Nội dung của mục này trình bày theo tài liệu [5], [6].
Định nghĩa 1.5.1. Một R-môđun X được gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấuf : X → B và mọi toàn cấu g :A → B của các R-môđun, tồn tại một đồng cấu h :X →A thỏa mãn g◦h = f, tức là biểu đồ sau giao hoán
X . h y f A −−−−→g B
Mệnh đề 1.5.2. Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh.
Định nghĩa 1.5.3. Cho M là một R-môđun. Một phép giải xạ ảnh của
M là một dãy khớp của các R-môđun
X : · · · → Xn −d→n Xn−1 → · · · → X1 −d→1 X0 −→ε M → 0,
trong đó Xi là các R-môđun xạ ảnh với mọi i ≥ 0, ký hiệu X −→ε M →0.
Mệnh đề 1.5.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó, tồn tại một phép giải xạ ảnh của M.
Định lý 1.5.5. Cho f : M →M0 là một đồng cấu các R-môđun, X −→ε M
và X0 −→ε0 M0 là các phép giải xạ ảnh của M và M0. Khi đó, tồn tại một đồng cấu F = {Fn}n≥0 từ phức X vào phức X0 sao cho f ε = ε0F0. Hơn nữa, F là duy nhất sai khác một đồng luân.
Hệ quả 1.5.6. Nếu X và Y là hai phép giải xạ ảnh của M thì X và Y
là hai tương đương đồng luân.
Cho N là một R-môđun cố định. Xét phép gán
T = · ⊗R N : ModR ModR
xác định với mỗi R-môđun M, T(M) =M ⊗RN và f : M −→M0 là một đồng cấu, T(f) = f ⊗1N. Khi đó, T là một hàm tử cộng tính hiệp biến.
Cho một phép giải xạ ảnh của R-môđun M
X :· · · −→ Xn+1 −−→dn+1 Xn −d→n Xn−1 −→ · · · −→ X0 −→ε M −→ 0.
Xét phép giải xạ ảnh thu gọn của R-môđun M X : · · · −→ Xn+1 −−→dn+1 Xn dn −→Xn−1 −→ · · · d1 −→X0 d0 −→0. Khi đó, ta có phức X⊗N : · · · −−−−−→dn+1⊗1N Xn⊗N −→ · · · −→ X1⊗N −−−→d1⊗1N X0⊗N −−−→d0⊗1N 0.
Khi đó, với mọi n≥ 0, ta có
Hn(X ⊗N) = Ker(dn⊗1N)/Im(dn+1 ⊗1N) =: TorRn(M, N).
Hơn nữa, nếu f : M → M0 là một R-đồng cấu và X, X0 là hai phép giải xạ ảnh của M và M0; thì theo Định lý 1.5.5, tồn tại một đồng cấu
F = {Fn}n≥0 : X →X0 sao cho f ε= ε0F0. Từ đồng cấu F dẫn đến đồng cấu
X ⊗N : · · · −→ Xn+1 ⊗N −→ · · · −→ X1 ⊗N −→ X0 ⊗N y F y Fn+1 ⊗1N y F1 ⊗1N y F0 ⊗1N X0 ⊗N : · · · −→ Xn0+1 ⊗N −→ · · · −→ X10 ⊗N −→ X00 ⊗N.
Ký hiệu, F = F ⊗1N = {Fn ⊗1N}n≥0. Ta có các đồng cấu cảm sinh từ F
(F)∗n : TorRn(M, N) −→ TorRn(M0, N),
ký hiệu, TorRn(f, N) = (F)∗n.
Với mỗi số nguyên n ≥0, xét phép gán
TorRn(·, N) : ModR ModR
được xác định bởi mỗi môđun M, TorRn(M, N) là một R-môđun và nếu
f : M −→M0 là một đồng cấu các R-môđun thì TorRn(f, N) là một hàm tử cộng tính hiệp biến hay nó còn được gọi là hàm tử xoắn.
Nhận xét 1.5.7. Cho M, N là các R-môđun.
(i) Nếu M là xạ ảnh thì Torn(M, N) = 0 với mọi n ≥ 1, với mọi N. Ngoài ra, TorR0 (M, N) ' M ⊗N với mọi M, N.
(ii) Hàm tử xoắn không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của M.
Mệnh đề 1.5.8. Cho 0 −→ A −→f B −→g C −→ 0 là một dãy khớp ngắn bất kỳ các R-môđun và N là một R-môđun bất kỳ. Khi đó, ta có các dãy khớp
· · · −→∂ TorRn(A, N) f ∗ −→ TorRn(B, N) g ∗ −→Torn(C, N) →−∂ Torn−1(A, N) −→ · · · · · · −→ TorR1 (C, N) −→∂ A⊗N −−−→f⊗1N B⊗N −−−→g⊗1N C ⊗N −→0,
trong đó f∗ = TorRn(f, N), g∗ = TorRn(g, N) và ∂ là đồng cấu nối.
Cho M là một R-môđun. Chiều xạ ảnh của M trên vành R, ký hiệu là
pdRM, được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.5.9. Cho M là một R-môđun. Chiều xạ ảnh của M là n, ký hiệu là pdRM = n nếu M có một phép giải xạ ảnh có độ dài n
X : · · · −→ Xn+1 −→ Xn −→ · · · −→ X0 −→ε M −→ 0
thỏa mãn Xi = 0 với mọi i > n, Xn 6= 0 và n là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này. Ngược lại, chiều xạ ảnh của M là ∞.
Ví dụ 1.5.10. (i) Giả sử M là một R-môđun xạ ảnh, dãy 0 −→ X0 −→ε
M −→ 0 với X0 = M là một phép giải xạ ảnh độ dài 0 của M. Vậy
pdRM = 0.
Ngược lại cũng đúng, tức là nếu 0 −→ X0
ε
−
→ M −→ 0 là một phép giải xạ ảnh độ dài 0 thì M ' X0 là môđun xạ ảnh.
(ii)Cho R = Z. VìRlà vành chính nên mọi môđun con của một môđun tự do là tự do. M là nhóm abel có một phần tử xoắn khác không. Xét dãy 0 −→ X1 −→ X0 →−ε M −→ 0 với X0, X là hai Z-môđun tự do với
Chiều đồng điều của vành R, ký hiệu gl.dimR định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.5.11. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Chiều đồng điều của vành R được xác định bởi
gl.dimR = sup
M
pdRM
với cận trên nhỏ nhất lấy trên tất cả R-môđun M.
Ví dụ 1.5.12. (i) Nếu R là một trường thì pdRM = 0 vì mọi R-môđun
M là tự do. Suy ra gl.dimR = 0.
(ii) Cho k là một trường. Khi đó, gl.dimk[X] = 0.
Mệnh đề 1.5.13. Cho R là một vành Noether địa phương với iđêan cực đại m, k = R/m và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, pdRM ≤n
khi và chỉ khi TorRn+1(M, N) = 0 với mọi R-môđun N.
Hệ quả 1.5.14. Với các giả thiết như trong Mệnh đề 1.5.13, pdRM ≤n
khi và chỉ khi TorRn+1(M, k) = 0.
Định lý 1.5.15. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và k = R/m. Khi đó, các điều kiện sau đây là tương đương.
(i) gl.dimR ≤ n.
(ii) TorRn+1(M, N) = 0 với mọi M, N. (iii) TorRn+1(k, k) = 0.
Hệ quả 1.5.16. Cho R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại m và k = R/m. Khi đó, gl.dimR = pdRk.