2 Vành chính quy địa phương
2.2 Đặc trưng qua chiều đồng điều
Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m. Chúng ta nhận một đặc trưng qua chiều đồng điều đối với vành R chính quy địa phương.
Định lý 2.2.1. Cho R là một vành Noether chính quy địa phương với
dimR = d. Khi đó,
(i) gl.dimR <∞ và nó bằng dimR.
(ii) pdRM + depthM = dimR với mọi R-môđun M hữu hạn sinh. Chứng minh. (i) Cho a1, . . . , ad là một hệ tham số chính quy của vành R, vì vậy nó cũng là một R-dãy (bởi Hệ quả 2.1.8). Vì R/(a1, . . . , ad) ' k
nên từ Mệnh đề 1.6.10, ta có pdRk = d. Hơn nữa, theo Hệ quả 1.5.16,
gl.dimR = pdRk = d= dimR.
(ii) Mệnh đề được chứng minh bằng quy nạp theo depthRM = t. Nếu
t= 0 thì m ∈ Ass(M). Do đó tồn tại một đơn cấu
0 −→ k = R/m −→ M.
Vì
pdRk = d, TorRd+1(M/k, k) = 0,
nên từ dãy khớp các R-môđun
0−→ k −→ M −→M/k −→ 0
dẫn đến dãy khớp ngắn
0 = TorRd+1(M/k, k) −→ TorRd(k, k) −→ TorRd(M, k).
Theo Định lý 1.5.15 ta có TorRd(k, k) 6= 0, nên TorRd(M, k) 6= 0. Do đó
pdRM = d và kết quả được chứng minh.
Giả sử rằng depthM = t > 0. Khi đó, tồn tại một phần tử a ∈ m không là ước của không đối với M. Đặt M1 = M/aM và xét dãy khớp
0 −→M −λ→a M −→ M1 −→ 0,
trong đó λa : M −→ M xác định bởi λa(m) = am với mọi m ∈ M. Vì depthM1 = t−1 nên theo giả thiết quy nạp ta có
Xét dãy khớp
· · · −→ TorRi (M, k) λ
∗
a
−→ TorRi (M, k) −→ TorRi (M1, k) −→δ TorRi−1(M, k)
λ∗a
−→ TorRi−1(M, k),
trong đó λ∗a là phép nhân bởi a. Vì phần tử a triệt tiêu k nên ta có dãy khớp
0−→ TorRi (M, k) −→ TorRi (M1, k) −→ TorRi−1(M, k) −→ 0.
Áp dụng Mệnh đề 1.5.13, ta có pdRM1 = 1−pdRM. Ta suy ra
pdRM + depthM = d.
hay pdRM + depthM = dimR với mọi R-môđun M hữu hạn sinh.
Hệ quả 2.2.2. ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m vàM là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, pdRM = dimR khi và chỉ khi m ∈ Ass(M).
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.1, ta có pdRM + depthM = dimR. Hơn nữa, depthM = 0 khi và chỉ khi m ∈ Ass(M). Vậy pdRM = dimR khi và chỉ khi m ∈ Ass(M).
Hệ quả 2.2.3. ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh với dimR = dimM = d. Khi đó, M
Chứng minh. M là R-môđun tự do khi và chỉ khi pdRM = 0 khi và chỉ khi depthM = dimR = dimM. Điều này tương đương với M là một môđun Cohen-Macaulay.
Hệ quả 2.2.4. ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m, dimR = d và S là một vành Noether địa phương có chiều là d mà nó là một R-đại số kiểu hữu hạn, nghĩa là, S là một R- môđun hữu hạn sinh. Khi đó, S là một môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi S là R-môđun tự do.
Chứng minh. Biết rằng S là một môđun Cohen-Macaulay trên S khi và chỉ khiS làR-môđun Cohen-Macaulay. Theo Hệ quả 2.2.3, điều này tương đương với S là R-môđun tự do.
Hệ quả 2.2.5. ChoR là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương với iđêan cực đại m, dimR = d và S là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương có chiều là d mà nó là một R-đại số kiểu hữu hạn. Khi đó,
S là R-môđun tự do.
Chứng minh. VìS là vành chính quy địa phương nênS làS-môđun Cohen- Macaulay. Do đó S là R-môđun Cohen-Macaulay. Theo Hệ quả 2.2.4, S là
R-môđun tự do.
Ghi chú 2.2.6. Cho dãy khớp 0−→ M0 −→ M −→M00 −→ 0 trong đó
Mệnh đề 2.2.7. Cho M là một R-môđun, a ∈ R là một ước khác không của R cũng như M. Khi đó, nếu pdRM < ∞ thì pdR/(a)(M/aM) < ∞. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n= pdRM.
