Tấm sàn hình chữ L: - (LUẬN văn THẠC sĩ) phân tích- 123docz.net

Tấm sàn có dạng chữ L thuộc dạng kết cấu có dạng hình học không điển hình, vì vậy, ít nghiên cứu tập trung khảo sát loại tấm này. Nghiên cứu này khảo sát tấm chữ L để kiểm tra độ ổn định của phương pháp. Bài toán tấm hình chữ L với kích thước a=5m được khảo sát với hai biên tựa dọc hai bên tấm và ngàm hai bên tấm như hình 4.18.

Hình 4. 18. Bài toán tấm hình chữ L và lưới phần tử T3 4.4.1. Tấm chữ L hai biên ngàm:

Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh và lưới nút của tấm tăng dần được thể hiện trong bảng 4.16. Qua đó, sai số giữa hệ số tải trọng giới hạn của các trường hợp ngày càng giảm dần từ 47,59 % với tấm dày

1 L t        và 0,94 % đối với tấm mỏng 100 L t     

 . Điều này thể hiện sự hội tụ

của phương pháp.

Bảng 4. 16. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L hai biên ngàm

L/t 225 nút  (Mp/qab) Sai số (%) 1 5,023 - 2 9,583 47,59 4 14,186 32,44 8 15,355 7,62

20 15,656 1,29

40 15,824 1,06

100 15,973 0,94

(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)

Hình 4. 19. Cơ cấu phá hoại tấm chữ L biên ngàm hai bên

Ta thấy, hình 4.19 thể hiện sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo ở trường hợp tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L. Trường hợp tấm dày, năng lượng tiêu tán tập trung dọc biên cạnh ngắn. Qua đó, tấm sẽ bị phá hoại tập trung tại dọc biên cạnh. Trường hợp tấm mỏng, năng lượng tiêu tán dẻo xuất hiện tập trung nhiều tại mép và hai biên của tấm chữ L.

4.4.2. Tấm chữ L hai biên tựa:

Khảo sát sự thay đổi tải trọng giới hạn của tấm khi độ mảnh và lưới nút của tấm tăng dần được thể hiện trong bảng 4.17. Qua đó, sai số giữa hệ số tải trọng giới hạn của các trường hợp ngày càng giảm dần từ 22,60 % với tấm dày

2 L t        và 1,41 % đối với tấm mỏng 100 L t     

 . Điều này thể hiện sự hội tụ

của phương pháp.

Ta thấy độ dốc của phương pháp trong hình 4.21 lớn thể hiện tốc độ hội tụ nhanh. Với sai số của hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L khi mỏng dần là 5,6 % L 100

  

 

  so với tác giả H.T.Đ Trang (2017). Giá trị trong trường hợp

tấm mỏng là nhỏ hơn so với kết quả H.T.Đ Trang (2017). Sự khác biệt này là do sai khác của phương pháp PTHH và phương pháp không lưới.

Bảng 4.17. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L hai biên tựa

L/t  (Mp/qab) Sai số (%) 1 4,000 - 2 5,168 22,60 4 5,245 1,47 8 5,292 0,88 10 5,304 0,22 20 5,364 1,12 40 5,416 0,96 100 5,494 1,41

Hình 4.21. Hệ số tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L biên tựa

Ngoài ra, hình 4.22 thể hiện sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo ở trường hợp tải trọng giới hạn của tấm hình chữ L. Trường hợp tấm dày, năng lượng tiêu tán tập trung dọc biên cạnh ngắn chữ L. Qua đó, tấm sẽ bị phá hoại tập trung tại cạnh ngắn tấm chữ L trước. Trường hợp tấm mỏng, năng lượng tiêu tán dẻo xuất hiện tại mép của tấm chữ L.

