4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
4.2. Mở rộng Γ mụđun kiểu Γ mụđun chộo aben
Mục này được dành để trỡnh bày sự phõn lớp cỏc mở rộng Γ-mụđun kiểu
Γ-mụđun chộo aben. Mở rộng này là sự tổng quỏt của mở rộng Γ-mụđun (xem Mục 2.3) và mở rộng nhúm aben kiểu mụđun chộo aben (xem Mục 3.3). Trước hết chỳng tụi trỡnh bày cỏc khỏi niệm phạm trự Picard phõn bậc chặt chẽ và
Γ-mụđun chộo aben.
Từ định nghĩa Γ-mụđun chộo bện (Định nghĩa 4.1.1), ta gọi một Γ-mụđun chộo aben M là một Γ-mụđun chộo bện (B, D, d, ϑ, η) cú ϑ = 0, η = 0. Khi đú d
là một đồng cấu của cỏc Γ-mụđun. Γ-mụđun chộo aben M cũn được ký hiệu là
(B, D, d). Một đồng cấu (f1, f0) : (B, D, d) → (B0, D0, d0) giữa hai Γ-mụđun chộo aben bao gồm cỏc Γ-đồng cấu f1 :B →B0 và f0 :D→D0 thỏa món f0d =d0f1.
Phộp dựng một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện từ một Γ-mụđun chộo bện (xem Mục 4.1) đảm bảo rằng mỗiΓ-mụđun chộo abenMxỏc định một phạm trự phõn bậc P mà KerP là phạm trự Picard chặt chẽ. Ta gọi P là một
phạm trự Picard phõn bậc chặt chẽ.
4.2.1 Định nghĩa. Giả sử M = (B, D, d) là một Γ-mụđun chộo aben và Q là một Γ-mụđun. Khi đú một mở rộng Γ-mụđun của B bởi Q kiểu Γ-mụđun chộo aben Mlà một biểu đồ cỏc Γ-đồng cấu
E : 0 //B j //E p // ε Q //0, B d //D (4.2.1)
trong đú dũng trờn là khớp và(idB, ε) : (B, E, j)→(B, D, d)là một đồng cấu của cỏc Γ-mụđun chộo aben.
Chỳ ý rằng khi Γ = 1 thỡ mở rộng 1-mụđun kiểu 1-mụđun chộo aben chớnh là một mở rộng aben kiểu mụđun chộo aben.
Hai mở rộng E và E0 được gọi là hai mở rộng tương đương nếu tồn tại đồng cấuΓ-mụđunα:E →E0 sao cho biểu đồ (3.3.2) giao hoỏn vàε0α=ε. Hiển nhiờn
α là một Γ-đẳng cấu.
Mỗi mở rộng E cảm sinh một đồng cấu Γ-mụđun ψ : Q → Cokerd sao cho trong biểu đồ (3.3.3), hỡnh vuụng bờn phải giao hoỏn. Hơn nữa, đồng cấu ψ
chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E. Tập cỏc lớp tương đương của cỏc mở rộng Γ-mụđun của B bởi Q kiểu Γ-mụđun chộo aben M cảm sinh
ψ :Q→Cokerd được ký hiệu là
ExtMZΓ(Q, B, ψ).
Bõy giờ, để nghiờn cứu tập này chỳng tụi sẽ ỏp dụng lý thuyết cản trở cho cỏc hàm tử monoidalΓ-phõn bậc đối xứng giữa cỏc phạm trự PicardΓ-phõn bậc chặt chẽ DisΓ,sQ và PM, trong đú DisΓ,sQ đó được xõy dựng ở Mục 2.3 và nú cũng chớnh là phạm trự Picard Γ-phõn bậc chặt chẽ liờn kết với Γ-mụđun chộo aben (0, Q,0).
Tương tự như đối với bài toỏn mở rộng aben kiểu mụđun chộo aben ở Mục 3.3, ở đõy chỳng tụi sẽ sử dụng kỹ thuật hệ nhõn tử đối với cỏc mở rộngΓ-mụđun
kiểu Γ-mụđun chộo aben. Bổ đề sau đõy trỡnh bày phộp dựng mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben cảm sinh ψ từ hàm tử monoidal đối xứng Γ-phõn bậc
DisΓ,sQ→ PM.