Nếu n = 0 và M là R-môđun xạ ảnh. Khi đó, M/aM ' M ⊗R R/(a)
là R/(a)-xạ ảnh. Do đó pdR/(a)(M/aM) < ∞.
Giả sử n > 0 và xét dãy khớp
0−→ R −λ→a R −→ R/(a) −→0
trong đó λa : R −→R xác định bởi λa(x) =ax với mọi x ∈ R. Từ dãy khớp này dẫn đến dãy khớp
0 −→ TorR1(M, R/(a)) −→ M λ
∗
a
−→M −→ M/aM −→ 0.
Vì a không là ước của không đối với M nên TorR1 (M, R/(a)) = 0. Xét dãy khớp
0 −→K −→F −→ M −→ 0
trong đó F là R-môđun tự do. Khi đó, dãy
0 −→TorR1 (M, R/(a)) −→ K/aK −→ F/aF −→ M/aM −→0
là khớp. Theo Ghi chú 2.2.6,pdRK = pdRM−1.Áp dụng quy nạp choK
vìakhông là ước của không trênK ⊂ F. VìpdRM < ∞nênpdRK < ∞. Điều này dẫn đến, pdR/(a)(K/aK) < ∞. Vì vậy pdR/(a)(M/aM) < ∞.
Mệnh đề 2.2.8. Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m. Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
(i) Với mọi a ∈ m\m2, dãy khớp các R/(a)-môđun sau đây là chẻ ra
0 −→ Ra/ma −→ m/ma −→m/Ra −→ 0.
(ii) Nếu m 6= m2 và mọi a ∈ m \m2 là một ước của không thì bất kỳ
R-môđun hữu hạn sinh M với pdRM < ∞ là R-môđun tự do.
Chứng minh. (i) Đặtd = dimkm/m2. Vì a /∈ m2 nên tồn tạia1, . . . , ad−1 ∈
msao cho(a, a1, . . . , ad−1)là tập sinh tối tiểu củam. NếuI = (a1, . . . , ad−1)
thì I ∩Ra = I ∩ma. Thật vậy, nếu b = ca ∈ I trong đó c ∈ R và c không khả nghịch (vì nếu c khả nghịch thì a ∈ I) và a, a1, . . . , ad−1 là tập sinh tối tiểu nên b ∈ I ∩ma.
Tiếp theo, ta có
m/Ra= (I +Ra)/Ra ' I/(I ∩Ra) =I/(I ∩ma) ' (I +ma)/a.
Do đó, ánh xạ tự nhiên m/ma −→ϕ m/Ra có ánh xạ T : m/a −→ m/Ra
sao cho ϕT = 1m/Ra.
(ii) Giả sử rằng với mỗi a ∈ m\m2 là một ước của không. Khi đó, m\m2 ⊂ [ P∈AssR P, nghĩa là m ⊂ [ P∈AssR P ∪m2.
Vì m 6= m2 nên ta có
m ⊂ [
P∈AssR P.
Do đó m = P. Điều này dẫn đến, tồn tại một đơn cấu từ k = R/m vào R. Nếu M là một R-môđun hữu hạn sinh với pdRM = n thì từ dãy khớp
0 −→k −→ R −→R/k,
dẫn đến dãy khớp
0 −→TorRn+1(M, R/k) −→ TornR(M, k) −→ TorRn(M, R).
Vì TorRn(M, k) 6= 0 nên TorRn(M, R) 6= 0. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu
n = 0. Vì vậy M là môđun xạ ảnh nên nó là môđun tự do. Phép chứng minh được kết thúc.
Hệ quả 2.2.9. Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m, gl.dimR < ∞ và a ∈ m\m2 là một ước khác không đối với
R. Khi đó, gl.dimR/(a) < ∞.
Chứng minh. Xét dãy khớp các R/(a)-môđun
0 −→m/Ra−→ R/Ra −→ R/m −→ 0.
Vì gl.dimR/(a) = pdR/(a)R/m nên ta chỉ cần chứng minh
Vì gl.dimR <∞, pdRm < ∞ và theo Mệnh đề 2.2.7 nên ta có
pdR/(a)m/ma < ∞.
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2.8, m/Ra là một hạng tử trực tiếp của m/ma, do đó
pdR/(a)m/Ra < ∞.
Định lý 2.2.10. Cho R là một vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m và gl.dimR < ∞. Khi đó, R là vành chính quy địa phương.
Chứng minh. Chứng minh bằng quy nạp theo t= dimkm/m2, k = R/m. Nếu t = 0 và m = m2 thì theo Bổ đề Nakayama, m = 0 và R là vành chính quy.