(a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100)

Hình 4.22. Cơ cấu phá hoại tấm chữ L biên tựa hai bên Bảng 4.18. So sánh hệ số tải trọng giới hạn tấm chữ L hai biên tựa

Tác giả Số BTD Phương pháp  (Mp/qa2)

Nghiên cứu này 5 EFG 5,494

H.T.Đ Trang (2017) 5 EFG 6,26

C.V. Le et al. (2016)[18] 3 MeshFree 6,63 C.V. Le et al. (2010)[19] 3 HTC-EM 6,289 C.V. Le et al. (2009)[15] 3 EFG 6,298

Hệ số tải trọng thu được trong bài toán tấm chữ L hai biên tựa chịu tải phân bố đều trong nghiên cứu này là P

M λ 5.494

  . Kết quả khi xem xét có sự chênh lệch so với các nghiên cứu trước (12,24 % so với H.T.Đ Trang(2017), 17,13 % so với C.V. Le (2016)[18]; 12,64 % so với C.V. Le et al. (2010)[19]; 12,77 % so với C.V. Le et al. (2009)[15]).

CHƯƠNG 5. KẾT LUẬN

Luận văn này trình bày phương pháp tìm tải trọng giới hạn của tấm dày 5 bậc tự do sử dụng phần tử NS-DSG3 với các hình dạng tấm khác nhau (tấm hình vuông, tấm hình chữ nhật, tấm hình tròn và tấm hình chữ L) với các điều kiện biên khác nhau (điều kiện biên ngàm chu vi và điều kiện biên tựa chu vi). Khi xem xét hiện tượng tấm mỏng dần, phương pháp dần hội tụ về giá trị tấm mỏng. Sai số đối với các kết quả tham khảo tương đối nhỏ.

Bên cạnh đó, cơ cấu phá hoại được dự đoán thông qua sự tập trung năng lượng tiêu tán dẻo của kết cấu. Trạng thái phá hoại của tấm dày và tấm mỏng có sự khác biệt tương đối rõ. Đối với tấm dày, sự phá hoại thiên về cục bộ dọc theo các biên. Đối với tấm mỏng, sự phá hoại tập trung cả trên biên và bên trong tấm (biên ngàm) hay đi qua các giao điểm của biên (biên tựa). Hướng tiếp cận này thiên về bài toán kiểm tra khả năng chịu lực kết cấu nhằm có thể gia cường tại các vị trí tập trung năng lượng tiêu tán lớn.

Khi tấm có chiều dày tăng dần, lý thuyết tấm mỏng không còn phù hợp. Chúng ta có thể sử dụng các lý thuyết cắt bậc cao (HSDT) để áp dụng cho các trường hợp tấm dày.

Ngoài ra, những bài toán được xem xét chỉ là tấm chịu tải phân bố đều, có thể khảo sát thêm các trường hợp tấm chịu tải tập trung, tấm chịu tải phân bố

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trong nước:

[1] T. T. M. Doan, C. V. Le and T. Q. Chu, "Limit load computation of Mindlin- Reissner plates using the ES-DSG method and second-order cone programming," The International Conference on Advances in Computational Mechanics (ACOME), Ho Chi Minh City, Vietnam, August 2012.

[2] N. T. Nguyen, C. V. Le, T. Q. Chu, N. T. Tran and H. N. Pham, "A locking- free stabilized meshfree method for computation of limit load of Mindlin- Reissner plates," International Conference on Green Technology and Sustainable Development, HCMC, September 2012.

[3] Nguyen, Danh An; Bui, Thanh Cong; Nguyen, Hung Dang, "A recursive approach for limit analysis of frame," Proceedings of the Sixth National Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11 1999.

[4] Nguyen, Hung Dang; Yan Ai-Min; Bui, Thanh Cong, "On the Limit and Shakedown Analysis of Plastified and Cracked Structures," Proceedings of The First Vietnam-Japan Symposium in Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, 19-21 January 1998

Quốc tế:

[5] Capsoni A, Corradi L. “Limit analysis of plates - a finite element formulation”. Structural Engineering and Mechanics 1999; 8:325–341

[6] Zienkiewicz OC, Taylor RL, Too JM. “Reduced integration technique in general analysis of plates and shells: simple and efficient element for plate bending.” International Journal for Numerical Methods in Engineering

1971; 3:275–290.

[7] Hughes TJR, Taylor RL, Kanoknukulchai W. “Simple and efficient element for plate bending”. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1977; 11:1529–1543.

