Ta xét tấm sàn thép hình vuông (a=10m) với hai trường hợp điều kiện biên (biên tựa dọc chu vi tấm và biên ngàm dọc chu vi tấm). Để xét sự hội tụ của lời giải, hệ nút được bố trí đều theo hai phương và tăng dần như sau: 21×21 (441 nút), 27×27 (729 nút), 33×33 (1225 nút).
4 biên tựa đơn 4 biên ngàm
Hình 4.1. Bài toán tấm hình vuông chịu tải phân bố đều
Với các nút được bố trí đều, hệ lưới phần tử cho tấm hình vuông được thể hiện như hình 4.2
Hình 4.2. Hệ lưới phần tử cho trường hợp 441 nút 4.1.1. Tấm hình vuông bốn biên tựa
Kết quả khảo sát bài toán tấm hình vuông với 4 cạnh tựa chịu tải phân bố đều được trình bày trong bảng 4.1.
Qua đó, sự hội tụ của phương pháp cũng được thể hiện khi việc sai số giảm dần giữa các trường hợp khi độ mảnh tăng dần. Khi tăng dần độ mảnh thì hệ số tải trọng dần chuyển về đường nằm ngang và hội tụ và khi đó ta xem như bài toán tấm mỏng như hình 4.3. Kết quả được so sánh với kết quả tấm Mindlin 5 bậc tự do sử dụng cùng phương pháp EFG.
Bảng 4.1. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm vuông 4 biên tựa khi tấm mỏng dần
Hệ số độ mảnh
21x21 27x27
Nghiên cứu này Tham khảo* Nghiên cứu này Tham khảo*
1 9,107 8,983 9,024 8,860 2 17,507 16,384 17,464 16,314 4 21,458 20,048 21,449 20,117 8 21,570 20,720 21,449 20,781 10 21,575 20,842 21,558 20,916 20 21,591 21,038 21,566 21,137 40 21,607 21,102 21,591 21,261 100 21,688 21,180 21,656 21,342
* Theo bài báo của luận văn Hồ Thị Đoan Trang tấm Mindlin 5 BTD sử dụng EFG
Bảng 4.2. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm vuông 4 biên tựa
Tác giả Số BTD Phương pháp L 100
t L 1
t
Nghiên cứu này 5 NS_DSG3 21,656 9,024
H.T.Đ Trang (2017) 5 EFG 21,342 8,860
C.V. Le (2013)[20] 3 ES-DSG3 25,050 9,030
(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)
(c) DLO
Hình 4. 4. Cơ cấu phá hoại của tấm hình vuông 4 biên tựa ở trạng thái giới hạn
So sánh giữa kết quả của nghiên cứu này và các nghiên cứu được công bố của các tác giả khác được trình bày trong bảng 4.2
Hệ số tải trọng thu được trong bài toán tấm hình vuông 4 biên tựa chịu tải phân bố đều trong nghiên cứu này là P
2 M λ 21,656 qa với tấm mỏng L 100 t và P 2 M λ 9,024 qa
đối với tấm dày L 1
t
tương ứng với hệ 729 nút . Kết quả
khi xem xét tấm dày có độ chênh lệch rất thấp (1,47 % so với H.T.Đ Trang (2017)). Điều này thể hiện sự tương đồng khi tính toán lý thuyết tấm dày 5 bậc tự do.và khi tấm mỏng dần cũng mang kết quả tương đồng (1,85 % so với H.T.Đ Trang (2017)). Ta thấy giá trị của phương pháp này chênh lệch so với các nghiên cứu trước đây là tương đương nhau, cho thấy, phương pháp này cho kết quả đáng tin cậy. Phương pháp NS-DSG3 đã đưa số biến của bài toán theo số nút lưới phần tử. Điều này giúp giảm được chi phí tính toán. Bên cạnh đó, phương pháp
được xây dựng trên phương pháp phần tử hữu hạn nên chi phí tính toán về việc xây dựng hàm dạng so với việc xây dựng hàm dạng không lưới.
Cơ cấu phá hoại thu được từ phương pháp này tương đồng với cơ cấu phá hoại thu được từ phương pháp DLO đối với trường hợp tấm mỏng. Đối với tấm hình vuông 4 biên tựa chịu tải phân bố đều, ta thấy đường chảy dẻo có xu hướng hình thành góc 45 độ từ góc tấm. Tuy nhiên điểm khác biệt khi trường hợp tấm đủ dày thì cơ cấu phá hoại vẫn dọc theo biên. Điều này có thể giải thích là tấm dày có xu hướng phá hoại cục bộ dọc biên nên khác đường chảy dẻo của tấm mỏng.
