h. dim(K) = dim(N )+ dim(K ∩N 0) )=
2.2.2 Mæun nûa ch½nh quy
Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y kh¡i ni»m mæun nûa ch½nh quy. Lîp c¡c mæun nûa ch½nh quy l mët lîp con thüc sü cõa lîp c¡c mæun n¥ng húu h¤n (tùc f-n¥ng) li¶n quan ¸n t½nh ch§t x¤ £nh. Ch½nh x¡c l , mët mæun n¥ng húu h¤n çng thíi l x¤ £nh th¼ nâ l nûa ch½nh quy.
Theo M»nh · 2.2.2, mæun M l f-n¥ng n¸u v ch¿ n¸u måi mæun con xiclic cõa M ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M.
ành ngh¾a 2.2.7 ([4], 22.25(1) v [12]). Cho R-mæun M.
(i) M ÷ñc gåi l nûa ch½nh quy n¸u måi mæun con xiclic ·u ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M.
(ii) Ph¦n tûx∈M ÷ñc gåi l nûa ch½nh quy n¸u mæun con xiclicRx ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M.
(iii) Vîi M l mët R-mæun (tr¡i), kþ hi»u M∗ := HomR(M;R) l tªp c¡c R-çng c§u tø M ¸n R-mæun tr¡i RR. Ph¦n tû x ∈ M ÷ñc gåi l ch½nh quy n¸u tçn t¤i β ∈M∗ sao cho β(x)x=x.
Chó þ 2.2.8. Tø c¡c ành ngh¾a ta câ ngay c¡c nhªn x²t sau.
(i) Mët mæun M l nûa ch½nh quy n¸u v ch¿ n¸u måi ph¦n tû cõa M l nûa ch½nh quy.
(ii) Måi mæun nûa ch½nh quy ·u l n¥ng húu h¤n.
(iii) Mæun nûa ch½nh quy khæng ph£i l mët d¤ng têng qu¡t hâa cõa mæun n¥ng, nâi c¡ch kh¡c, mët mæun n¥ng khæng nh§t thi¸t l nûa ch½nh quy. Tuy nhi¶n, måi mæun x¤ £nh n¥ng húu h¤n ·u l nûa ch½nh quy.
M»nh · 2.2.9 ([12], M»nh · 1.3). Cho R-mæun M v gi£ sû x ∈ M l mët ph¦n tû tòy þ. C¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng.
(i) Rx ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M (tùc x l nûa ch½nh quy). (ii) Tçn t¤i α∈M∗ sao cho (α(x))2=α(x) v x−α(x)∈Rad(M).
(iii) Tçn t¤i mët ph¦n tû ch½nh quy y ∈M sao cho x−y∈Rad(M) v
Rx =Ry⊕R(x−y).
(iv) Tçn t¤i mët ph¦n tû ch½nh quy y ∈M sao cho x−y∈Rad(M).
(v) Tçn t¤i mët tü çng c§u lôy ¯ng γ :M →M sao cho γ(M)⊂Rx, γ(M) l x¤ £nh v x−γ(x)∈Rad(M).
Chùng minh.
(i) ⇒ (ii) °t N = Rx. Theo gi£ thi¸t, N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh P cõa M. Gi£ sû M =P ⊕Q v N ∩Q M. Khi â, Rx =N = P ⊕(N ∩Q), d¨n ¸n P l húu h¤n sinh v P câ mët cì sð èi ng¨u húu h¤n, ch¯ng h¤n â l
ϕi ∈ P∗ = HomR(P, R), xi ∈ P, i = 1, . . . , n. Gi£ sû xi = rix, i = 1, . . . , n. Ta ành ngh¾a α = Pni=1ϕiri, câ ngh¾a l α(v) = Pni=1ϕi(v)ri vîi måi v ∈ P. D¹ th§y α l mët R-çng c§u. Mð rëng l¶n M b¬ng c¡ch °t α(u) = 0 vîi måi u∈Q. B¥y gií ta câα∈M∗= HomR(M;R). N¸ux=p+q, p∈P, q ∈Qth¼ α(x) =α(p) =Pni=1ϕi(p)ri
v α(x)x = Pni=1ϕi(p)rix =Pni=1ϕi(p)xi = p, k²o theo α(x)α(x) = α(p) = α(x). Doâ (α(x))2=α(x) v x−α(x)x=x−p=q ∈Q∩RxM. Vªy x−α(x)x∈Rad(M). â (α(x))2=α(x) v x−α(x)x=x−p=q ∈Q∩RxM. Vªy x−α(x)x∈Rad(M).