4.2.2 Bổ đề. Giả sử M = (B, D, d) là một Γ-mụđun chộo aben, Q là một
Γ-mụđun vàψ :Q→Cokerdlà một Γ-đồng cấu. Khi đú, với mỗi hàm tử monoidal đối xứng Γ-phõn bậc (F,Fe) : DisΓ,sQ→ PM thỏa món F(0) = 0 và cảm sinh một cặp đồng cấu Γ-mụđun (ψ,0) : (Q,0)→ (Cokerd,Kerd), tồn tại mở rộng EF cảm sinh ψ.
Mở rộng EF được gọi làmở rộng tớch chộo liờn kết với hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (F,Fe).
Chứng minh. Giả sử (F,Fe) : DisΓ,sQ → PM là một hàm tử monoidal đối xứng phõn bậc. Khi đú (F,Fe) xỏc định một hàm f :Q2∪(QìΓ)→B được cho bởi
(f(u, v),1) =Feu,v, (f(u, σ), σ) = F(u(0→,σ)σu).
Từ định nghĩa mũi tờn trong PM ta được
σF(u) =df(u, σ) +F(σu), (4.2.2)
F(u) +F(v) = df(u, v) +F(u+v), (4.2.3) Ta sẽ chỉ ra rằng f là một 2-đối chu trỡnh chuẩn tắc thuộc ZΓ2,s(Q, B). Hàm
f là chuẩn tắc theo nghĩa
f(u,1Γ) = 0, f(u,0) = 0 =f(0, v).
Thật vậy, do F bảo toàn mũi tờn đồng nhất nờn đẳng thức đầu tiờn đỳng. Cỏc đẳng thức cũn lại được suy ra từ giả thiếtF(0) = 0và tớnh tương thớch của (F,Fe)
với cỏc ràng buộc đơn vị.
Theo phộp chứng minh của Bổ đề 4.1.7, hàm f thỏa món cỏc hệ thức (4.1.4)-(4.1.7). Tuy nhiờn, ở đõy f nhận giỏ trị trong B (thay cho Kerd0).
Với 2-đối chu trỡnh f, ta dựng được tớch chộo E0 = B ìf Q với cấu trỳc
Γ-mụđun bởi cỏc phộp toỏn
σ(b, u) = (σb+f(u, σ), σu).
Khi đú tồn tại dóy khớp
EF : 0→B →j0 E0 →p0 Q→0,
trong đú j0(b) = (b,1) và p0(b, u) = u với b∈B và u∈Q.
Mặt khỏc, từ giả thiết(F,Fe)cảm sinh một đồng cấuΓ-mụđunψ :Q→Cokerd
bởi ψ(u) = [F u]∈Cokerd ta cú phần tử F u là một hệ đại diện của Cokerd trong
D. Khi đú với (b, u)∈E0, ta xỏc định được ỏnh xạ ε :E0 →D bởi
ε(b, u) =db+F u. (4.2.4) Hơn nữa, hai điều kiện (4.2.2) và (4.2.3) đảm bảo cho ε là một Γ-đồng cấu. Dễ thấy rằng Γ-đồng cấu ε thỏa món ε◦j0=d. Ngoài ra, với mọi u∈Q,
ε(b, u) =q(db+F u) =q(F u) = ψ(u) = ψp0(b, u),
nghĩa là mở rộng EF cảm sinh Γ-đồng cấu ψ :Q→Cokerd.
Trong bổ đề trờn, hàm f mụ tả một hàm tử monoidal Γ-phõn bậc đối xứng từ DisΓ,sQ đến PM là một hệ nhõn tử đối với mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben M. Khi Γ = 1, hàm f chớnh là hệ nhõn tử đối với mở rộng aben kiểu mụđun chộo aben được xột trong Mục 3.3.
Định lý sau đõy trỡnh bày sự phõn lớp cỏc mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben nhờ vào cỏc hàm tử monoidal đối xứng phõn bậc.
4.2.3 Định lý. (Lý thuyết Schreier cho cỏc mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben) Cho Γ-mụđun chộo aben M = (B, D, d), Γ-mụđun Q và Γ-đồng cấu
ψ :Q→Cokerd. Khi đú tồn tại một song ỏnh
Ω : Hom(ψ,0)[DisΓ,sQ,PM]→ExtMZΓ(Q, B, ψ),
trong đú Hom(ψ,0)[DisΓ,sQ,PM] là tập cỏc lớp đồng luõn của cỏc hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng kiểu (ψ,0) giữa phạm trự Picard phõn bậc chặt chẽ DisΓ,sQ
và PM.
