Quan hệ giữa ứng suất - biến dạng của thép gồm ba đoạn chính, giai đoạn đầu thép còn làm việc đàn hồi, quan hệ giữa ứng suất - biến dạng là đường thẳng, khi thép vượt qua giới hạn chảy dẻo, đối với thép có cường độ càng cao vùng từ biến càng nhỏ tức là giai đoạn biến dạng tăng nhưng cường độ của thép không thay đổi. Giai đoạn cuối cùng là lúc này biến dạng và ứng suất trong thép cùng gia tăng theo quan hệ parabol tới cường độ phá hoại của thép.Theo Priestly (1996), quan hệ giữa ứng suất - biến dạng của thép A615 Grade 60 ( 420 MPa) được xác định theo công thức sau:
( ) ( ) 0.12 1.5 0.5 ( ) 0.112 s y s s s y s sh s y s sh s su s y f E MPa f f MPa f f MPa (2.23) Trong đó: fy 420MPa;y 0.00207;sh 0.008;su 0.12
Hình 2.17. Quan hệ ứng suất - biến dạng của thép ASTM A615 Grade60 2.5.Phương pháp phần tử hữu hạn
2.5.1.Giới thiệu
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác không thể tìm được bằng phương pháp giải tích.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung. Trong phạm vi của mỗi phần tử nghiệm được chọn là một hàm số nào đó được xác định thông qua các giá trị chưa biết tại điểm nút của phần tử gọi là hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện cân bằng của phần tử. Tập tất cả các
phần tử có chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút liên kết giữa các phần tử. Giải hệ phương trình này sẽ tìm được các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hoàn toàn được xác định trên mỗi một phần tử.
Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề về trạng thái ổn định), hoặc chuyển phương trình vi phân từng phần sang một phương tình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, …
Phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm. Trong phương pháp phần tử hữu hạn miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là các ẩn số cần tìm của bài toán.
Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương pháp xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách đểlàm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm. Phương pháp phần tử hữu hạn là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện được bằng phương pháp phần tử hữu hạn.
2.5.2.Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn trong ANSYS 2.5.2.1.Loại phần tử 2.5.2.1.Loại phần tử
Đầu vào cho phân tích phần tử hữu hạn là một mô hình hình học, khi hình học chia lưới sẽ được điền đầy bởi các nút và phần tử. Chúng có vai trò rất quan trọng trong việc giải bài toán.
A. SOLID65
Thể hiện ứng xử của vật liệu bê tông cho mô hình là rất quan trọng. Bê tông là vật liệu giòn và ứng xử khác nhau khi kéo và nén. Độ bền kéo của bê tông thường là 8-15% cường độ nén (Shah và đồng nghiệp, 1995)
Bê tông là một vật liệu không đồng nhất tạo thành từ vữa, xi măng và cốt liệu. Thuộc tính cơ khí của nó phân tán rộng rãi và không thể được định nghĩa một cách dễ dàng. Tuy nhiên, để thuận tiện cho phân tích và thiết kế, bê tông thường được coi là một vật liệu đồng nhất theo nghĩa vĩ mô. Các ứng xử nứt của bê tông chịu kéo, vỡ trong quá trình nén, các hiệu ứng phụ thuộc vào thời gian như từ biến, co rút, và sự thay đổi nhiệt độ, phản ứng phi tuyến của các cấu kiện bê tông có thể được quan sát. Ứng xử phi tuyến của bê tông có thể chia sơ bộ thành 3 giai đoạn: đàn hồi, phát triển vết nứt và phá hoại.
Phần tử khối SOLID65 được sử dụng để mô hình bê tông. Phần tử này có 8 nút với 3 bậc tự do tại mỗi nút đó là: chuyển vị theo phương x, y, z. Phần tử này có khả năng biến dạng dẻo, vết nứt có thể xảy ra theo các phương trực giao và phần tử có khả năng bị nén vỡ. Đặc trưng hình học và vị trí nút của loại phần tử này được chỉ ra trong hình 3.1.