(ii) ⇒(iii) Gi£ sû tçn t¤i α∈M∗ sao cho (α(x))2 =α(x) v x−α(x)x∈Rad(M). °t y=α(x)x∈Rx. Ta t½nh to¡n ÷ñc α(y)y=y, nâi c¡ch kh¡c, y l mët ph¦n tû ch½nh quy v x−y ∈ Rad(M). °t W ={w ∈M|α(w)y = 0}. Khi â, M =Ry⊕W
d¨n ¸nRx =Ry⊕(Rx∩W). M°t kh¡c,Rx∩W =R(x−y), ta câRx=Ry⊕R(x−y).
(iii)⇒(iv) Hiºn nhi¶n.
(iv)⇒(v) Gi£ sû tçn t¤i ph¦n tû ch½nh quy y∈M sao cho x−y∈Rad(M). Gåi
α ∈ M∗ l çng c§u thäa m¢n α(y)y = y. °t W = {w ∈ M| α(w)y = 0}. Khi â,
M°t kh¡c, Rx∩W = R(x−y) n¶n Rx = Ry ⊕R(x−y). X²t ph²p chi¸u ch½nh tc p : M = Ry ⊕W → Ry, câ ngh¾a l p(u+v) = u, vîi u ∈ Ry, v ∈ W v ph²p nhóng ch½nh tc j : Ry → M. °t γ : M → M, γ = j ◦p. D¹ d ng kiºm tra γ
thäa m¢n (γ)2 = γ, γ(M) = Ry. V¼ y l mët ph¦n tû ch½nh quy vîi α(y)y = y n¶n
α:Ry →R v {y} lªp th nh mët cì sð èi ng¨u cõa Ry. Khi â Ry l x¤ £nh. Do â (1−γ)(Rx) =Rx∩W =R(x−y)⊂Rad(M).
(v)⇒(i) Gi£ sû tçn t¤i mët tü çng c§u lôy ¯ng γ :M →M sao cho
γ(M)⊂RxP :=γ(M)
l x¤ £nh v x−γ(x)∈Rad(M). °tK := Ker(γ). D¹ d ng kiºm tra ÷ñcM =K⊕P
v K ∩ (Rx) = (1 − γ)(Rx). Thªt vªy, vîi z ∈ M, ta câ γ(γ(z)) = γ(z), suy ra
γ(z −γ(z)) = 0 hay z −γ(z) ∈ Ker(γ). Do â, M = K +P. N¸u z ∈ K ∩ P th¼
z =γ(u), u∈M v z =γ(u) =γ(γ(u)) =γ(z) = 0. VªyM =K⊕P. N¸uz ∈K∩(Rx)
th¼ z =z−γ(z) = (1−γ)(z)∈(1−γ)(Rx).
Ng÷ñc l¤i, n¸uz ∈(1−γ)(Rx), z =u−γ(u), u ∈Rx th¼γ(z) = γ(u)−γ(γ(u)) = 0, k²o theo z ∈ K. Rã r ng z = u−γ(u) ∈ Rx v¼ u, γ(u) ∈ Rx. Vªy z ∈ K ∩(Rx)
v K ∩(Rx) = (1 − γ)(Rx). Hiºn nhi¶n, (1 − γ)(Rx) l húu h¤n sinh, hìn núa
(1−γ)(Rx) ⊂ Rad(M). V¼ méi mæun con xiclic trong Rad(M) ·u l mæun con nhä cõa M n¶n (1−γ)(Rx) l mæun con nhä cõa M. Vªy Rx ch°n tr¶n h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh P cõa M.