4.1.2. Tấm hình vuông bốn biên ngàm
Kết quả khảo sát bài toán tấm BTCT hình vuông với 4 cạnh ngàm chịu tải phân bố đều được trình bày trong bảng 4.3 thể hiện độ hội tụ của lời giải.
Bảng 4. 3. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm vuông 4 biên ngàm
Số nút (Mp/qa2) Sai số (%)
441 41,05
729 40,56
1089 40,20
Khảo sát bài toán tấm hình vuông với 4 cạnh ngàm chịu tải phân bố đều. Khi bài toán có chiều dày mỏng dần sẽ có nghiệm hội tụ về lý thuyết tấm mỏng. Kết quả khảo sát sự ảnh hưởng của việc thay đổi chiều dày tấm được thể hiện thông qua bảng 4.3. Kết quả đã thể hiện như mong đợi khi hội tụ dần về với sự chênh lệch giữa các trường hợp độ mảnh giảm dần từ 49,79 % đến 0,05%. Điều này thể hiện được sự hội tụ của phương pháp.
Bảng 4. 4. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm vuông 4 biên ngàm khi mỏng dần
Hệ số độ mảnh
21x21 27x27
Nghiên cứu này
Tham khảo* Nghiên cứu này Tham khảo* 1 9,12 9,03 9,04 8,87 2 18,13 17,94 17,99 17,67 4 30,58 30,77 30,40 30,18
10 38,78 40,18 38,68 40,07
20 39,37 40,81 39,15 40,52
40 39,92 40,91 39,49 40,55
100 41,00 41,05 40,19 40,56
* Theo bài báo của H.T.Đ Trang (2017) tấm Mindlin 5 BTD sử dụng EFG
Hình 4.5. Hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm vuông bốn biên ngàm Bảng 4.5. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm vuông 4 biên ngàm
Tác giả Số BTD Phương pháp L 100
t L 1
t
Nghiên cứu này 5 NS-DSG3 40,19 9,04
H.T.Đ Trang (2017) 5 EFG 40,56 8,87
C.V. Le et al. (2016) [18] 3 MeshFree 45,87 8,86
C.V. Le (2013) [20] 3 ES-DSG 46,84 9,02
C.V. Le et al. (2010) [19] 3 HTC&EM 45,12 -
Capsoni and Corradi (1999)[5] - FEM 46,18 -
Hệ số tải trọng giới hạn của bài toán tấm hình vuông 4 biên ngàm thu được từ phương pháp này là P
2
M λ 40,19
qa
P 2
M λ 9,04
qa
đối với tấm dày (L/t=1) tương ứng với hệ 729 nút. Kết quả khi xem xét tấm dày có độ chênh lệch rất thấp (1,86 % so với H.T.Đ Trang (2017)). Điều này thể hiện sự tương đồng khi tính toán lý thuyết tấm dày 5 BTD. Kết quả chênh lệch khi xem xét tấm mỏng dần 0,90 % so với H.T.Đ Trang (2017). Ta thấy giá trị của phương pháp này chênh lệch so với các nghiên cứu trước đây là tương đương nhau, cho thấy, phương pháp này cho kết quả đáng tin cậy. Sự chênh lệch này là do ảnh hưởng tương đối giữa hai lý thuyết 3 BTD và 5 BTD.
(a) Cơ cấu phá hoại (b) Cơ cấu phá hoại sử dụng DLO
Hình 4. 6. Cơ cấu phá hoại tấm hình vuông 4 biên ngàm ở trạng thái giới hạn
Cơ cấu phá hoại thu được từ phương pháp này tương tự với cơ cấu thu được từ phương pháp Discontinuity Layout Optimisation (DLO) trong luận án tiến sĩ của tác giả C.V. Le và cả 2 cơ cấu này phù hợp với phá hoại thực tế của tấm sàn hình vuông biên ngàm chịu tải phân bố đều. Cơ cấu phá hoại được thể hiện thông qua các vị trí tập trung mật độ lớn năng lượng tiêu tán dẻo (ở vị trí nào có năng lượng tiêu tán dẻo lớn thì sự phá hoại xuất hiện ở đó). Qua sự tập trung năng lượng tiêu tán, tấm sàn 4 biên ngàm có xu hướng tập trung dọc theo biên, rẽ quạt xuất phát từ tâm tấm và mở rộng dần ra phía ngoài, hướng về 4 góc, một điểm đáng lưu ý là ở 4 góc không bị chảy dẻo, đường chảy dẻo tạo thành một đường cong nội tiếp các cạnh.
4.2. Tấm hình chữ nhật
Các thông số giống như bài toán tấm hình vuông chỉ thay đổi sự khảo sát tấm hình chữ nhật chịu tải trọng phân bố đều. Tấm được khảo sát có chiều dài gấp đôi chiều rộng . Hai trường hợp được xem xét là biên tựa theo chu vi tấm và biên ngàm theo chu vi tấm. Sự hội tụ của lời giải được đánh giá thông qua việc giảm dần chiều dày tấm. Qua đó, hệ số tải trọng giới hạn và cơ cấu phá huỷ của tấm được quan tâm.