Hình 2.18. Phần tử khối bê tông Solid65 B. Phần tử LINK180
Để mô phỏng cốt thép trong bê tông, có thể sử dụng 3 dạng mô hình được thể hiện hình 2.19.
(a) Mô hình phân tán (b) Mô hình nhúng (c) Mô hình rời rạc Hình 2.19. Các mô hình cốt thép trong bê tông cốt thép
Trong mô hình “phân tán” (a), cốt thép được giả thiết là phân tán vào các phần tử bê tông theo một góc định hướng cho trước. Vai trò của cốt thép được thể hiện qua việc làm tăng độ cứng cũng như cường độ của các phần tử bê tông này theo hướng đặt cốt thép. Trái với mô hình “phân tán”, trong mô hình “nhúng”(b), cốt thép được quan niệm là các phần tử riêng biệt và một số điểm tương thích về chuyển vị (hay còn gọi là điểm đồng chuyển vị) với bê tông. Do việc định nghĩa điểm có đồng chuyển vị giữa bê tông và thép khiến mô hình hóa trở nên phức tạp nên mô hình “nhúng” ít được sử dụng.
Nếu hai mô hình trên đều phải giả thiết bám dính giữa bê tông và cốt thép là tuyệt đối thì mô hình “rời rạc” (c) lại có thể xét được trượt giữa bê tông và cốt thép. Trong đó, cốt thép được mô hình hóa bằng phần tử giàn một chiều (chỉ chịu kéo hoặc nén) có liên kết chốt ở hai đầu thông qua nút chung giữa phần tử bê tông và cốt thép. Vì thế, việc theo dõi ứng suất trong bê tông và cốt thép thuận tiện hơn. Cũng như mô hình “nhúng”, nhược điểm của mô hình này là không xét được thể tích chiếm chỗ của thép trong bê tông.
Trong luận văn này, học viên sử dụng mô hình phân ly cho tổ hợp bê tông với cốt thép. Mô hình này xem các phần tử là không giống nhau để xử lý, tức là bê tông và cốt thép ta chia tự mỗi bộ phận thành từng phần tử nhỏ, coi cốt thép là một loại vật liệu nhỏ dài, thông thường có thể bỏ qua cường độ kháng cắt hướng ngang, vì vậy có thể xem cốt thép là phần tử thanh nên dùng phần tử LINK180 trong ANSYS để mô hình. LINK180 là phần tử dạng thanh có 2 nút với 3 bậc tự do chuyển vị dài cho mỗi nút.
Hình 2.20. Mô hình phần tử LINK180 trong ANSYS C. SHELL181
Phần tử SHELL181 là phần tử tấm vỏ có 4 nút với 6 bậc tự do tại mỗi nút, bao gồm 3 bậc tự do chuyển vị và ba bậc tự do góc xoay theo các phương x, y, z . Phần tử này thường được dùng để mô hình cho các tấm mỏng và cho kết quả rất tốt với các bài toán cho các thép tấm (trụ cầu, xà mũ, gân tăng cứng, dầm …).
Hình 2.21. Mô hình phần tử SHELL181 trong ANSYS
Trong luận văn này, tác giả sử dụng phần tử SHELL181 để xây dựng mô hình PTHH cho cốt cứng (thép hình chữ I). Do mỗi nút của phần tử này có 6 bậc tự do nên chúng ta phải dùng kỹ thuật Couple dof để xử lý mối liên kết giữa bê tông và cốt cứng. Cụ thể, trong quá trình xây dựng mô hình hình học cho mô hình dầm, ta phải dùng các mặt phẳng để cắt mô hình dậm tại các vị trí có bố trí thép hình, nhằm tạo ra sự trùng nhau giữa một số nút của SOLID65 và tập nút của phần tử SHELL181. ANSYS hỗ trợ hai cách để Couple Dof:
- Cách thứ nhất là sử dụng lệch Couple Dof: lựa chọn các nút có tọa độ trùng nhau và ràng buộc các bậc tự do giống nhau, cụ thể là ba bậc tự do chuyển vị dài của tập nút thuộc cốt cứng và tập nút của bê tông (trùng với tập nút của cốt cứng).