H» qu£ 2.2.10 ([12], H» qu£ 1.4). Cho M l mët R-mæun v x, y ∈ M. Khi â, n¸u x−y∈Rad(M) v y l nûa ch½nh quy th¼ x l nûa ch½nh quy.
Chùng minh. V¼ y l nûa ch½nh quy n¶n theo M»nh · 2.2.9, tçn t¤i mët β ∈ M∗ sao cho (β(y))2 = β(y) v y −β(y)y ∈ Rad(M). °t z = β(y)y, ta câ β(z)z = β(y)β(y)β(y)y=β(y)y=z. Khi â,z l ph¦n tû ch½nh quy. B¥y giíx−z =x−β(y)y= x−y+y−β(y)y ∈Rad(M). Theo M»nh · 2.2.9, x l nûa ch½nh quy.
ành lþ 2.2.11 ([12], ành lþ 1.6). Cho M l mët R-mæun. C¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng.
(i) M l nûa ch½nh quy.
(ii) Vîi méi mæun con húu h¤n sinh N cõa M, tçn t¤i mët tü çng c§u lôy ¯ng
γ :M →M sao cho γ(M)⊂N, γ(M) l x¤ £nh v (1−γ)(N)⊂Rad(M). (iii) Måi mæun con húu h¤n sinh cõa M ·u ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤
£nh cõa M. Chùng minh.
(ii) ⇒ (iii) Gi£ sû N ≤ M l mët mæun con húu h¤n sinh v γ : M → M
l tü çng c§u lôy ¯ng sao cho γ(M) ⊂ N, γ(M) l x¤ £nh v (1 −γ)(N) ⊂ Rad(M). Khi â, M = γ(M)⊕(1−γ)(M). Chó þ l (1−γ)(M) = Ker(γ) v N ∩ (1−γ)(M) = (1−γ)(N). V¼ N l húu h¤n sinh n¶n (1−γ)(N) công l húu h¤n sinh. V¼ (1−γ)(N)⊂Rad(M) n¶n tçn t¤i c¡c ph¦n tû x1, . . . , xn ∈ Rad(M) sao cho
(1−γ)(N) =Rx1+. . .+Rxn. Ta câRxiM, ∀i= 1, . . . , n, k²o theo(1−γ)(N)M. i·u n y câ ngh¾a l N ch°n tr¶n h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh γ(M).
(iii)⇒(i) Hiºn nhi¶n.
(i) ⇒ (ii) Ph²p chùng minh ti¸n h nh quy n¤p theo sè ph¦n tû sinh cõa c¡c mæun cõa c¡c mæun con húu h¤n sinh. Tr÷îc h¸t, gi£ sû N l mët mæun con xiclic, N =Rx, x∈M. Theo M»nh · 2.2.9, N =Rx thäa m¢n (ii).
Gi£ sû k¸t luªn óng vîi måi mæun con húu h¤n sinh câ sè ph¦n tû sinh nhä thua n v x²t N = Rx1 + . . . +Rxn, n ≥ 2. Chån tü çng c§u lôy ¯ng
β : M → M sao cho β(M) ⊂ Rxn, β(M) l x¤ £nh v (1− β)(Rxn) ⊂ Rad(M). °t K = Pn−1
i=1(1−β)(Rxi). Bði gi£ thi¸t quy n¤p, chån ÷ñc δ : M → M sao cho
δ(M) ⊂ K, δ(M) l x¤ £nh v (1−δ)(K)⊂ Rad(M). ành ngh¾a γ = β+δ−δ◦β. Ta câ β◦δ = 0, k²o theo γ2=γ. Hìn núa, γ(M) =β(M)⊕δ(M), do â, γ(M) l x¤ £nh. V¼ N =K+Rxn n¶n γ(M)⊂N v (1−γ)(N) = (1−δ)◦(1−β)(N)⊂Rad(M). Ph²p chùng minh ho n th nh.