Hình 4. 7. Bài toán tấm chữ nhật chịu tải phân bố đều
Hình 4. 8. Lưới phần tử tam giác nền T3 cho phần tử NS-FEM
4.2.1. Tấm hình chữ nhật bốn biên ngàm (b=2a)
Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh của tấm và lưới tăng dần được thể hiện trong bảng 4.6 với kích thước tấm a = 5m và b =
10m. Qua đó, sai số giữa hệ số tải trọng giới hạn của các trường hợp giảm dần từ 88,72 % với tấm dày L 2 t và 5,40% đối với tấm mỏng 100 L t . Điều này
thể hiện sự hội tụ của phương pháp khi tấm ngày càng mỏng dần và lưới dày hơn.
Bảng 4. 6. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm chữ nhật 4 biên ngàm
L/t Lưới nút 21x11 (Mp/qab) Sai số (%) 1 13,940 - 2 26,309 88,72% 4 40,684 54,64% 8 47,405 16,52% 10 47,925 1,10% 20 49,083 2,42% 40 50,902 3,71% 100 53,652 5,40%
Bảng 4. 7. So sánh hệ số tải trọng giới hạn tấm chữ nhật 4 biên ngàm
Hệ số độ mảnh
Nghiên cứu
này Tham khảo*
1 13,940 14,22 2 26,309 26,38 4 40,684 42,06 8 47,405 52,20 10 47,925 53,92 20 49,083 53,11 40 50,902 53,16 100 53,652 53,24
Hình 4. 9. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm chữ nhật 4 biên ngàm
Bên cạnh đó, ta thấy độ dốc của phương pháp trong hình 4.9 lớn thể hiện tốc độ hội tụ nhanh. Với sai số của hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật là 0.77 % so với tác giả C.V. Le (2017). Hai phương pháp có cùng số bậc tự do dần hội tụ về giá trị khi tấm mỏng dần.
(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)
Hình 4. 10. Cơ cấu phá hoại tấm chữ nhât bốn biên ngàm
Ngoài ra, hình 4.10 thể hiện sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo ở trường hợp tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật. Trường hợp tấm dày, năng lượng tiêu tán thể hiện trên biên và bo tròn tại các góc tấm. Qua đó, tấm sẽ bị phá hoại cục bộ trên biên tấm. Trường hợp tấm mỏng, năng lượng tiêu tán dẻo xuất hiện cả bên trong tấm và trên biên tấm.
4.2.2. Tấm hình chữ nhật bốn biên tựa (b=2a)
Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh và lưới của tấm tăng dần được thể hiện trong bảng 4.8 với kích thước tấm a=5m và b=10m. Qua đó, sai số giữa hệ số tải trọng giới hạn của các trường hợp giảm dần từ 73,58 % với tấm dày L 2 t và 0,18 % đối với tấm mỏng 100 L t . Điều này thể
hiện sự hội tụ của phương pháp khi tấm ngày càng mỏng và lưới chia dày hơn
Bảng 4.8. Hệ số tải trọng giới hạn tấm chữ nhật bốn biên tựa.
L/t
21x11 40x20
(Mp/qab) Sai số (%) (Mp/qab) Sai số (%)
1 13,782 - 13,686 - 2 23,747 72,31 23,755 73,58 4 25,833 8,79 25,718 8,26 8 25,879 0,18 25,737 0,07 10 25,891 0,05 25,739 0,01 20 25,936 0,17 25,749 0,04 40 25,994 0,23 25,767 0,07 100 26,139 0,56 25,814 0,18
Bảng 4.9. So sánh hệ số tải trọng tấm 4 chữ nhật 4 biên tựa
Hệ số độ mảnh Nghiên cứu này Tham khảo*
1 13,686 13,54
2 23,755 21,15
4 25,718 24,79
10 25,739 25,29
20 25,749 25,30
40 25,767 25,33
100 25,814 25,36
* Theo bài báo của H.T.Đ Trang (2017) tấm Mindlin 5 BTD sử dụng EFG
Hình 4.11. Hệ số tải trọng giới hạn tấm chữ nhật bốn biên tựa
Bên cạnh đó, độ dốc của phương pháp trong hình 4.11 lớn thể hiện tốc độ hội tụ nhanh. Với sai số của hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật là 1,80 % so với tác giả H.T.Đ Trang (2017). Giá trị trong trường hợp tấm mỏng là lớn hơn so với kết quả H.T.Đ Trang (2017). Do trong phương pháp này
(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)
Hình 4.12. Cơ cấu phá hoại của tấm chữ nhật bốn biên tựa.