[8] Zienkiewicz OC, Lefebvre D. “A robust triangular plate bending element of the Reissner–Mindlin type”. International Journal for Numerical Methods in

[9] Lee SW, Wong C. “Mixed formulation finite elements for mindlin theory plate bending”. International Journal for Numerical Methods in Engineering

1982; 18:1297–1311.

[10] Simo JC, Rifai MS. “A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes”. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1990; 29:1595–1638.

[11] Bathe KJ, Dvorkin EN. “A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissener plate theory and a mixed interpolation”. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1985; 21:367–383.

[12] Bletzinger KU, BischoffM, Ramm E. “A unified approach for shear- locking free triangular and rectangular shell finite elements”. Computers and Structures 2000; 75:321–334.

[13] Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Rabczuk T, Nguyen-Thoi T. “Computation of limit load using edge-based smoothed finite element method and second-order cone programming”. International Journal of Computational Methods 2013; 10(1):1340004

[14] Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H. “A cellbased smoothed finite element method for kinematic limit analysis”. International Journal for Numerical Methods in Engineering

2010;83:1651–74.

[15] Le, C.V. and Gilbert, M. and Askes, H., "Limit analysis of plates using the EFG method and second-order cone programming," International journal for numerical methods in engineering, vol. 78, no. 13, pp. 1532--1552, 2009. [16] Belytschko, T. and Lu, Y.Y. and Gu, L., "Element-free Galerkin

methods," International journal for numerical methods in engineering, vol. 37, no. 2, pp. 229--256, 2005

[17] Hodge, Philip Gibson and Belytschko, Ted, "Numerical methods for the limit analysis of plates," Journal of Applied Mechanics, vol. 35, p. 796, 1968. [18] Le,C.V. & Chu, T. Q. Plastic, “Collapse Analysis of Mindlin-Reissner

Plates Using a Stabilized Mesh-Free Method”, International Journal of Computational Methods, vol 13, 1650004, 2016.

[19] Le, C.V. and Nguyen-Xuan, H. and Nguyen-Dang, H., "Upper and lower bound limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming," Computers \& structures, vol. 88, no. 1, pp. 65--73, 2010. [20] Le, C.V, “A stabilized discrete shear gap finite element for adaptive

limitanalysis of Mindlin–Reissner plates”, International Journal for numerical methods in engineering Int. J. Numer. Meth. Engng 2013; 96:231– 246.

[21] Hopkins, Harry Geoffrey and Wang, Alexander Jen, “Load-carrying capacities for circular plates of perfectly-plastic material with arbitrary yield condition”. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 3, no. 2, pp. 117--129,1955

[22] H.T.Đ Trang, “Phân tích giới hạn tấm dày 5BTD sử dụng phần tử không lưới Element Free Galerkin”. Luận văn thạc sĩ trường ĐH kinh tế công nghiệp long an, 2017

Phục lục 1: NSFEM - H. CHỮ NHẬT – H. VUÔNG

%--- % Limit analysis: node-based SFEM for mindlin 5dof

% Rev. Date: 09 2018

%--- addpath('C:\Program Files\Mosek\6\toolbox\r2009b');

clear all format short

ndof = 5; % number of displacement dofs per node sigma = 250; % Yield stress MPa

%--- % generate sampling poits for discretization %--- % Solve top-right quater!

B = 10; H = 10; BC = [2 2 2 2]; %1- support 2- clamp r =100; % r = H/h is chosen

h = H/r;

mp = sigma*h^2/4;

p1 = 1; % load

nx = 20; % number of elements in x-direction. ny = 20; % number of elements in y-direction. method='NSFEM-T3';

[coord,nodes,~,~] = mesh_rec(B,H,nx,ny); % [coord,nodes] = mesh_tri(nx+1,ny+1,B,H);

nnode = size(coord,1); % total sampling node number nel = size(nodes,1); % number of element

sdof = nnode*ndof; % total system dofs for mechanical displacement %---

% plot mesh %--- % figure

% patch('faces',nodes,'vertices',coord,'facecolor','c','edgecolor','k'); axis equal off, hold on %--- % boundary condition [bcdof] = bc_thick_plate_5dof(coord,B,H,BC); %--- % NSFEM switch method case 'NSFEM-T3'

% find adjacent elements of each node [nod_adjele]=get_nod_adjele(nnode,nodes);

% Compute the area of SD associated with node and element areas [area_nod,area_T3] = cal_area_nod_T3(nod_adjele,coord,nodes); % using average of Be matrices of adjacent elements of each node [Bm,Bb,Bs] = Bfem5dof(coord,nodes);

for i=1:nnode

[nodB,Bm_ino,Bb_ino,Bs_ino] =

get_Bmat_NSFEM_T3_aver(nod_adjele{i},area_nod(i),area_T3,Bm,Bb,Bs,node s);

index=get_eledof(nodB,length(nodB),ndof); % extract system dofs for (ino)-th SD

% assemble Bm

Bm_temp= sparse(3,sdof); Bm_temp(:,index)=Bm_ino; BBm{i}=Bm_temp;

% assemble Bb

Bb_temp= sparse(3,sdof); Bb_temp(:,index)=Bb_ino; BBb{i}=Bb_temp; % assemble Bs

Bs_temp= sparse(2,sdof); Bs_temp(:,index)=Bs_ino; BBs{i}=Bs_temp; end

% yield function for Tsai-Hill %--- [Sb,Ss]=yield_function(sigma); % +---+

% | OBJECTIVE FUNCTION AMPHA+ | % +---+

Wg = [ 0.5555555555555, 0.888888888888, 0.5555555555555];

Xg = [ 0.774596669241438, 0, -0.774596669241438];% DIEM GAUSS sach PTHH_Chu Quoc Thang trang 163.

%--- k1 = 3*nnode; % for t_i

k2 = 5*k1;% 5*k1 for r_i: r1,r2,r3,r4,r5 var = sdof + k1 + k2;

f = zeros(var,1); % [u1 v1...un vn t1...tk1 r1...rk2] count = 1; for ig = 1:size(Wg,2) wg = Wg(ig); for i = 1:nnode f(sdof+count,1) = wg*sigma*area_nod(i); count = count + 1; end end

% External work of unitary

[F] = unity_external_work1(sdof,area_nod,p1); % Boundary conditions

[B1] = bcondition(bcdof,sdof); A1 = [F;B1];

% trans to X

A11 = sparse([[A1] [sparse(size(A1,1),k1+k2)]]); % these variables appear when assigning C'k = r_i

aeq = [[A11]; [A21]]; b = zeros(size(aeq,1),1); b(1,1) = 1; % cones count = 1; for ig = 1:3 for i = 1:nnode

co(count,:) = [sdof + count, sdof+k1+5*count-4,sdof+k1+5*count-3, sdof+k1+5*count-2, sdof+k1+5*count-1, sdof+k1+5*count];

count = count + 1; end end % +---+ % | OPTIMIZATION | % +---+

% Mosek optimisation tool: MOSEKOPT %'solving' clear prob clear param prob.c = f'; prob.a = aeq; prob.buc = b'; prob.blc = b';

%lx = [[-inf*ones(nno,1)]; [zeros(nno,1)]; [-inf*ones(3*nno,1)]]; prob.blx = []; prob.bux = []; % define cones prob.cell = cell(k1,1); for i = 1:k1 prob.cones{i}.type = 'MSK_CT_QUAD'; prob.cones{i}.sub = co(i,:);

param =[];

param.MSK_IPAR_PRESOLVE_USE = 'MSK_OFF'; [r,res] = mosekopt('minimize',prob,param);

try

% Display the optimal solution . u = res.sol.itr.xx;

result = f'*u/mp*H*B*p1 catch

fprintf ('MSKERROR : Could not get solution') end %--- % plot result diss1 = u(sdof+1:sdof+nnode); diss2 = u(sdof+nnode+1:sdof+2*nnode); diss3 = u(sdof+2*nnode+1:sdof+3*nnode); diss=Wg(1)*diss1+Wg(2)*diss2+Wg(3)*diss3; plot_nod(coord,nodes,diss)

Phục lục 2: NSFEM –TẤM L