1- Kiến thức cần vận dụng:
- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 ) a)Nếu ∆ = b2-4ac <0 thì a.f(x) >0 ∀ x R ∋ x
b) Nếu ∆ =0 Thì a.f(x) ≥ 0 , ∀ x R ∋ x Dấu "=" xảy ra khi x=-b:2a
c) Nếu ∆ ≥ 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1, x2 ta có x . x1 x2
af(x) - 0 + 0 -
- Nếu tam thức bậc hai f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 )
tồn tai số t sao cho a.f(t) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < t < x2
- Nếu tồn tại t,k sao ch f(t)f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong hai số t,k có môt số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm.
2- Bài tập mẫu:
a- Dạng thứ nhất:
Để chứng minh ax2 + bx+ c ≥0 ta đi chứng minh a >0 và ∆ ≤0 Bài 1: a Chứng minh rằng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 ≥ 4xy3
b) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 ≥ a (b + c + d + e )
Giải:
a) Ta có x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3≥0 Biển đổi tơng đơng ta đợc:
x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3≥0 ⇔ (y2+1)2. x2+ 4y (1-y2).x +4y2 ≥0
Ta thấy (y2+1)2. x2+ 4y (1-y2).x +4y2 là tam thức bạc hai đối với biến x vì
“a”= (y2+1)2 >0 Xét ∆’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16. y2 ≤ 0 ∀ y
⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ 0 đúng ∀ x,y
⇒ x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 ≥ 0
⇒Vậy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 ≥4xy3
b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 ≥ a (b + c + d + e )
⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) ≥ 0
⇔Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) là tam thức bậc hai đối với biến a Ta có “a”=1 > 0 ∆ =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc: ∆ ≥(1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e 2) - 4 (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 đúng ∀ b,c,d,e ⇒ a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) ≥ 0 ∀a, b,c,d,e ⇒ Vậy: a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 ≥ a (b + c + d + e )
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2
b- Dạng thứ hai: Để chứng minh b2-4ac = 0 ta chứng minh a.f(x) ≥ 0 Trong đó f(x) =ax2 +bx +c (a khác 0 ) Bài 2: Cho -1 ,= x ≤ 0,5; và 3 2 6 5 < < − y Chứng minh rằng x2 +3xy +1 >0 Giải: Đặt f(x) = x2 +3xy +1 ta có ∆ = 9y2 - 4 = (3y-2)(3y+2) ⇒ ∆ < 0 ⇔ 3 2 3 2 < < − y ⇔ 3 2 6 4 < < − y Theo bài ra ta có: 3 2 6 5 < < − y ⇒ ∆ < 0 ⇒ x2 +3xy +1 >0
Bài 3: Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện: x+y+z=xyz và x2 =xy Chứng minh rằng x2 ≥ 3
Giải:
Theo bài ra ta có x+y+z=xyz và x2 =xy ⇒ x+y+z = x3 ⇒ y+z =x(x2 -1) Và yz =x2 ⇒ y,z là nghiệm của phơng trình t2 +(x-x3) t + x2 =0 (1)
Xét ∆ =(x-x3)2-4x2 =x2[(x2-1)2-4] ≥ 0 do (1) có nghiệm ⇒(x2-1)2-4 ≥0
⇔ (x2+1)(x2-3) ≥ 0 do (x2+1) ≥ 0 ⇔ x2 ≥ 3 3-Bài tập áp dụng:
1/ Cho các số thực x,y,z thoả man điều kiện x+y+z =5 và xy+xz+yz =8 Chứng minh rằng; 1 ≤ x,y,z ≤
37 7
2/ Giả sử x1 ,x2 là nghiệm của phơng trình: x2+k.x + a =0 (a khác 0). tìm tất cả các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )3+(x2: x1 )3 ≤52
3/ Giả sử x1 ,x2 là nghiệm của phơng trình: x2+2k.x + 4 =0 (a khác 0). tìm tất cả các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau: (x1: x2 )2+(x2: x1 )2 ≥ 3