- Cách thứ hai (phù hợp với ANSYS phiên bản 19.0): Sau khi tạo ra 2 tập nút trùng nhau của 2 loại phần tử, ta tiến hành Merge các nút trùng lại, khi đó ANSYS sẽ tự động ràng buộc các bậc tự do giống nhau giữa hai loại phần tử.
2.5.2.2.Dữ liệu đầu vào trong Ansys
Kiểu phẩn tử (Type 1) được dùng cho phần tử SOLID65.Các phần tử SOLID65đòi hỏi các thuộc tính vật liệu tuyến tính đẳng hướng và đa tuyến tính
đẳng hướng để mô hình thích hợp bê tông.Mô hình vật liệu đẳng hướng đa tuyến tính sử các tiêu chuẩn phá hủy Von-Mises cùng với mô hình Willam và Warnke (1974) để xác định sự phá hủy của bê tông. Ex là mô đun đàn hồi của bê tông và PRXY là hệ số Poisson ( )
Mô hình vật liệu Willam và Warnke (1974) trong ANSYS đòi hỏi các hằng số khác nhau được xác định (SAS 2003)
- Shear transfer coefficients for an open crack (βo= 0,25÷0,5): hệ số truyền lực cắt của vết nứt mở.
- Shear transfer coefficients for a closed crack (βc = 0,9÷1,0): hệ số truyền lực cắt của vết nứt khép.
- Ultimate uniaxial tensile cracking stress ( ft): Ứng suất nứt đơn trục của bê tông.
- Ultimate uniaxial compressive strength ( fc' 1): Cường độ nén đơn trục của bê tông.
- Elastic modulus (Ec): Mô đun đàn hồi. - Poisson's ratio (ν): Hệ số poisson.
- Đường cong quan hệ ứng suất- biến dạng.
Hệ số truyền lực điển hình trượt khoảng 0 đến 1, với 0 thể hiện một vết nứt trơn (mất hoàn toàn chuyển giao trượt) và 1 thể hiện một vết nứt thô (không có tổn thất chuyển giao trượt).
Các hệ số truyền lực trượt cho vết nứt mở và đóng được xác định bằng công trình của Kachlakev, v.v... (2001) như là một cơ sở.Vấn đề hội tụ xảy khi hệ số truyền lực trượt cho các vết mở giảm xuống dưới 0,2.Không có sự sai lệch đáng kể trong kết quả đối với sự thay đổi của hệ số.Vì vậy, hệ số cho các vết mở được thiết lập với giá trị 0,3.
Giá trị ứng suất nứt đơn trục của bê tông được xác định:
' 0, 6 1,5
r c
f f (2.24)
Ứng suất nén vỡ đơn trục trong mô hình này là dựa trên cường độ nén đơn trục, được nhập là -1 để tắt khả năng nén vỡ của các phần tử bê tông như đề xuất bởi (Kachlakev, et al 2001).Vấn đề hội tụ đã được lặp lại khi khả năng nén vỡ được bật.
Ứng suất nén vỡ song trục đề cập đến cường độ cực hạn nén song trục . Trạng thái ứng suất thủy tĩnh được ký hiệu là . Trạng thái ứng suất này được định nghĩa: 1 3 h xp yp zp (2.25)
Trong đó: là các ứng suất chính trong hướng chính.Ứng suất song trục nén vỡ trong trạng thái ứng suất thủy tĩnh đề cập đến cường độ nén cực hạn cho trạng thái của song trục nén chồng vào trạng thái ứng suất thủy tĩnh ( ). Ứng suất đơn trục nén vỡ trong tình trạng ứng suất thủy tĩnh đề cập đến cường độ nén tói hạn cho một trạng thái nén đơn trục chồng vào trạng thái ứng suất thủy tĩnh ( ).
Bề mặt phá hủy có thể được định nghĩa tối thiểu là hai hằng số, và . Các biến còn lại trong mô hình bê tông để mặc định dựa trên các phương trình: (SAS năm 2003)
(2.26) Các trạng thái ứng suất chỉ có giá trị cho trạng thái ứng suất đáp ứng các điều kiện:
(2.27) Đường cong ứng suất- biến dạng được thiết lập theo Hodnestad (1951), tuy nhiên, ta không xét đến đoạn biến mềm do hạn chế của phần mềm.
