.
Chứng minh. Chú ý rằng,f, g ∈ε suy ra rằng(f /g)(t−1) = ((f /g)(t))−1. Vì vậy, yêu cầu f g−1 là đơn điệu toán tử tương đương với yêu cầu f g−1 ∈ε. Do đó, tồn tại một lớp các hàm đo được hf g−1 : [−1,0]→[0,1]sao cho
(f g−1)(t) =exp 0 Z −1 1 λ−t + t 1−λt hf g−1(λ)dλ,
và
hf g−1(λ) =hf(λ)−hg(λ) hầu khắp nơi.
Điều cần chứng minh suy ra từ các nhận xét này.
Bổ đề 3.2.10([5, Lemma 11]). Cho f ∈ε và định nghĩaϕ(t) =t−1f(t2)Khi đó (1) Nếu √
· saf thì ϕ là đơn điệu tăng trên (0,+∞). (2) Nếu √
· saf thì ϕ là đơn điệu giảm trên (0,+∞).
Chứng minh. Như trước đó, để chứng minh tính đơn điệu củaϕ, ta chỉ cần chứng tỏ rằng
2tf0(t)≶f(t) (3.9)
phụ thuộc vào khoảng xác định và quan hệ thứ tự đang xét. Với biểu thức tích phân của f, (3.9) trở thành: 2t 0 Z −1 1 (λ−t)2 + t (1−λt)2 h(λ)dλ≶1.
Kết quả cần chứng minh suy ra từ tính không âm của biểu thức dưới dấu tích phân và với h(λ) = 1/2, f(t) =√ t và 0 Z −1 1 (λ−t)2 + t (1−λt)2 dλ = 1 t.
Sử dụng lập luận giống như trong Bổ đề 3.2.4 và Định lý 3.2.5, ta có thể chứng minh được đặc trưng sau cho các hàm đơn điệu toán tử qua các trung bình toán tử tự liên hợp.
Định lý 3.2.11 ([5, Theorem 12]). Cho σ là một trung bình toán tử tự liên hợp trên R+ với hàm đại diện f sao cho √
· ≺sa f. Khi đó, nếu
g(A#B)≤g(AσB) (3.10)
với bất kỳ toán tử dương A và B sao cho A < B, thì hàm g là đơn điệu toán tử trên R+. Mặt khác, nếu, √
· sa f và
g(A#B)≥g(AσB), (3.11) với các toán tử dương như vậy, thì g là đơn điệu toán tử trên R+.