Giả sử t > 0. Nếu mọi a ∈ m\m2 là một ước của không thìgl.dimR = pdRk < ∞nên theo Mệnh đề 2.2.8 dẫn đến k là R-môđun tự do, nghĩa là m = 0, mâu thuẫn. Vì vậy, tồn tại một a ∈ m\m2 không là ước của không. Theo Hệ quả 2.2.9, ta có gl.dimR/(a) < ∞. Nếu m¯ = m/Ra, m¯/m¯2 là một k-không gian vectơ chiều t−1 thì theo quy nạp ta suy ra R/(a) là chính quy, nghĩa làm¯ sinh bởiR/(a)-dãya¯1, . . . ,at−¯1. Khi đó,a, a1, , . . . , at
Hệ quả 2.2.11. Cho R là một vành Noether giao hoán chính quy địa phương và P là một iđêan nguyên tố của R. Khi đó, RP là một vành Noether chính quy địa phương.
Chứng minh. Giả sử gl.dimR = n. Khi đó,pdRR/P ≤n. Vì vậy, tồn tại một phép giải tự do chiều t ≤n,
0−→ Ft −→ Ft−1 −→ · · · −→ F0 −→ R/P −→ 0.
Vì RP là R-phẳng nên dãy
0−→ RP⊗RFt −→ RP⊗RFt−1 −→ · · · −→ RP⊗RF0 −→RP⊗RR/P −→ 0
là khớp và mỗi RP ⊗R Fi với ) ≤ i ≤ t là RP-tự do. Vì vậy,
pdRP(RP ⊗R R/P) ≤ n,
nghĩa là pdR(RP/P RP) ≤ n. Do đó, gl.dimRP ≤ n.
Vậy RP là vành chính quy địa phương.
Định nghĩa 2.2.12. Vành R được gọi là vành chính quy nếu RP là vành Noether chính quy địa phương với mọi iđêan nguyên tố P của R.
Định lý 2.2.13. Cho R là một vành chính quy. Khi đó, vành đa thức
R[X1, . . . , Xn], cũng là vành chính quy.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh kết quả đúng với n = 1.
tố P = R ∩ Q. Vì SQ là địa phương hóa của RP[X] và RP là vành chính quy địa phương. Không mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử R là vành chính quy địa phương với iđêan cực đại m. Chúng ta có,
S/mS 'R[X]⊗R k 'k[X] với k = R/m. Vì mS ⊂ Q nên ta có Q= mS
hoặc Q = mS + (f) với f(X) ∈ S[X] là đa thức đơn khởi. Vì R là vành chính quy địa phương được sinh bởi d = dimR phần tử a1, . . . , ad. Vì Q
được sinh trên S bởi d hoặc d + 1 phần tử tương ứng với Q = mS hoặc
Q = mS + (f). Hơn nữa, ht(Q) ≥ d, ta có ht(Q) = d nếu Q = mS hoặc
ht(Q) = d+ 1nếu Q= mS+ (f). Do đó SQ là vành chính quy địa phương. Phép chứng minh được kết thúc.
Hệ quả 2.2.14. Cho k là một trường. Khi đó, vành đa thức k[X1, . . . , Xn]
là vành chính quy.
Chứng minh. Vì k là một vành chính quy địa phương nên k là vành chính quy. Theo Định lý 2.2.13, vành đa thức k[X1, . . . , Xn] là vành chính quy.
Chú ý 2.2.15. (i) Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R. Khi đó, pdRM = sup P∈SpecR pdRP(MP) = sup m∈maxR pdRm(Mm). Hơn nữa, ta có gl.dimR = sup P∈SpecR gl.dimRP = sup m∈maxR gl.dimRm.
(ii) Nếu R là một vành Noether thì dimR = sup
m∈maxR
dimRm.
(iii) Cho R là một vành Noether địa phương với một iđêan cực đại m và a ∈ m\m2. Khi đó, nếu R là vành chính quy thì R/(a) là vành chính quy và ngược lại nếu a không thuộc bất kỳ iđêan nguyên tố nhỏ nhất của
R thì R/(a) không là vành chính quy.
Hệ quả 2.2.16. Cho R là một vành Noether chính quy. Khi đó,
gl.dimR = dimR. Chứng minh. Ta có gl.dimR = sup m∈maxR .gl.dimRm = sup m∈maxR .dimRm = dimR.
Hệ quả 2.2.17. Cho k là một trường. Khi đó, gl.dimk[X1, . . . , Xn] = n.
Chứng minh. Vì dimk[X1, . . . , Xn] = nnên theo Hệ quả 1.4.26, ta có điều cần chứng minh.