K¸t qu£ ti¸p theo cho i·u ki»n º mët mæun f-n¥ng l nûa ch½nh quy.
M»nh · 2.2.12 ([4], 22.25). Cho M l mët mæun x¤ £nh. C¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng.
(i) M l nûa ch½nh quy. (ii) M l f-n¥ng.
(iii) Vîi méi mæun con húu h¤n sinh (ho°c xiclic) N cõa M, mæun th÷ìngM/N
câ phõ x¤ £nh. Chùng minh.
(i)⇒(ii) Gi£ sû M l nûa ch½nh quy. Theo ành lþ 2.2.11, måi mæun con húu h¤n sinh cõa M ·u ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M. Vªy M l
f-n¥ng.
(ii) ⇒(iii) Gi£ sû N l mët mæun con húu h¤n sinh cõaM v ta câM =K⊕K0
vîi K, K0 ≤M, K ⊂N v N ∩K0K0. Khi â, M =N +K0 v
K0/(N ∩K0)∼= (N +K0)/N =M/N.
Gåi ϕ : (N +K0)/N → M/N l ¯ng c§u nâi tr¶n v kþ hi»u p: K0 → K0/(N ∩K0)
l ph²p chi¸u ch½nh tc. Khi â ϕ◦p:K0→M/N l mët to n c§u nhä v â ch½nh l phõ x¤ £nh cõa M/N v¼ K0 l x¤ £nh.
(iii)⇒(i) Gi£ sû r¬ng vîi méi mæun con xiclic N cõa M, mæun th÷ìng M/N
câ phõ x¤ £nh. Ta s³ chùng minh r¬ng M l nûa ch½nh quy. Gåi P l mæun x¤ £nh, β : P → M/N l phõ x¤ £nh cõa M/N v p : M → M/N l ph²p chi¸u ch½nh tc. V¼ M l x¤ £nh n¶n câ mët çng c§u ϕ : M → P sao cho p = β◦ϕ. D¹ th§y
P =ϕ(M)+Ker(β), k²o theoP =ϕ(M). Do âϕl to n c§u v ch´ ra v¼P l x¤ £nh. Gi£ sûM = Ker(ϕ)⊕M0. Khi â,Ker(ϕ)⊂Ker(β◦ϕ) = Ker(p) =N. °t K =: Ker(ϕ), ta câ N =K ⊕(N ∩M0). M°t kh¡c, M0 =∼ϕ(M0) =P v ϕ(N ∩M0) =Ker(β) P. i·u n y cho ta (N ∩M0) M0. Vªy N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M, hay M l nûa ch½nh quy.
Bê · 2.2.13 ([12], Bê · 1.9). Cho R-mæun M v x ∈ M. N¸u tçn t¤i α ∈M∗
sao cho (α(x))2 =α(x) v x−α(x)x l nûa ch½nh quy th¼ x l nûa ch½nh quy. Chùng minh. °t y = x−α(x)x. Th¸ th¼ y l nûa ch½nh quy. Bði M»nh · 2.2.9, tçn t¤i β ∈M∗ sao cho (β(y))2 =β(y) v y−β(y)y∈Rad(M).
°t β(y) =f ∈R v α(x) =e∈R, ta câ
e2 =e, f2 =f, ef =α(x)β(y) = α(x)β(x)−α(x)β(x) = 0.
Khi â e+f−f e∈R thäa m¢n (e+f−f e)2=e+f−f e, tùce+f−f e l ph¦n tû lôy ¯ng trong v nh R. Hìn núa,
x−(e+f−f e)x=x−α(x)x−β(y)x+β(y)α(x)x=y−β(y)y∈Rad(M).
B¥y gií ành ngh¾a çng c§u γ =α+ (β−α(β(x)))(1−e)∈M∗. T½nh to¡n ta nhªn ÷ñc γ(x) =e+f−f e, do â nh÷ tr¶n ¥y, (γ(x))2=γ(x). Hìn núa,
x−γ(x)x=x−(e+f −f e)x=y−β(y)y∈Rad(M).
