Với một lưu chất liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa dòng lưu chất.
A. Thể tích kiểm soát hữu hạn (theo quan điểm Euler)
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 3.1. Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu hạn của dòng. Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S, xác định bề mặt khép kín bao quanh thể tích. Thể tích kiểm soát này có thể cố định trong không gian với lưu chất chuyển động vòng qua nó, như hình 2.7a. Tương tự, thể tích kiểm soát có thể chuyển động cùng với lưu chất, sao cho những hạt lưu chất cùng nhau luôn ở trong nó, như hình 2.7b .
Hình 2.7.Thể tích kiểm soát hữu hạn
Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng. Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho lưu chất nằm trong thể tích kiểm soát, và với lưu chất cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong không gian). Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với lưu chất trong vùng hữu hạn của chính thể tích đó. Những phương trình dòng lưu chất mà chúng ta nhận được trực tiếp
do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu hạn có dạng tích phân.Những dạng tích phân này của những phương trình chủ đạo có thể thao tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng.
B. Phần tử lưu chất vô cùng bé (theo quan điểm Lagrange)
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong hình 3.2. Ta hãy tưởng tượng một phần tử lưu chất vô cùng bé trong dòng, với một thể tích vi phân dV. Phần tử lưu chất là vô cùng bé theo khái niệm phép tính vi phân; tuy nhiên là đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể nhìn nhận như một môi trường liên tục. Phần tử lưu chất có thể cố định trong không gian với lưu chất chuyển động vòng qua nó, như hình 2.8a. Tương tự, nó có thể chuyển động dọc theo dòng chảy với vận tốc vector thể tích bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm như hình 2.8b.
Hình 2.8. Phần tử lưu chất vô cùng bé
Thay vì xét toàn dòng tại một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ ứng dụng cho chính phần tử lưu chất. Ứng dụng này trực tiếp dẫn tới những phương trình cơ bản ở dạng phương trình đạo hàm riêng