3 Đối xứng hóa và các vấn đề liên quan
3.3 Đối xứng hóa Steiner
Chúng ta thừa nhận rằng, trong các hình có cùng chu vi cho trước luôn tồn tại hình có diện tích lớn nhất. Steiner đã đưa ra ý tưởng sử dụng tính phản xạ để chứng minh Định lý đẳng chu. Ý tưởng của Steiner là ông là chứng minh rằng:
" Hình lớn nhất phải đối xứng với mọi đường thẳng chia chu vi của nó thành hai phần bằng nhau".
Để chứng minh điều này, ta chú ý rằng hình lớn nhất phải là hình lồi và giới hạn phép chứng minh trong trường hợp của hình lồi. Một dây cung chia chu vi của hình lồi thành các phần bằng nhau sẽ nằm hoàn toàn trong hình này. Nếu có tồn tại một dây như vậy nhưng không chia diện tích của hình thành hai phần bằng nhau, khi đó ta có thể loại bỏ nửa nhỏ hơn và thay nó thành ảnh đối xứng của phần lớn hơn. Vì vậy ta nhận được một hình mới có cùng chu vi nhưng có diện tích lớn hơn. Hình mới này có thể không lồi. Trong trường hợp này ta có thể biến nó thành hình lồi, tăng diện tích nhưng vẫn giữ chu vi cố định. Cũng cần chú ý rằng một dây cung chia đôi chu vi có thể chia một hình lồi thành hai nửa có diện tích bằng nhau nhưng không đối xứng qua dây. Trong trường hợp này, việc chọn phần nào để thực hiện phép đôí xứng là không quan trọng. Một lần nữa xin nhắc lại rằng hình được tạo ra có thể không lồi, nhưng ta có thể biến nó thành hình lồi như đã nêu trước đây. Kết quả là nêu tồn tại một hình phẳng có chu vi xác định, hình có diện tích lớn nhất phải đối xứng qua mọi đường thẳng chia chu vi nó thành 2 phần bằng nhau, vì vậy PHẢI là một đường tròn.
Một cách chứng minh khác của Steiner cho định lý đẳng chu, dựa trên ý tưởng rằng, hình lớn nhất phải có một trục đối xứng ở mọi hướng. Để diễn tả ý tưởng này, trước tiên ta hãy chú ý đến kết quả sau.
Mệnh đề 3.3.1. Giả sửABCD là hình thang vàAB0C0D là một hình thang cân có cùng đáy và chiều cao. Khi đó, chu vi của hình thang AB0C0D không vượt quá chu vi của hình thang ABCD và SABCD = SAB0C0D0.
Thật vậy, giả sử ABCD là hình thang và AB0C0D là hình thang cân có cùng đáy và chiều cao, tức A0B0C0D0 có trục đối xứng là đường trung trực của AD. Đây chỉ là cách nói khác của nguyên lý phản xạ về tam giác có đáy và chiều cao cho trước là nhỏ nhất khi nó cân (xem hình 3.4(d)), trong đó,
A có thể coi là nguồn, D là máy thu và B0C0 là gương. Do đó, diện tích của
AB0C0D bằng với diện tích của ABCD, trong khi chu vi của nó là nhỏ hơn hoặc bằng chu vi của ABCD.
Xét hình phẳng bất kỳ (Hình 3.5(a)). Ta chia nó thành các dải hẹp có các cạnh song song, và hãy tạm cho rằng mỗi dải hẹp như vậy là một hình thang (Hình 3.5(b)). Từ các hình thang này ta dựng nên một hình mới bằng việc biến đổi mỗi hình thành một hình thang cân với cùng các đáy và cùng diện tích bằng việc xếp các hình thang mới sao cho chúng có cùng đường trung
50
Hình 3.4
trực (Hình 3.5(c)). Theo định lý nêu ra trên đây về hình thang, hình 3.5(c) có cùng diện tích với hình 3.5(b) nhưng có chu vi nhỏ hơn. Nếu ta chia hình lồi ban đầu (Hình 3.5(a)) thành những dải hẹp hơn nữa, các đa giác lấy tròn (hình 3.5(b)) có diện tích và chu vi tiên dần đến diện tích và chu vi của hình ban đầu (Trên thực tế, người ta thường định nghĩa diện tích và chu vi của hình phẳng lần lượt là giới hạn phần diện tích và chu vi của một dãy các đa giác xấp xỉ. Đa giác được biến đổi (Hình 3.5(c)) tiến dần đến một hình lồi có trục đối xứng.
Vì vậy, với một hình lồi cho trước, ta có thể dựng một hình khác có cùng diện tích và chu vi bé hơn hoặc bằng chu vi hình đã cho, và có trục đối xứng theo hướng cho trước. Vật thể lồi đối xứng này có thể được dựng bằng phép dựng sau:
Cách dựng: Vẽ một đường thẳng đứng theo hướng cho trước. Xét các dây của hình lồi bản đầu sao cho chúng vuông góc với các dây cung đã dựng. Di chuyển các dây cung sao cho đường thẳng đã dựng là trung trực của mỗi dây cung. Các đầu mút của các dây đã phân bổ tạo thành một hình đối xứng
Hình 3.6
(Xem hình 3.6) có cùng diện tích như hình ban đầu nhưng có chu vi bé hơn. Phép dựng hình này được gọi là đối xứng hóa Steiner, và nó đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết về vật thể lôi.
Hiện tại chúng ta đang ở tình thế có thể hoàn thành việc chứng minh định lý đẳng chu. Cho một vật lồi không có trục đối xứng theo một chiều nào đó, ta áp dụng đối xứng hóa Steiner theo hướng đó để được một hình lồi mới có
52
cùng diện tích nhưng có chu vi nhỏ hơn. Sau đó, ta phóng to hình mới cho đến khi nó có cùng chu vi với hình cũ. Vì vậy, nếu một hình không có trục đối xứng theo bất cứ chiều nào, nó không thể là hình có diện tích lớn nhất trong số các hình có cùng chu vi. Theo đó nếu một hình lớn nhất tồn tại thì hình tròn là hình lớn nhất.