B¥y gií, theo M»nh · 2.2.9, x l nûa ch½nh quy.
ành lþ 2.2.14 ([12], ành lþ 1.10). Cho M = ⊕i∈IMi l mët têng trüc ti¸p cõa hå mæun (Mi | i ∈ I). Khi â, M l nûa ch½nh quy khi v ch¿ khi méi Mi l nûa ch½nh quy.
Chùng minh. Gi£ sû N l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v x ∈ N. N¸u x l nûa ch½nh quy trongM th¼ bði M»nh · 2.2.9, tçn t¤i α∈M∗ sao cho (α(x))2 =α(x)v
x−α(x)x∈Rad(M). Kþ hi»u β l h¤n ch¸ cõa α l¶n N, câ ngh¾a l β ∈N∗, β(u) = α(u) tùc l u∈N. Th¸ th¼
(β(x))2 =β(x) v x−β(x)x=x−α(x)x∈Rad(M)∩N = Rad(N).
i·u n y cho ta x ∈N l mët ph¦n tû nûa ch½nh quy trong N. i·u n y câ ngh¾a l n¸u M l nûa ch½nh quy th¼ N l nûa ch½nh quy v do â c¡c Mi, i ∈ I l nûa ch½nh quy.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû x∈N l nûa ch½nh quy trong N v β ∈N∗ thäa m¢n(β(x))2= β(x) v x−β(x)x ∈ Rad(N). Gi£ sû M = N ⊕K, K ≤ M, v p : M → N l ph²p chi¸u ch½nh tc. °t α=β◦p∈M∗. Khi â,
(α(x))2 =α(x) v x−α(x)x=x−β(x)x∈Rad(N)⊂Rad(M).
Tø â, x l mët ph¦n tû nûa ch½nh quy trong M.
B¥y gií gi£ sû c¡c Mi, i∈I l nûa ch½nh quy. Ta s³ chùng minh M l nûa ch½nh quy. Vîi ph¦n tûy∈M, ta vi¸t y=y1+. . .+yn, yj ∈Mij. Th¸ th¼ y∈T =⊕n
j=1Mij. Rã r ng, n¸uT l nûa ch½nh quy th¼y l nûa ch½nh quy trongT, do â l nûa ch½nh quy trong M v¼ T l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M. Nh÷ vªy, º chùng minh M l nûa ch½nh quy, ta s³ chùng minh r¬ng n¸u M =N ⊕K, trong â N v K l nhúng mæun nûa ch½nh quy, th¼ M l nûa ch½nh quy.
Gi£ sû z ∈ M = N ⊕K câ biºu di¹n z = x+y, x ∈ N, y ∈ K. V¼ N l nûa ch½nh quy n¶n tçn t¤i α ∈ N∗ sao cho (α(x))2 =α(x) v x−α(x)x∈ Rad(N). ành ngh¾a α(u) = 0 vîi måi u ∈ K, ta câ çng c§u α ∈ M∗. Th¸ th¼ α(z) = α(x), k²o theo (α(z))2 = (α(x))2 = α(x) = α(z). M°t kh¡c, z−α(z)z = x+y−α(x+y)(x+ y) = (x− α(x)x) + (y −α(x)y) suy ra (z −α(z)z)− (y − α(x)y) = x− α(x)x. Rã r ng, y−α(x)y l nûa ch½nh quy trong K v do â l nûa ch½nh quy trong M, v
x−α(x)x∈Rad(M). Theo H» qu£ 2.2.10,z−α(z)z l nûa ch½nh quy trong M. B¥y gií, còng vîi (α(z))2 =α(z), ¡p döng Bê · 2.2.13, ta câ z l nûa ch½nh quy trong
M. Vªy M l nûa ch½nh quy.
Bê · 2.2.15 ([12], Bê · 1.16). Cho M l mët mæun x¤ £nh. Gi£ sû r¬ng
M =P +K, trong â P, K ≤M v P l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M. Th¸ th¼ tçn t¤i mæun Q⊂K sao cho M =P ⊕Q.
