1- Kiến thứ c cần vận dụng:
- Bất đẳng thức trong tam giác:
- Với ba điểm bất kỳ A,B,C ta luôn có AB +BC ≥ CA Dấu "=" xảy ra khi B năm giữa A và C
- Tổng quát: Cho n điểm bất khì A1,A2 , .,A… n ta luôn có A1A2+A2A3+ + A… n-1 An ≥A1An
Dấu "=" xảy ra khi xảy ra khi các Ai i=1,2, .,n-1 liên tiếp nằm giữa A… 1 ,An
2- Bài tập mẫu:
Bài 1: Chứng minh rằng ∀ a,b ta có a2+4+ (a−b)2+1+ (b−3)2+1 ≥ 5
Giải
Trên mặt phẳng toạ độ lấy các điểm: A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3) Khi đó ta có: AB= a2+4,BC = (a−b)2 +1,CD = (b−3)2 +1,
AD= (3−0)2+(3+1)2 =5 mà ta luôn có AB+BC+CD ≥ AD Vậy a2+4+ (a−b)2+1+ (b−3)2 +1 ≥ 5
Dấu "=" xảy ra khi B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bài 2: Cho 0 < a,b,c ≤ 1 chứng minh a+b+c ≤ 1+ab +bc +ca
Giải:
Xét tam giác đều ABC Gọi M, N, P lần lợt
là các điểm trên AB,AC,BC sao cho AM=a BP =b và CN =c Khi đó diện tích của tam giác AMN là
S AMN = 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60o =
43 a(1-c) 3 a(1-c) Tơng tự ta có SBMP= 4 3 b(1-a) và SCNP = 4 3 c(1-b)
Mặt khác ta có SAMN+S BMP +SCNP ≤ S =0,5.AB. AC Sin 60o=
43 3 ⇔ 4 3 a(1-c)+ 4 3 b(1-a)+ 4 3 c(1-b) ≤ 4 3 ⇔ a (1-c)+ b (1-a)+ c (1-b) ≤ 1
⇔ a+b+c ≤ 1+ab +bc +ca
Bài 3: Cho x,y,z,t là các số dơng hãy chứng minh rằng:
2
2 z
x + . y2 +z2 + y2+t2 . x2 +z2 ≥ (x+y)(z+t)
Giải:
Vì x, y, z, t là các số dơng nên luôn tồn tại tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O và OA=x , OC=y, OB =z, OD =t
khi đó ta có AB= x2+z2 , BC= y2+z2
CD = y2+t2 , DA= x2 +z2
SABC= 0,5. AB. h ≤ 0,5 AB.BC SACD = 0,5 AD. l ≤0,5. AD.DC
⇒ SABCD ≤ 0,5 (AB.BC +AC.D C)
⇔ 0,5(x+y)(z+t) ≤ 0,5 ( x2+z2 . y2 +z2 + y2+t2 . x2 +z2 )
⇔ x2 +z2 . y2+z2 + y2+t2 . x2+z2 ≥ (x+y)(z+t) (đpcm)
3- Bài tập áp dụng: