4 Γ mụđun chộo bện và nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ bện
5.4. Hợp thành của nhúm phạm trự phõn bậc với Γ-đồng cấu
E : 0→A−→i B −→q Π →1,
trong đú A là nhúm aben thỡ tồn tại mở rộng E0 của A bởi Π0 sao cho E0 =Eγ. Trong định lý sau đõy, chỳng tụi xột bài toỏn tương tự cho trường hợp nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ.
5.4.1 Định lý. Giả sử H là một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ với cỏc bất biến Π, C, h và p : Π0 → Π là một đồng cấu nhúm đẳng biến. Khi đú tồn tại nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ G tương đương với R
Γ(Π0, C, h0), trong đú C là
Π0-mụđun với tỏc động xc=p(x)c với x∈Π0, c∈C và h0 =p∗h.
Chứng minh. Ta xõy dựng nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ G như sau. Tập vật của G là
Ob(G) ={(x, X)| x∈Π0, X ∈p(x)}
Một σ-mũi tờn (x, X) → (x, Y) là một bộ ba (x, u, σ), trong đú u : X → Y là
σ-mũi tờn trong H. Hợp thành của hai mũi tờn (x, X)−−−−→(x,u,σ) (x, Y)−−−−→(x,v,τ) (x, Z)
là
(x, v, τ)◦(x, u, σ) = (x, v◦u, τ σ).
Tớch tenxơ trờn cỏc vật và cỏc mũi tờn của G được xỏc định
(x, u, σ)⊗(y, v, σ) = (xy, u⊗v, σ).
Đối với mũi tờn (x, u, σ) trong G, ta cú
(x, u, σ)−1 = (x, u−1, σ−1).
Hai hàm tử phõn bậc gr :G →Γ và I : Γ→ G lần lượt cho bởi
(x, u, σ)7→σ,
σ 7→((1, I)−−−−−→(1,idI,σ) (1, I)).
Vật đơn vị củaGlà(1, I)vớiI là vật đơn vị củaH. Cỏc ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị là cỏc đồng nhất. Giả sử H cú hệ nhõn tử chớnh qui {FHσ, σ ∈Γ}. Khi đú G cú hệ nhõn tử chớnh qui {FGσ, σ ∈Γ} với
FGσ(x, X) = (x, FHσX), FGσ(x, u, τ) = (x, FHσ(u), τ).
Vỡ vậy G là một nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh G tương đương với nhúm phạm trự phõn bậc chặt chẽ RΓ(Π0, C, h0). Ta xỏc định cặp ỏnh xạ (λ, f), trong đú
λ:π0(G)→Π0,
[(x, X)]7→x,
f :π1(G)→π1(H) =C.
(1, c, σ)7→(c, σ)
Khi đú λ là một đẳng cấu của cỏc Γ-nhúm và f là một đẳng cấu Π0-mụđun
Γ-đẳng biến, trong đú C cú cấu trỳc Π0-mụđun bởi xc=p(x)c, x ∈Π0, c ∈C. Hàm tử monoidal phõn bậc (F,Fe) :G → H được cho bởi
F(x, X) =X, F(x, u, σ) = (u, σ), Fe=id.
Khi đú (F,Fe) cảm sinh hàm tử monoidal phõn bậc (φ,φe) : G(hG) → H(h) với
H(h) = RΓ(Π, C, h) và do đú
φ[(x, X)] =F0[(x, X)] = [F(x, X)] = [X] =p(x) =pλ[(x, X)], φ(1, c, σ) =F1(1, c, σ) =γF−(11,I)F(1, c, σ) =γI−1(c, σ) = (c, σ) =f(1, c, σ),
trong đú (c, σ) là một mũi tờn trong H(h). Vỡ vậy (φ,φe) là một hàm tử kiểu (pλ, f).
Giả sử hG ∈ZΓ3(π0(G), π1(G)). Theo [11, Định lý 3.2], cản trở của cặp (pλ, f)
phải triệt tiờu trong H3(π0G, π1H) =H3(π0G, C), nghĩa là
(pλ)∗h=f∗hG +δφ.e
Nếu ta đặth0 =f∗hG thỡ cặpJ = (λ, f)và Je=idlập thành một hàm tử monoidal phõn bậc từ G(hG) đến J =RΓ(Π0, C, h0). Khi đú hợp thành
G(−→ GG,Ge) (hG)(−→ JJ,Je)
là một tương đương từ G đến J.
Cuối cựng, ta chứng minh rằngh0 thuộc cựng lớp đối đồng điều với p∗h. Thật vậy, giả sử K = (λ−1, f−1) : J → G(hG). Khi đú K cựng với Ke = id là một hàm tử monoidal phõn bậc và hợp thành
(φ,φe)◦(K,Ke) :J → H(h)
là một hàm tử monoidal phõn bậc làm cho biểu đồ sau giao hoỏn
G(hG) H(h) J - φ @ @ @ I K φ◦K
Rừ ràng φ◦K là một hàm tử monoidal phõn bậc kiểu (p, id) và vỡ vậy cản trở của φ◦K triệt tiờu. Do đú ta cúp∗h−h0 =∂g, nghĩa là h0=p∗h.
5.4.2 Nhận xột.
(i) Trong trường hợp đặc biệt khi Γ = 1, từ Định lý 5.4.1 ta thu được Mệnh đề 14 trong [35].
(ii) Nhúm phạm trự phõn bậc G được gọi là nhúm phạm trự phõn bậc hợp thành của nhúm phạm trự phõn bậc H với Γ-đồng cấu p và ký hiệu làG =H ◦p.
Theo Định lý 5.4.1, do
G ◦idπ0G =G, G ◦(p◦p0) = (G ◦p)◦p0