Chùng minh. Gi£ sû M = P ⊕P0, P0 ≤ M v γ : M → M, γ(x+y) = x vîi måi
x ∈ P, y ∈ P0. Th¸ th¼ (γ)2 = γ v γ(M) = P. kþ hi»u ϕ : M → M/K l ph²pchi¸u ch½nh tc, ϕ(x) = x+K vîi måi x ∈ M. Th¸ th¼ ϕ◦γ : M → M/K l mët chi¸u ch½nh tc, ϕ(x) = x+K vîi måi x ∈ M. Th¸ th¼ ϕ◦γ : M → M/K l mët
to n c§u. Bði M l x¤ £nh n¶n tçn t¤i α : M → M thäa m¢n ϕ◦γ ◦α = ϕ. °t
δ = γ+γ◦α◦(1−γ). Chó þ l (1−γ)◦γ = 0. Khi â ta câ (δ)2 =δ. Câ thº t½nh to¡n ÷ñc δ(M) = γ(M) = P v
Ker(δ) = (1−δ)(M) = [(1−γ◦α)◦(1−γ)](M)⊂Ker(ϕ) =K.
V¼δ l mët tü çng c§u lôy ¯ng cõa M n¶n ta câ M =δ(M)⊕Ker(δ) = P ⊕Q vîi
Q=Ker(δ)⊂K.
ành lþ 2.2.16 ([12], ành lþ 1.17). Cho M l mët mæun x¤ £nh vîi Rad(M) l nhä trong M. Gåi ϕ:M →M/Rad(M) l ph²p chi¸u ch½nh tc. Khi â, M l nûa ch½nh quy n¸u v ch¿ n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau.
(i) Måi mæun con húu h¤n sinh cõa ϕ(M) l mët h¤ng tû trüc ti¸p.
(ii) N¸u ϕ(M) = A⊕B, trong â A l húu h¤n sinh th¼ tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch
M =P ⊕Q sao cho ϕ(P) =A v ϕ(Q) =B.
Chùng minh. Gi£ sû M l nûa ch½nh quy v A ≤ ϕ(M) l húu h¤n sinh. Th¸ th¼ tçn t¤i N ≤ M l húu h¤n sinh sao cho ϕ(N) = A. Theo ành lþ 2.2.11, tçn t¤i mët tü çng c§u lôy ¯ng γ : M → M sao cho γ(M) ⊂ N, γ(M) l x¤ £nh v
(1−γ)(N)⊂Rad(M). Rã r ngM =N+Ker(γ), tø â suy raϕ(M) =ϕ(N)+ϕ(Ker(γ)). Gi£ sû
y∈ϕ(N)∩ϕ(Ker(γ)), y=ϕ(n) = ϕ(x), n∈N, x∈Ker(γ).
Th¸ th¼n−x∈Rad(M). Biºu di¹nn−x=n−γ(n) +γ(n)−xv chó þ l n−γ(n)∈ (1−γ)(N)⊂Rad(M). Tø âγ(n)−x∈Rad(M), k²o theoγ(n) = γ(γ(n)−x)∈Rad(M). Th¸ th¼ x∈Rad(M), do â y= 0. Bði vªy
ϕ(N)∩ϕ(Ker(γ)) = 0 v ϕ(M) =ϕ(N)⊕ϕ(Ker(γ)) =A⊕ϕ(Ker(γ)).
i·u n y chùng minh (i).