Chúng ta đã chứng minh rằng mỗi vành chính quy địa phương là một miền nguyên từ Hệ quả 2.1.5. Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng mỗi vành chính quy địa phương là một vành U F D. Trước tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa của vành U F D.
Định nghĩa 2.2.18. Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không và không khả nghịch đều được phân tích một cách duy nhất (sai khác một phần tử khả nghịch và một phép hoán vị các nhân tử) các phần tử bất khả quy được gọi là vành UFD.
Lưu ý rằng, U F D là viết tắt của Unique Factorial Domain và một tên gọi khác của vành U F D là vành nhân hóa tử.
Mệnh đề 2.2.19. Cho R là một miền nguyên Noether. Khi đó, R là một vành U F D khi và chỉ khi mọi iđêan nguyên tố có độ cao 1 của R là một iđêan chính.
Chứng minh. Giả sử R là một vành U F D. Gọi P là một iđêan nguyên tố sao cho htP = 1. Lấy a ∈ P, a 6= 0 và p là một ước bất khả quy của a. Khi đó, Rp ⊂P; vì htP = 1 và Rp là một iđêan nguyên tố nên Rp = P, tức là P là một iđêan chính.
Ngược lại, giả sử mọi iđêan nguyên tố có độ cao 1 là một iđêan chính. Vì R là vành Noether, mỗi a ∈ R và a không khả nghịch đều có thể biểu diễn thành tích hữu hạn phần tử bất khả quy. Chỉ cần chứng minh mỗi phần tử bất khả quy là nguyên tố. Giả sử a ∈ R là một phần tử bất khả quy và P là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của (a). Khi đó, htP = 1 và theo giả thiết quy nạp P là iđêan chính, tức là, P = Rp, p ∈ R và p nguyên tố. Do đó p = ua với u là khả nghịch. Vậy a là một phần tử nguyên tố.
Ghi chú 2.2.20. (i) Cho M là một R-môđun. Đại số tenxơ T(M) của M được định nghĩa là R-đại số
T(M) = ∞ M i=0 Ti(M) trong đó, Ti(M) =M ⊗R M ⊗R . . .⊗R M (i lần), T0(M) = R. Định nghĩa phép nhân trong T(M) bởi
(x1 ⊗. . .⊗xr)(y1 ⊗. . .⊗yr) = x1 ⊗. . .⊗xr ⊗y1 ⊗. . .⊗yr
với xi, yj ∈ M và được mở rộng bởi sự phân phối.
(ii) Cho M là R-môđun và T(M) là đại số tenxơ của M. Thương của
T(M) bởi iđêan hai bên sinh bởi các phần tử loại x⊗x, x ∈ M được gọi là Đại số ngoài V
(M).
Ảnh của x1 ⊗ . . .⊗ xr qua phép chiếu tự nhiên được định nghĩa bởi
x1V
· · ·V
xr (được gọi là các phần tử thuần nhất bậc r). Thành phần thuần nhất thứ r của V(M) được ký hiệu là
r
V
(M).
(iii) Cho M, N là hai R-môđun. Khi đó,
Nếu M là một môđun tự do với cơ sở e1, . . . , en thì
r V (M) là tự do với cơ sở ei1V . . .V ein với 1≤ i1 < i2 < . . . < ir ≤ n. Vr (M ⊕N) ' L i+j=n i V (M)⊗R j V (N). Nếu M là một R-môđun xạ ảnh thì V (M) cũng là một R-môđun xạ ảnh.
Mệnh đề 2.2.21. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một
R-môđun xạ ảnh. Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.
(i) Nếu M có một phép giải tự do hữu hạn
0 −→Fn −→Fn−1 −→ · · · −→ F0 −→ M −→ 0
trong đó mỗi Fi là một môđun tự do với hạn hữu hạn, 0 ≤ i ≤ n; thì tồn tại một R-môđun tự do hữu hạn sinh F sao cho M ⊕F là tự do và
rank(M ⊕F) < ∞.
(ii) Nếu M ⊕Rn ' Rn+1 thì M ' R.
Chứng minh. (i) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n. Nếu n= 0 thì M 'F0 là một môđun tự do hữu hạn sinh.
Giả sử n > 0. Đặt K = ker(F0 −→ M). Vì M là xạ ảnh nên F0 '
M ⊕K và K có phép giải tự do độ dài n−1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một môđun tự do F0 sao cho K ⊕F0 = F là môđun tự do hữu hạn sinh. Khi đó,
M ⊕F = M ⊕K ⊕F0 ' F0 ⊕F0
là môđun tự do hữu hạn sinh.
(ii) Cho M là một R môđun sao cho M ⊕Rn 'Rn+1. Khi đó,
MP ⊕RnP ' RnP+1,