Chứng minh. Bước 1: Hai hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (F,Fe) và (F0,Fe0)
Trước hết vỡ mỗi hàm tử monoidal Γ-phõn bậc đối xứng (F,Fe) đồng luõn với một hàm tử monoidal Γ-phõn bậc đối xứng (G,Ge) cú tớnh chấtG(0) = 0 nờn cỏc hàm tử monoidal Γ-phõn bậc đối xứng được sử dụng trong phộp chứng minh này được giả thiết là cú tớnh chất này.
Giả sử F, F0 : DisΓ,sQ → PM là hai hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng đồng luõn bởi đồng luõn α : F → F0. Khi đú tồn tại hàm g : Q → B sao cho
αu = (g(u),1), nghĩa là
F(u) = dg(u) +F0(u). (4.2.5) Tớnh tự nhiờn và điều kiện khớp của đồng luõn α kộo theo g(0) = 0 và
f(u, σ) +g(σu) =σg(u) +f0(u, σ), (4.2.6)
f(u, v) +g(u+v) =g(u) +g(v) +f0(u, v). (4.2.7) Mặt khỏc, Bổ đề 4.2.2 đảm bảo rằng tồn tại hai mở rộng EF và EF0 liờn kết tương ứng với F và F0 và do đú cỏc hệ thức (4.2.6) và (4.2.7) kộo theo ỏnh xạ
α∗:EF →EF0, (b, u)7→(b+g(u), u)
là một đồng cấu Γ-mụđun. Dễ thấy α∗ là một đẳng cấu. Hơn nữa, hai hệ thức (4.2.4) và (4.2.5) suy ra
ε0α∗(b, u) =ε0(b+g(u), u) =d(b+g(u)) +F0u
=d(b) +d(g(u)) +F0u=d(b) +F u=ε(b, u).
Vậy hai mở rộng EF và EF0 tương đương.
Ngược lại, giả sử EF và EF0 là hai mở rộng tương ứng liờn kết với (F,Fe) và
(F0,Fe0). Nếu α∗ :EF →EF0 là một tương đương giữa hai mở rộng thỡ dễ thấy
α∗(b, u) = (b+g(u), u),
trong đú hàm g : Q → B thỏa món g(0) = 0. Thực hiện ngược lại cỏc lập luận trờn, ta được αu= (g(u),1) là một đồng luõn của (F,Fe) và (F0,Fe0).
Bước 2: Ω là toàn ỏnh.
Giả sửE là một mở rộngΓ-mụđunE củaB bởiQkiểuΓ-mụđun chộo abenM
cảm sinhψ :Q→Cokerd. Ta chứng tỏ E tương đương với một mở rộng tớch chộo
Với mỗi u∈ Q, ta chọn phần tử đại diện eu ∈ E sao cho p(eu) = u, trong đú
e0 = 0. Mỗi phần tử trongE cú thể biểu diễn duy nhất dưới dạng b+eu vớib ∈B
và u ∈ Q. Hệ đại diện {eu} cảm sinh một hàm chuẩn tắc f : Q2∪(QìΓ) → B
cho bởi
eu+ev =f(u, v) +eu+v, (4.2.8)
σeu =f(u, σ) +eσu. (4.2.9) Tiếp theo ta sẽ dựng hàm tử monoidal phõn bậc (F,Fe) : DisΓ,sQ→ PM. Do
ψ(u) =ψp(eu) =qε(eu) nờnε(eu)là một đại diện của ψ(u)trong D. Khi đú ta đặt
F(u) = ε(eu), F(u→σ σu) = (f(u, σ), σ), Feu,v = (f(u, v),1).
Cỏc hệ thức (4.2.8) và (4.2.9) lần lượt chứng tỏF(σ)và Feu,v là cỏc mũi tờn trong
PM. Luật giao hoỏn, luật kết hợp và tớnh Γ-nhúm của B lần lượt kộo theo cỏc hệ thức (4.1.4)-(4.1.7). Những hệ thức này lần lượt chứng tỏ (F,Fe) tương thớch với cỏc ràng buộc kết hợp, ràng buộc giao hoỏn, tớnh tự nhiờn củaFex,y và F bảo toàn hợp thành của cỏc mũi tờn.