' cb f h , , xp yp zp 1 f 2 f t f ' c f ' ' ' ' ' ' 1 2 1, 2 ; 1, 45 ; 1, 725 cb c c c f f f f f f ' 3 h fc
Hình 2.22. Đường cong ứng suất- biến dạng của bê tông
Kiểu phẩn tử (Type 2) được dùng cho phần tử LINK180. Phần tử LINK180 được dùng cho thép dọc.Mô hình vật liệu được sử dụng là song tuyến tính, đẳng hướng. Mô hình này cần có những giá trị mô đun đàn hồi,cường độ chảy (fy) và mô đun cát tuyến chảy dẻo.
Hình 2.23. Đường cong ứng suất- biến dạng của thép 2.6.Phân tíchkết cấu bằng chương trình ANSYS
Trình tự phân tích một bài toán trong chương trình ANSYS
- Chọn kiểu phần tử: Với các bài toán trong luận văn, ta chọn kiểu phần tử SOLID65, SHELL181 và LINK180.
- Khai báo vật liệu: cần khai báo các tính chất của vật liệu chế tạo vật thể, như mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, trọng lượng riêng, ...
- Xây dựng mô hình hình học: vẽ kết cấu cần khảo sát, bằng cách cho tọa độ từng điểm trong một hệ trục tọa độ đã được chọn trước.
- Xây dựng mô hình phần tử: Thiết lập kích thước phần tử, cách thức chia lưới và tiến hành chia lưới mô hình.
- Đặt các điều kiện biên: lựa chọn ràng buộc bậc tự do của những nút đặc biệt trong mối liên kết giữa các phần tử với nhau, các phần tử với giá. Đặt tải trọng tác dụng lên vật thể khảo sát. Tải trọng có thể là lực tập trung, lực phân bố, mô men, áp suất.
- Chọn các yêu cầu khi giải bài toán: chọn các thuật toán phù hợp khi giải bài toán, như chọn số bước con khi tính, chỉ tiêu hội tụ, cách xuất kết quả vào file dữ liệu, ....
- Xử lý kết quả: kết quả tính toán sau khi chạy chương trình có thể xuất ra dưới dạng các giá trị, các đồ thị, các bảng, file dữ liệu. Ứng suất và biến dạng của vật thể có thể xuất ra dưới dạng ảnh đồ phân bố trường, cho phép quan sát và nhận biết được trường phân bố của các giá trị ứng suất.
Chương 3. PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM BÊ TÔNG CỐT CỨNG BẰNG CHƯƠNG TRÌNH ANSYS
3.1.Mô hình bài toán dầm
3.1.1.Mô hình hình học
Xét mô hình dầm bê tông cốt cứng(FEB) được tham khảo theo [2]. Mô hình thí nghiệm dầm được trình bày trong hình 3.1. Mặt cắt ngang của dầm được mô tả trong hình 3.2.Thông số kích thước thiết diện ngang và cường độ vật liệu dầm FEBđược trình bày trong bảng 3.1.Dầm FEB được gia cường với bốn cốt thép dọc có đường kính 14mm và 1 thép hình chữ I. Khoảng cách từ lớp bê tông bao ngoài đến phần cốt thép là 40mm.
Hình 3.2. Mặt cắt ngang dầm FEB [2]
Bảng 3.1. Thông số kích thước thiết diện ngang và cường độ vật liệu dầm FEB [2]
Mẫu dầm B (mm) D (mm) b (mm) d (mm) 𝑑𝑠 (mm) 𝑏𝑓 (mm) 𝑡𝑓 (mm) 𝑡𝑤 (mm) 𝐴𝑦𝑠 (𝑚𝑚2) 𝑓𝑐′ (MPa) 𝑓𝑦𝑠 (MPa) 𝑓𝑦𝑐 (MPa) A1 250 400 52 100 200 146 8 6 3440 19.7 280 355 A2 250 400 60 81 238 130 5 5 3440 25.5 420 355