3 Đối xứng hóa và các vấn đề liên quan
3.2 Bài toán Dido
Phép đối xứng đã được Steiner sử dụng tạo ra hiệu ứng tuyệt vời trong việc kết nối với các định lý đẳng chu hình học cũng như các kết quả của nó. Một trong số đó là lời giải cho bài toán Dido.
Công chúa Dido (còn gọi là nữ hoàng Dido, và còn có tên là công chúa Elissar hay Alyssa) là người sáng lập ra thành phố Carthage (một thành phố ven biển Địa Trung Hải, ngày nay là một vùng ngoại ô của thành phố Tunis ở nước Tunisia) từ thời 1000 năm trước công nguyên, tức là cách chúng ta khoảng 3000 năm. Theo lịch sử, công chúa Dido là công chúa ở xứ Tyre (ngày nay là Liban), thuộc một vương quốc rộng lớn ở Địa Trung Hải ngày xưa gọi là Phoenicia. Vua Pygmalion xứ Tyre là anh trai của Dido, nhưng đã giết chồng của Dido để nhằm chiếm tài sản. Dido mới cùng với một đoàn người chạy tỵ nạn khỏi xứ Tyre sang vùng Carthage và lập nên một thành phố mới ở đó. Theo truyền thuyết, khi chạy tỵ nạn đến Carthage, Dido xin vua xứ đó (gọi là vua của dân tộc Berber, là một dân tộc ở Bắc Phi) một mảnh đất nhỏ để ở tạm. Ông vua đồng ý cho Dido một mảnh đất có thể khoanh vùng lại được bằng một tấm da bò. Dido thông minh đã cùng những người của mình cắt một tấm da bò ra thành một dải dây da rất dài. Sau khi đã có dải dây da bò, bài toán của Dido là:
Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất có diện tích lớn nhất ở cạnh biển?
Chú ý là nếu vùng đất chạm biển thì không cần phải khoanh dây biên giới cả ở ngoài biển, chỉ cần khoanh biên giới cho đến những chỗ giáp biển thôi. Bài toán này có thêm giả thiết là, bờ biển thẳng và rất dài, dài hơn nhiều so với dải đây da bò của Dido. Dido đã giải quyết thành công vấn đề với giải pháp của mình và trở thành nữ hoàng của thành phố thịnh vượng tại vùng đất Carthage.
Ở trong đất liền thì câu trả lời tất nhiên sẽ là hình tròn, nhưng trên bờ biển thì bài toán này sẽ thay đổi. Ta giải bài toán với giả thiết bờ biển là đường thẳng. Trên hình 3.3 (a) cung XYZ với chiều dài đã cho, phải làm cho diễn tích phần giới hạn giữa cung này và đoạn XZ lớn nhất (đoạn thẳng này
48
(a) (b)
Hình 3.3: Bài toán Dido (a) và lời giải bằng phản xạ gương (b)
năm trên một đường thẳng dài vô hạn đã cho, nhưng có thể kéo dài hoặc rút ngắn lại tùy ý). Để giải bài toán này, ta hãy xem đoạn thẳng dài vô hạn đã cho (bờ biển) như một cái gương (hình 3.3 (b)). Khi đó ta phản xạ cung XYZ thành XY’Z và hình mới có diện tích gấp 2 lần diện tích hình ta phải tìm cực đại. Diện tích này đạt cực đại khi hình giới hạn XYZY’ là hình tròn với đường bờ biển là trục đối xứng.
Như vậy, giải pháp cho vấn đề của Dido nằm ở sự dối xứng. nếu chúng ta nghĩ bờ biển như một tấm gương phản chiếu lại vùng đất được bao quanh bởi sợi dây da ẩn, vấn đề của bà ấy trở thành: “Hình có diện tích lớn nhất có 1 đường cho trước (đường bờ biển) là đường đối xứng và có chu vi cho trước (chu vi gấp đôi chiều dài sợi dây)? Do lớp tất cả các hình có chu vi cho trước, kể cả các hình có trục đối xứng, và vì hình tròn có trục đối xứng và theo định lý đẳng chu đảm bảo rằng hình tròn là hình có diện tích tối đa mong muốn nên giải pháp của Dido là hình bán nguyệt.