Mặt khỏc, giả sử EF là mở rộng tớch chộo liờn kết với (F,Fe). Khi đú đẳng cấu
α: (b, u)7→b+eu đảm bảo rằng E và EF tương đương.
Định lý tiếp theo chỉ ra sự tồn tại và phõn lớp đối đồng điều cỏc mở rộng
Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben M nhờ vào lý thuyết cản trở của cỏc hàm tử monoidal đối xứng phõn bậc và lý thuyết Schreier cho cỏc mở rộng Γ-mụđun kiểu Γ-mụđun chộo aben (Định lý 4.2.4). Trước hết, chỳng tụi cần mụ tả cản trở của cặp Γ-đồng cấu (ψ,0) : (Q,0)→(Cokerd,Kerd).
Giả sử P là một phạm trự PicardΓ-phõn bậc liờn kết vớiΓ-mụđun chộo aben
(B, D, d). Vỡ π0(P) = Cokerd và π1(P) = Kerd nờn phạm trự Picard Γ-phõn bậc thu gọn P(h) của P cú dạng
P(h) =
Z
Γ
(Cokerd,Kerd, h), h∈ZΓ3,s(Cokerd,Kerd).
Khi đú, theo (1.2.8) Γ-đồng cấu (ψ,0) : (Q,0) → (Cokerd,Kerd) cảm sinh một cản trở
4.2.4 Định lý. Giả sử M = (B, D, d) là một Γ-mụđun chộo aben và ψ : Q →
Cokerd là một đồng cấu Γ-mụđun. Khi đú
(i) Sự triệt tiờu của ψ∗h trong HΓ3,s(Q,Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng E kiểu M cảm sinh ψ;
(ii) Khi ψ∗h triệt tiờu thỡ tồn tại một song ỏnh
ExtM
ZΓ(Q, B, ψ)↔HΓ2,s(Q,Kerd).
Chứng minh. (i) Vỡ ψ∗h = 0 nờn theo Mệnh đề 1.5.3 (ii), tồn tại một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng (Ψ,Ψ) : Dise Γ,sQ → P(h). Bằng việc lấy hợp thành của (Ψ,Ψ)e và hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng chớnh tắc (H,He) : P(h) → P
ta được Γ-hàm tử monoidal đối xứng (F,Fe) : DisΓ,sQ→ P, do đú từ Bổ đề 4.2.2 ta thu được mở rộng liờn kết EF.
Ngược lại, ta giả sử rằng
E : 0→B →j E →p Q→0
là một mở rộng kiểu M cảm sinh ψ. Gọi P0 là một Γ-phạm trự Picard phõn bậc chặt chẽ liờn kết với Γ-mụđun chộo aben (B, E, j). Khi đú theo Bổ đề 4.1.7, tồn tại một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng F : P0 → P. Do phạm trự Picard Γ-phõn bậc thu gọn của P0 là DisΓ,sQ nờn Mệnh đề 1.5.2 đảm bảo rằng
F cảm sinh một hàm tử monoidal phõn bậc đối xứng kiểu (ψ,0) từ (Q,0,0) tới
(Cokerd,Kerd, h). Hơn nữa, Mệnh đề 1.5.3 (ii) kộo theo cỏi cản trở của cặp (ψ,0)
triệt tiờu trong HΓ3,s(Q,Kerd).
(ii) Do P(h) là phạm trự Picard phõn bậc thu gọn của P nờn tồn tại một song ỏnh tự nhiờn
Hom[DisΓ,sQ,P]↔Hom[DisΓ,sQ,P(h)]. (4.2.10)
Vỡ π0(DisΓ,sQ) = Q và π1(P(h)) = Kerd nờn song ỏnh (4.2.10) cựng với
Định lý 4.2.3 và Mệnh đề 1.5.3 (ii) kộo theo
ExtZMΓ(Q, B, ψ)↔HΓ2,s(Q,Kerd).
Định lý được chứng minh.
Chỳ ý rằng khi Γ = 1, tập ExtMZ (Q, B, ψ) chớnh là tập cỏc lớp tương đương của cỏc mở rộng aben kiểu mụđun chộo aben được nghiờn cứu trong Mục 3.3. Vỡ vậy, Định lý 4.2.4 chứa Định lý 3.3.4.