Ngoài ra, hình 4.12 thể hiện sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo ở hai trường hợp tải trọng giới hạn của tấm hình chữ nhật bốn biên tựa. Trường hợp tấm dày, năng lượng tiêu tán tập trung dọc biên cạnh dài và cắt ngang tấm. Qua đó, tấm sẽ bị phá hoại cục bộ trên biên cạnh dài của tấm và bị gãy đôi. Trường hợp tấm mỏng, năng lượng tiêu tán dẻo xuất hiện cả bên trong tấm và có hướng xiên ra các góc của tấm..
Bảng 4.10. So sánh hệ số tải trọng giới hạn bài toán tấm chữ nhật
Tác giả Bậc tự do Phương pháp MP qab 4 Ngàm 4 Tựa đơn
Nghiên cứu này 5 NS-DSG3 53,625 25,814
H.T.Đ Trang (2017) 5 EFG 53,24 25,36
C.V. Le et al. [18] 3 MeshFree 56,22 28,98
C.V. Le et al. [19] 3 HCT-EM 54,61 29,88
Kết quả thu được từ bài toán tấm chữ nhật chịu tải phân bố đều của phương pháp này so với nghiên cứu H.T.Đ Trang (2017) là 0,77 % với liên kết ngàm; 1,80% với liên kết tựa. Ta thấy kết quả chênh lệch so với các nghiên cứu trước là tương đương nhau. Điều đó cho thấy kết quả là đáng tin cậy. Sự chênh lệch do hai phương pháp xấp xỉ theo PTHH và phần tử không lưới. Bên cạnh đó, tấm biên ngàm với sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo lớn trên biên nên khó hội tụ hơn.
4.3. Tấm sàn hình tròn:
Ta xét tấm sàn hình tròn với điều kiện biên ngàm và tựa theo chu vi chịu tải trọng phân bố đều. Bán kính của tấm là 6m. Để xem xét sự hội tụ của phương pháp, ta xem xét sự thay đổi của hệ số tải trọng giới hạn khi giảm dần bề dày của tấm và thay đổi số lượng nút khi tính toán.
Hình 4.13. Hệ lưới phần tử bài toán tấm tròn 441 nút 4.3.1. Tấm hình tròn biên tựa chu vi:
Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh của tấm tăng dần được thể hiện trong bảng 4.14 với kích thước tấm tròn bán kính (R=6m) biên tựa chu vi . Qua đó, sai số giữa hệ số tải trọng giới hạn của các trường hợp ngày càng giảm dần từ 48.45 % với tấm dày 2R 2
t và 1.70 % đối với tấm mỏng 2 100 R t
. Điều này thể hiện sự hội tụ của phương pháp.
Bảng 4.11. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình tròn biên tựa với 441 nút
2R/t (Mp/qR2) Sai số (%) 1 2,426 - 2 4,706 48,45 4 5,529 14,88 8 5,594 1,17 10 5,602 0,14 20 5,609 0,13 40 5,611 0,03 100 5,517 1,70
Bảng 4.12. So sánh hệ số tải trọng giới hạn tấm tròn biên tựa chu vi
Hệ số độ mảnh Nghiên cứu này Tham khảo*
2 4,706 5,27 4 5,529 5,51 8 5,594 5,53 10 5,602 5,54 20 5,609 5,55 40 5,611 5,58 100 5,517 5,68
* Theo bài báo của H.T.Đ Trang (2017) tấm Mindlin 5 BTD sử dụng EFG
Ta thấy độ dốc của phương pháp trong hình 4.14 lớn thể hiện tốc độ hội tụ nhanh. Với sai số của hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình tròn tấm mỏng là 1.70 % so với tác giả H.T.Đ Trang (2017). Giá trị trong trường hợp tấm mỏng là nhỏ hơn so với kết quả H.T.Đ Trang (2017). Sự khác biệt giữa phương pháp PTHH và phương pháp phần tử không lưới.
(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)
Hình 4. 15. Cơ cấu phá hoại của tấm hình tròn biên tựa
Ngoài ra, hình 4.15 thể hiện sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo ở trường hợp tải trọng giới hạn của tấm hình tròn biên tựa chu vi. Trường hợp tấm dày, năng lượng tiêu tán tập trung thành những vòng tròn theo chu vi. Qua đó, tấm sẽ bị phá hoại trên biên tròn. Trường hợp tấm mỏng, năng lượng tiêu tán dẻo xuất hiện các đường hướng tâm tấm chứ không có năng lượng trên biên như trường hợp tấm biên ngàm chu vi.
4.3.2. Tấm hình tròn biên ngàm theo chu vi:
Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh và số nút của