B¥y gií gi£ sû ϕ(M) = A⊕B, trong â A l húu h¤n sinh. Chån N v γ ð tr¶n. Vîi y ∈ M, chån x ∈ N v b ∈ B sao cho ϕ(y) = ϕ(x) +b. Gi£ sû b = ϕ(x1), ta câ
x1 ∈ ϕ−1(B), trong â, ϕ−1(B) ={x ∈ M| ϕ(x) ∈ B}. Th¸ th¼ ϕ(y) =ϕ(x) +ϕ(x1), k²o theo y− x− x1 ∈ Ker(ϕ) = Rad(M) ⊂ ϕ−1(B). V¼ x −γ(x) ∈ (1− γ)(N) ⊂ Rad(M) = Ker(ϕ) n¶n ta câ ϕ(x) = ϕ(γ(x)). Khi â, x−γ(x) ∈ Ker(ϕ) ⊂ ϕ−1(B). Tø â y ∈ γ(N) +ϕ−1(B) v ta câ M = γ(N) +ϕ−1(B). V¼ γ l mët lôy ¯ng n¶n
γ(N) =γ(M)l h¤ng tû trüc ti¸p cõaM n¶n theo Bê · 2.2.15 ta vi¸tM =γ(N)⊕Q
trong â Q⊂ϕ−1(B). B¥y gií, vîi (ϕ◦γ)(N) =ϕ(N) = A v ϕ(Q) = B ta câ (ii). Ng÷ñc l¤i, gi£ sû ta câ (i) v (ii). N¸u N ≤ M l húu h¤n sinh th¼ ϕ(N) = A
l húu h¤n sinh, do â l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa ϕ(M) theo gi£ thi¸t. Gi£ sû
ϕ(M) = ϕ(N)⊕B, B ≤ ϕ(M). Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i sü ph¥n t½ch M = P ⊕Q
sao cho ϕ(P) = A = ϕ(N) v ϕ(Q) = B. Nh÷ vªy, ϕ(M) = ϕ(N)⊕ϕ(Q). Tø â ta câ M = N +Q+ Rad(M). Nh÷ng Rad(M) l nhä trong M n¶n M = N +Q. N¸u
x∈N∩Q th¼ ϕ(x)∈ϕ(N)∩ϕ(Q) = 0, k²o theo N ∩Q⊂Ker(ϕ) = Rad(M). Bði vªy,
N ∩Q l nhä trong M v do â công l nhä trong Q v¼ Q l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M. B¥y gií ¡p döng Bê · 2.2.15, tçn t¤i Q1 ≤N sao cho M =Q1⊕Q. Vªy N
ch°n tr¶n h¤ng tû trüc ti¸p Q1 cõa M v M l nûa ch½nh quy.
M»nh · 2.2.17 ([12], M»nh · 1.21.). Cho M l mët mæun húu h¤n sinh. Khi â, M l nûa ch½nh quy n¸u v ch¿ n¸u M l x¤ £nh v måi mæun con húu h¤n sinh câ ph¦n phö trong M.
Chùng minh. Gi£ sû M l nûa ch½nh quy. Xem M l mæun con húu h¤n sinh th¼
M ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p x¤ £nh cõa M. Th¸ th¼ M l x¤ £nh. X²t N l mæun con húu h¤n sinh cõa M. Khi â N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p (x¤ £nh) cõa M. Theo M»nh · 2.1.1, tçn t¤i sü ph¥n t½ch M = X⊕X0 vîi x ⊂ N v
X0∩N X0. Th¸ th¼ M =N ⊕X0 v X0 l mët ph¦n phö cõa N.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû M l x¤ £nh v måi mæun con húu h¤n sinh câ ph¦n phö trong M. X²tN l mæun con húu h¤n sinh cõa M v gåi K ph¦n phö cõaN trong
M. Th¸ th¼,M =N+K v N∩K K. kþ hi»u ϕ:M →M/N l ph²p chi¸u ch½nh tc, ngh¾a l , ϕ(x) =x+N vîi måi x∈M. kþ hi»u ϕ1 l h¤n ch¸ cõa ϕ l¶n K, tùc
ϕ1 :K →M/N, ϕ1(x) =ϕ(x) =x+N vîi måi x∈K. V¼ M =N +K n¶n ϕ1 l mët to n c§u. Khi â, vîi M l x¤ £nh, tçn t¤i çng c§u α:M →K sao cho ϕ1◦α =ϕ. Gi£ sû y ∈ K. Th¸ th¼ tçn t¤i x ∈ M sao cho ϕ1(y) = ϕ(x). Vi¸t x =x1+x2, x1 ∈ N, x2∈K, ta câ ϕ(x) =ϕ(x2). Khi â, ϕ1(y) =ϕ(x2) = ϕ1(α(x2)) = ϕ(α(x2)). Tø â suy ray−α(x2)∈Ker(ϕ)∩K =N∩K. Th¸ th¼K =α(K) + (N∩K). V¼N∩K K
n¶n K = α(K). Vîi chó þ α(K)⊂ α(M)⊂ K, ta câ K =α(M). i·u n y suy ra K
l húu h¤n sinh bði M l húu h¤n sinh. Theo gi£ thi¸t, K câ mët ph¦n phö trong
M. Còng vîi K l ph¦n phö cõa N trong M, ta câ K l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa
M. B¥y gií còng vîi M =N +K v M l x¤ £nh, ¡p döng Bê · 2.2.15, M câ mët mæun con Q m Q⊂N, M =Q⊕K. Vîi N∩K K, ¡p döng M»nh · 2.1.1, ta câ N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M.
