Mối quan hệ cấu thành ma sát trượt
Khi nói về ma sát trượt, mối quan này được tạo thành bằng hàm tuyến tính giữa các
ứng suất tiếp với gia số trượt và được biểu diễn như sau:
(2.13)
Với:
là độ lớn biến độc lập trượt trên một bước giải là độ lớn vận tốc trượt hiên thời
là vector đơn vị theo các phương trượt (i = 1,2)
2.1.2. Phương pháp Penalty và Lagrange multiplier:
Giới thiệu về các phương pháp:
Hãy xem xét việc tạo ra các biến của một mô hình kết cấu rời rạc được phân tích trong một trạng thái ổn định: (2.14) Với điều kiện: với mọi i Và giảđịnh áp đặt điều kiện lên chuyển vị tại các bật tự do Ui với (2.15)
Trong phương pháp Lagrange multiplier, chỉnh sửa vế phải của công thức () nhận
Với là một biến được thêm vào, và với điều kiện :
(2.17) Có và là bất kỳ, nhận được:
(2.18)
Với là một vector mà tất cả các giá trị bằng không ngoại trừ giá trị thứ i bằng một. Vì thế các phương trình cân bằng mà không có một ràng buộc nào thì được chỉnh sữa với một điều kiện ràng buộc bằng cách thêm một phương trình.
Trong phương pháp Penatly, cũng chỉnh sửa vế phải của () mà không giới thiều về một biến thêm vào. Nhận được:
(2.19)
Với là một hằng số có sựảnh hưởng lớn, . Thêm điều kiện :
(2.20)
Và (2.21)
Áp dụng trong FEM:
Những giả thuyết cơ bản dựa trên phương pháp Penatly:
Có chủ yếu hai phương pháp trong mô hình hóa và mô phỏng cho bài toán tiếp xúc thông thường trong thuật toán FEM, kể cả phương pháp Penatly và phương pháp Lagrange multiplayer
Trong phương pháp Penatly, các lực tiếp xúc tỉ lệ với số lương thâm nhập (sự thâm nhập là phương trình vật lý được thêm vào một lò xo ảo tuyến tính giữa các vật tiếp xúc).
Dựa vào phương pháp Penatly, một thuật toán số diễn tả cho vấn đề tiếp xúc 2D không trơn tru với thuyết Coulomb (được áp dụng đồng thời ởđiều kiện tĩnh và động).
Điều đó được giả định như các lực tiếp xúc được phát sinh giữa các tiếp điểm với bề
nghĩa vật lý của phương pháp Penatly đang áp dụng cho lò xo ảo trên các nút tại mặt tiếp xúc để mô phỏng cho lực tiếp xúc. Dựa vào phương pháp Penatly, mô hình của bài toán tiếp xúc với thuyết ma sát của Coulomb được phát triển. Tương tự các lý thuyết sự thiết lập đàn hồi Winkler với các lò xo ảo theo phương pháp tuyến tính được sử dung trên bề mặt, ràng buộc của các mặt được mô hình hóa bằng cách thêm vào nhiều lò xo ảo tuyến tính theo phương pháp và tiếp tuyến trong mô hình mới. Các lò xo ảo này không phụ thuộc lẫn nhau và được thêm vào giữa các tiếp điểm với các mặt tiếp xúc, được minh họa như hình bên dưới và hình ảnh không chỉ mô phỏng tính đàn hồi của các ràng buộc mà còn mô phỏng sự tương tác giữa vật tiếp xúc với các ràng buộc này. Các lò xo là ảo và chỉ có ý nghĩ trong tính toán, mặc dù được vẽ trong hình.
Mô hình áp dụng cho cả phương pháp Multiplier nhưng có một số lưu ý. Các lưu ý sẽ được nhắc đến trong các mục sau.
Phương pháp Penatly:
Phương pháp Penatly có nghĩa là khi bất kì những xâm phạm vào điều kiện tiếp xúc thì sẽđược thêm vào các bước giải:
(2.22) Với
, là độ thâm nhập theo hai phương chính , là độ cững của tiếp xúc theo hai phương
là trạng thái ứng suất là biến dạng
Phương trình có thểđược viết lại theo dạng FE:
(2.23)
Công thức này sử dụng trong FEA cho phương pháp Penatly, với: là độ cững của tiếp xúc
là ma trận độ cứng của phần tử
u là chuyển vị của phần tử
F là lực cưỡng bức
Hình 2. 3 Lực tác động trục tiếp làm vật biến dạng
Lò xo ảo sẽ bị thay đổi một đoạn , và thỏa yêu cầu:
(2.24)
Một vài phần tử có một lượng nhỏ xâm nhập, > 0, thì có một yêu cầu về toán học để
giữ được sự cân bằng của mô hình. Tuy nhiên, về bản chất vật lý mô hình vẫn không bị xâm nhập ( .
Điều kiện của ma trận độ cứng phụ thuộc khá quan trọng và độ cứng của bản thân tiếp xúc.
Không có thêm các bậc tự do.
Không bị vấn đề vượt quá ràng buộc
Sử dụng phương pháp lập và cả năng cho mô hình lớn. a. Phương pháp Lagrange multiplier:
Với những xâm phạm vào tiếp xúc sẽ được sửa chửa bằng phương pháp Lagrange multiplier:
(2.25) Với là Lagrange multiplier.
Điều kiện ràng buộc của tiếp xúc:
Chắc chắn không có xâm nhập xảy ra.
Có tiếp xúc , lực tiếp xúc khác không.
Phương trình là tuyến tính, trong trường hợp đàn hồi tuyến tính và tiếp xúc nút với nút. Nếu không, các phương trình là phi tuyến và một phương trình lặp đi lặp lại được sử
dụng để giải các phương trình này. Phương pháp lặp được sử dụng là Phương pháp Newton
Công thức cho bài toán đàn hồi tuyến tính: