M sao cho ≤N v N/Y /Y ).
1 H.Zoschinger, Komplementierte Moduln uber Dedekindringen, J.Algebra 29 (974), 42-
3.2.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t
ành ngh¾a 3.2.1 ([16]). Cho M l mët R-mæun. Khi â, M ÷ñc gåi l n¥ng èi húu h¤n n¸u måi mæun con èi húu h¤n N cõaM ·u ch°n tr¶n mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M, tùc l tçn t¤i mët h¤ng tû trüc ti¸p K cõa M sao cho K ≤N v
N/K M/K.
Nhªn x²t 3.2.2. Måi mæun n¥ng ·u l n¥ng èi húu h¤n v måi n¥ng èi húu h¤n húu h¤n sinh ·u l mæun n¥ng. Tuy nhi¶n, mæun n¥ng èi húu h¤n khæng nh§t thi¸t l mæun n¥ng.
V½ dö 3.2.3 ([16], V½ dö 1.1, V½ dö 1.2). Ta x²t c¡c v½ dö sau ¥y.
(i) Z-mæun Q c¡c sè húu t¿ l n¥ng èi húu h¤n nh÷ng khæng l n¥ng.
(ii) Cho R l mët mi·n nguy¶n vµn (giao ho¡n) khæng l mët tr÷íng v Q l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R. Gi£ sû I l mët tªp ch¿ sè khæng réng v M :=Q(I). Khi â, M khæng câ mæun con cüc ¤i n o v M l mæun con èi húu h¤n duy nh§t cõa M. Do â M l n¥ng èi húu h¤n. Gi£ sû R l mi·n Dedekind v I l mët tªp hñp væ h¤n. Khi â M khæng l mæun phö 2. Vªy M khæng l mæun n¥ng.
Ho n to n t÷ìng tü nh÷ mæun n¥ng t¤i ành lþ 2.1.5 v mæun cf-n¥ng t¤i ành lþ 2.2.14, ta câ ành lþ °c tr÷ng cõa mæun n¥ng èi húu h¤n.
ành lþ 3.2.4. Cho M l mët R-mæun. C¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng. (i) M l n¥ng èi húu h¤n.
(ii) Vîi méi mæun con èi húu h¤n N cõa M, tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch M = M1⊕M2 sao cho M1⊂N, N ∩M2 M.
(iii) Méi mæun con èi húu h¤n N cõa M câ thº ÷ñc biºu di¹n N =N1⊕N2 vîi
N1 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v N2M.
Chùng minh. (i) ⇒ (ii) Vîi mæun con èi húu h¤n N cõa M, tçn t¤i h¤ng tû trüc ti¸p M1 sao cho N ch°n tr¶n M1. Khi â, M1 ≤ N v N/M1 M/M1. Gi£ sû
M =M1⊕M2 vîi M2 ≤ M. Th¸ th¼ ta câ mët ¯ng c§u, kþ hi»u ϕ: M/M1 → M2
x¡c ành bði x = x1 +x2, ϕ(x+M1) = x2 vîi x ∈ M. D¹ d ng t½nh to¡n ÷ñc
ϕ(N/M1) = N∩M2. V¼ N/M1M/M1 n¶n N ∩M2M2.
(ii) ⇒(iii) Vîi mæun con èi húu h¤n N cõa M, tçn t¤i mët sü ph¥n t½ch M = M1⊕M2 sao choM1 ⊂N, N∩M2 M. Khi â, câ sü ph¥n t½ch N =M1⊕(N∩M2). °t N1:=M1, N2:=N ∩M2 ta câ i·u c¦n chùng minh.
(iii)⇒(i) Vîi mæun con èi húu h¤n N cõa M, N ÷ñc biºu di¹n N =N1⊕N2
vîi N1 l mët h¤ng tû trüc ti¸p cõa M v N2 M. X²t ph²p chi¸u ch½nh tc
p : M → M/N1, p(x) = x +N1 vîi måi x ∈ M. D¹ d ng kiºm tra ÷ñc p(N2) = p(N) = N/N1. V¼ N2 M n¶n N/N1 M/N1. Do â N ch°n tr¶n N1. Vªy M l n¥ng èi húu h¤n.
Nhc l¤i, mët mæunM ÷ñc gåi l mæun phö èi húu h¤n (t÷ìng ùng, ⊕-phö èi húu h¤n) n¸u måi mæun con èi húu h¤n cõa M ·u câ mët ph¦n phö (t÷ìng ùng, ·u câ mët ph¦n phö l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M). Tø ành lþ 3.2.4, ta câ H» qu£ sau ¥y.
H» qu£ 3.2.5. Cho M l mët mæun n¥ng èi húu h¤n. Khi â, M l ⊕-phö èi húu h¤n v do â l phö èi húu h¤n.
Chùng minh. Gi£ sû M l n¥ng èi húu h¤n v N l mët mæun con èi húu h¤n cõa M. Theo ành lþ 3.2.4, M câ sü ph¥n t½ch M = K ⊕K0 vîi K ≤ N v
N∩K0K0. Chó þ l M =N+K0. Khi â,K0≤⊕M l mët ph¦n phö cõa N. Vªy
M l ⊕-phö èi húu h¤n.
M»nh · £o cõa H» qu£ 3.2.5 khæng óng. Ta x²t v½ dö d÷îi ¥y.
V½ dö 3.2.6 ([16], V½ dö 1.3). Cho p l mët sè nguy¶n tè, kþ hi»u M l Z-mæun
(Z/pZ)⊕(Z/p3Z). Khi â, M l ⊕-phö èi húu h¤n nh÷ng khæng l n¥ng èi húu h¤n.
Nhªn x²t 3.2.7. i·u cán ch÷a bi¸t l mët mæun n¥ng èi húu h¤n câ l phö èi húu h¤n õ hay khæng v do â công ch÷a bi¸t ÷ñc nâ câ l "n¥ng èi húu h¤n" theo ành ngh¾a cõa R.Tribak hay khæng.
M»nh · 3.2.8. Cho M l mët mæun n¥ng èi húu h¤n. Khi â, måi mæun con èi âng èi húu h¤n cõa M ·u l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M.
Chùng minh. Gi£ sû N l mët mæun con èi âng èi húu h¤n cõa M. Khi â, tçn t¤i h¤ng tû trüc ti¸p H cõa M sao choH ≤N v N/H M/H, nâi c¡ch kh¡c,
H l mæun con èi cèt y¸u cõa N trong M. Nh÷ng N l èi âng trong M n¶n
N =H.
Nh÷ ¢ bi¸t, mæun M l n¥ng n¸u v ch¿ n¸u M l phö õ v måi mæun èi âng cõa M l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M (xem ành lþ 2.1.5). èi vîi mæun n¥ng èi húu h¤n, ta câ M»nh · sau.
M»nh · 3.2.9 ([16], M»nh · 3.6). Cho M l mët mæun sao cho måi mæun con èi húu h¤n cõa M ·u câ bao èi âng trong M. Khi â, M l n¥ng èi húu h¤n n¸u v ch¿ n¸u måi mæun con èi âng èi húu h¤n cõa M ·u l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M.
Chùng minh. i·u ki»n c¦n ¢ ÷ñc chùng minh t¤i M»nh · 3.2.8.
Gi£ sû måi mæun con èi âng èi húu h¤n cõa M ·u l h¤ng tû trüc ti¸p cõa M. X²t N l mët mæun con èi húu h¤n cõa M. Theo gi£ thi¸t, N câ bao
èi âng K trong M. Nh÷ vªy, K l mæun con èi cèt y¸u cõa N trong M, tùc l