Nhªn x²t 2.2.18. Phõ x¤ £nh cõa mët mæun khæng nh§t thi¸t tçn t¤i. Sü tçn t¤i cõa phõ x¤ £nh quan h» ch°t ch³ vîi sü tçn t¤i cõa ph¦n phö v bði vªy câ quan h» vîi t½nh ch§t nûa ch½nh quy.
Ti¸p theo l mët k¸t qu£ v· mèi quan h» giúa sü tçn t¤i cõa phõ x¤ £nh v t½nh ch°n tr¶n h¤ng tû trüc ti¸p. p döng Bê · n y, chóng tæi thu ÷ñc mët v i k¸t qu£ v· d¤ng têng qu¡t hâa cõa mæun n¥ng.
Bê · 2.2.19 ([12], Bê · 1.2.). Cho M l mët mæun x¤ £nh v N l mët mæun con cõa M. Khi â, N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p cõaM n¸u v ch¿ n¸u mæun th÷ìng M/N câ phõ x¤ £nh.
Chùng minh. Tr÷îc h¸t, gi£ sû N ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M. Theo M»nh · 2.1.1, M câ sü ph¥n t½ch M = P ⊕Q vîi P ⊂ N v N ∩Q Q. Gåi
ϕ: M → M/N l ph²p chi¸u ch½nh tc, ngh¾a l , ϕ(x) = x+N vîi måi x∈ M. Kþ hi»uϕ1 l h¤n ch¸ cõaϕl¶nQ, ngh¾a l ϕ1 :Q→M/N, ϕ1(x) = x+N vîi måix∈Q. V¼M =N+Qn¶nϕ1 l mët to n c§u. Hìn núa,Ker(ϕ1) = Ker(ϕ)∩Q=N∩QQ. Hiºn nhi¶n Q l x¤ £nh. Vªy ϕ1:Q→M/N l phõ x¤ £nh cõa M/N.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû mæun th÷ìngM/N câ phõ x¤ £nhβ :P →M/N. Gåi ϕ:M → M/N l ph²p chi¸u ch½nh tc. V¼ M l x¤ £nh n¶n α : M → P sao cho β◦α = ϕ. Vîi ph¦n tû x∈P, tçn t¤i y∈M sao cho β(x) =ϕ(y) = (β◦α)(y) =β(α(y)). Tø â suy ra x−α(y) ∈ Ker(β) v P = α(M) + Ker(β), do â P = α(M) v¼ Ker(β) P. Th¸ th¼ α l mët to n c§u v v¼ vªy nâ ch´ ra, câ ngh¾a l tçn t¤i L ≤ M sao cho M = Ker(α)⊕L. Khi â, ¡nh x¤ thu hµp α1 : L → P cõa α l mët ¯ng c§u. °t K := Ker(α). Rã r ng K ⊂ Ker(β◦α) = Ker(ϕ) = N. Th¸ th¼ M =N +L. Vîi